Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matematika 1 Analízis 1

Kategóriák
  • Halmazok, egyenletek, azonosságok
  • Trigonometria, komplex számok, polinomok
  • Vektorok, mátrixok, determináns
  • Függvények, függvények ábrázolása
  • Összetett függvény, inverz függvény
  • Sorozatok határértéke, sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság, az érintő egyenlete
  • L'Hospital szabály
  • Teljes függvényvizsgálat
  • Határozatlan integrálás
  • Határozott integrálás és alkalmazásai
  • Racionális törtfüggvények integrálása

Halmazok, egyenletek, azonosságok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
00
 
Halmazok, metszet, unió és egyebek
01
 
Intervallumok
02
 
A logikai szita formula
03
 
Elsőfokú egyenletek megoldása
04
 
A másodfokú egyenlet és a megoldóképlet
05
 
Egyenlőtlenségek megoldása: a szuperkönnyű módszer
06
 
Gyök, köbgyök, gyökös azonosságok
07
 
Gyökös egyenletek megoldása
08
 
Hatványazonosságok, Az exponenciális függvény
09
 
Exponenciális egyenletek megoldása, szöveges feladatok
10
 
Mi az a logaritmus?
11
 
Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel
12
 
Test feletti polinomok, az algebra alaptétele
13
 
Polinomok szorzattá alakítása
14
 
Polinomosztás
15
 
Polinomok racionális gyökének keresése

Halmazműveletek

Vannak az $A$ és $B$ halmazok.

Az $A$ és $B$ halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.

Jele: $A \cup B$

Az $A$ és $B$ halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.

Jele: $A \cap B$

Az $A$ és $B$ halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az $A$ halmazba benne vannak, de a $B$ halmazba nem.

Jele: $A \setminus B$

Az $A$ halmaz komplementere a $H$ alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az $A$-ban.

Jele: $ \overline{A}$

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Logikai szita formula

A logikai szita formula két halmazra:

\( \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid \)

A logikai szita formula három halmazra:

\( \mid A \cup B \cup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \cap B \mid - \mid A \cap C\mid - \mid B \cap C \mid + \mid A \cap B \cap C \mid \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Elsőfokú egyenletek megoldása

A megoldás lényege, hogy gyűjtsük össze az $x$-eket az egyik oldalon, a másik oldalon pedig a számokat, a végén pedig leosztunk az $x$ együtthatójával.

Ha törtet is látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.

Ha a tört nevezőjében $x$ is szerepel, akkor azzal kezdjük az egyenlet megoldását, hogy kikötjük, a nevező nem nulla.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Diszkrimináns

A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti részét nevezzük diszkriminánsnak.

\( D = b^2 -4ac \)

Ez dönti el, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós megoldása lesz.

Ha a diszkrimináns nulla, akkor csak egy.

Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenletnek két valós megoldása van.

Ha pedig negatív, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Másodfokú egyenlet megoldóképlete

Ha a másodfokú egyenlet így néz ki:

\( a x^2 + bx + c = 0 \)

Akkor a megoldóképlet:

\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gyökös azonosságok

\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)

\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Köbgyök

Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.

\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Köbgyökös azonosságok

\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)

\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

n-edik gyök

A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:

\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)

Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:

\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Négyzetgyök

Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.

\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gyökös egyenletek megoldása

A gyökös egyenletek megoldását mindig ezzel kell kezdeni:

\( \sqrt{ \text{IZÉ} } \Rightarrow \text{IZÉ} \geq 0 \)

\( \sqrt{ \text{IZÉ} } = \text{VALAMI} \Rightarrow \text{VALAMI} \geq 0 \)

Ezt követően az elsőszámú célunk, hogy megszabaduljunk a gyökjeltől, amit négyzetreemeléssel végezhetünk. Ilyenkor az a lehető legjobb, ha a gyökös izé magányosan álldogál.

Ha megszabadultunk a gyökjeltől, minden úgy megy tovább, ahogy azt már megszokhattuk az egyenleteknél.

A végén viszont fontos, hogy ellenőriznünk kell, a megoldásunk megfelel-e a feladat elején felírt kritériumnak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Exponenciális függvény

Exponenciális függvénynek nevezzük az $f(x)=a^x$ alakú függvényeket, ahol $a>0$ valós szám.

Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában.

Ilyen függvények írják le a baktériumok szaporodását, a radioaktív elemek bomlását, a számítógépek teljesítményének növekedését és még rengeteg más dolgot.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hatványazonosságok

Hatványozás azonosságai:

\( a^n a^k = a^{n+k} \)

\( \frac{ a^n}{ a^k } = a^{n-k} \qquad a^{-n} = \frac{1}{n} \)

\( \left( a^n \right)^k = a^{nk} \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)

\( a^{ \frac{k}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^k = \sqrt[n]{a^k} \)

\( a^n b^n = (ab)^n \)

\( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Exponenciális egyenletek megoldása

Az exponenciális egyenletek megoldásának kulcsa, hogy a két oldalt azonos hatványalapra hozzuk, mert ekkor

\( a^x = a^b \Rightarrow x=b \)

Így hát az egyenlet két oldalát addig alakítgatjuk a hatványozás azonosságainak segítségével, amíg erre az alakra nem jutunk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Logaritmus

$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Logaritmus azonosságok

\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)

\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)

\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)

\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)

\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Adottak az $A$ és $B$ halmazok:

\( A= \{ 1, 2, 3, 4, 7, 8 \} \quad B= \{ 1,3,4,5,6 \} \)

Határozzuk meg...

a két halmaz metszetét!

a két halmaz unióját!

$ B\setminus A $-t!

 

 

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Az $A$ halmaz legyen a $[2,6]$ zárt intervallum, a $B$ halmaz pedig az $]1,4[$ nyílt intervallum.

Határozzuk meg ezeket:

\( A \cap B \quad A \cup B \quad A \setminus B \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

 

a) Egy osztályban 12-en utálják a matekot és 18-an a fizikát. Összesen 20-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyiket utálják. Hányan utálják mindkettőt?

b) Egy osztályba 20 tanuló jár. Az osztály összes tanulója közül 9-en szeretik a matekot és közülük 5 lány. Tudjuk még, hogy 5 fiú nem szereti a matekot. Hány lány jár az osztályba?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldd meg az alábbi egyenleteket.

a) \( 3x+2=12-2x \)

b) \( \frac{2x+1}{7} + x -2 = \frac{x+5}{4} \)

c) \( \frac{x+2}{x-5}=3 \)

d) \( \frac{x}{x+2} +3 = \frac{4x+1}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldd meg az alábbi egyenleteket.

a) \( 3x^2-14x+8=0 \)

b) \( -2x^2+5x-3=0 \)

c) \( 4x + \frac{9}{x}=12 \)

d) \( x^2-6x+10=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.

a) \( \frac{4x-5}{x-1}<3 \)

b) \( x \geq \frac{9}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( x^2=9 \)

b) \( x^3=8 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( \sqrt{x-4}=3 \)

b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)

c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)

d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.

a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)

b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)

b) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)

c) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

d) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

e) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radiaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

\( N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?$ \; \lambda=0,0277 $

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)

b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)

c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)

d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)

e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)

f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

a) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt, hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

b) Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

c) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?

A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)

d) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Reducibilisek vagy irreducibilisek-e az alábbi polinomok $Q$ illetve $R$ felett?

a) \( P(x)=x^2-9 \)

b) \( P(x)=x^2-9 \)

c) \( P(x)=x^2-2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Adjuk meg a $P(x)=x^4+1$ polinom összes gyökét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Végezzük el az alábbi polinomosztásokat.

a) \( \frac{x^5-3x^4+9x^3+7x^2+5x+9}{x^4-4x^3+9x^2} \)

b) \( \frac{x^4-5x^3+7x^2+5x-24}{x-3} \)

c) \( \frac{2x^4+5x^2+6}{x^2+x+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\( x^3-4x^2+3x+2=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Intervallumok

Halmazok, metszet, unió, és egyebek

Van itt egy A halmaz

aminek a komplementere ez. Minden ami körülötte van.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha kerítünk az A halmaz mellé

egy B halmazt is.

A halmaz komplementere:

Az a rész, ami mindkettőben benne van az A és B halmazok metszete.

A és B halmazok metszete:

Ez pedig az A és B halmazok uniója.

A és B halmazok uniója:

Ha pedig fogunk egy ollót és szépen kivágjuk az A halmazból azt a részt

ami a B-ben is benne van, nos amit így kapunk az a két halmaz különbsége.

A és B halmazok különbsége:

És most lássuk, mi az a részhalmaz.

A-nak egy részhalmaza például a páros számok halmaza:

Vagy éppen részhalmaza a páratlan számok halmaza is:

És részhalmaza mondjuk a 3-mal osztható számok halmaza is:

Adottak az A és B halmazok:

Határozzuk meg…

a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
a B\V-t!

Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autós biztosítási kárigény érkezett, és ezek közül

8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett, és egyéb igény 17.

30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be, 1-1 olyan ügyfél volt, aki a lakáson

kívül még pontosan egy kárigéényt nyújtott be és nem volt olyan, aki mindhármat.

Készítsünk ábrát, és állapítsuk meg, hogy hányan vannak, akik pontosan két kárigényt

nyújtottak be!

Akik pontosan két kárigényt nyújtottak be:

Végül itt jön még egy nagyon érdekes mese bárányokról és számhalmazokról…

Beszélgessünk egy kicsit a számokról.

Ez itt például 3.

Ez pedig 4.

És néha sajnos szükség van negatív számokra is.

Így jutunk el az egész számok halmazáig, amit Z-vel jelölünk.

Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is,

amelyek arányokat fejeznek ki.

Ezeket racionális számoknak nevezzük.

Mondjuk ennek az egyenletnek

a megoldása:

A racionális számokat Q-val jelöljük.

Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek

a megoldásai nem racionális számok.

Ilyen például ez az egyenlet:

És így megjelennek az irracionális számok,

amik feltöltik a racionális számok közötti

hézagokat a számegyenesen.

A racionális és az irracionális számok

alkotják együttesen a valós számokat.

Hogyha a számegyenest felszeleteljük részekre…

akkor intervallumokat kapunk.

Ez itt például az 1 és 5 közötti intervallum.

Az 1 és az 5 az intervallum végpontjai.

Olyankor, amikor a végpontok nincsenek benne az intervallumban…

az intervallumot nyílt intervallumnak hívjuk.

NYÍLT INTERVALLUM

Ha mindkét végpont benne van, akkor az a neve, hogy zárt intervallum.

ZÁRT INTERVALLUM

Előfordulhat az is, hogy az intervallum egyik vége nyílt, a másik pedig zárt.

BALRÓL NYÍLT, JOBBRÓL ZÁRT INTERVALLUM:

Az A halmaz

Most pedig nézzük, mi történik, hogyha két intervallumnak vesszük a metszetét…

vagy épp az unióját.

Az intervallumok

Az A halmaz legyen a [2,6] zárt intervallum, a B halmaz pedig az ]1,4[ nyílt intervallum.

Határozzuk meg ezeket:

Úgy tűnik, hogy a 4 nincs benne B-ben…

Így aztán amikor a B halmazt kivonjuk az A halmazból…

akkor a 4-et nem vonjuk ki, az benne marad A-ban.

És ezáltal egy mindkét végén zárt intervallumot kapunk.

Hát, ennyit az intervallumokról.


Elsőfokú egyenletek megoldása

A másodfokú egyenlet és a megoldóképlet

Egyenlőtlenségek megoldása: a szuperkönnyű módszer

Gyök, köbgyök, gyökös azonosságok

Gyökös egyenletek megoldása

Hatványazonosságok, Az exponenciális függvény

Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy

de semmi ördögi nem lesz itt.

Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.

Hát nézzük meg.

Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor

a kitevők összeadódnak.

Ez lesz az első azonosság.

HATVÁNYAZONOSSÁGOK

Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.

De azért van itt egy apró kellemetlenség.

Már jön is.

Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.

Itt pedig a kitevő negatív lesz.

Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.

Nos így:

A kitevőket kell összeszoroznunk.

Itt van aztán ez, hogy

Na ez vajon mi lehet?

Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.

Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.

Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.

A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.

Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.

Ha van egy ilyen, hogy

nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.

Jön itt még néhány újabb képlet,

de most már lássuk a függvényeket.

Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.

Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.

Például egy ilyen szám a

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.

Ez a függvény tehát az ex.

Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.

Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.


A logikai szita formula

Exponenciális egyenletek megoldása, szöveges feladatok

Az exponenciális egyenletek megoldása:

Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.

Már jön is az első:

Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:

Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…

Lássuk csak,        bingo!

Na, ezzel megvolnánk.

Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.

Itt van aztán egy újabb ügy:

A két hatványalap nem ugyanaz…

de van remény.

És nézzük, mit tehetnénk ezzel:

Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.

A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:

Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.

Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:

De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…

Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:

Vagyis 60 perc telt el.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.

Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?

A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:

Íme, a képlet:

Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:

Ezt beírjuk a számológépbe…

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mi történik 100 év alatt.

Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:

Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.

Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.

Itt is jön az első:

Na, ezzel megvolnánk.

Itt van aztán ez:

Eddig jó…

Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.

Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.

Na, ezzel megvolnánk.

Nézzünk egy másikat.

Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.

Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.

Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.

Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:

Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.

És vannak egészen trükkös esetek is.

Nézzünk meg még egy ilyet.


Test feletti polinomok, az algebra alaptétele

Polinomok szorzattá alakítása

Polinomosztás

Polinomok racionális gyökének keresése

Mi az a logaritmus?

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.


Szöveges feladatok exponenciális és logaritmusos egyenletekkel

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.

Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.

Valahogy így…

Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.

Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.

Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…

Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.

De így is kijön.

Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…

Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.

64,625 perc

Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

Kezdetben van valamennyi baktérium.

Aztán megduplázódik…

aztán megint megduplázódik.

És így tovább.

A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:

Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.

Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.

Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.

És most nézzük, hogyan tovább.

Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.

Vagyis egy generációs idő hossza…

25,24 perc.

A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

Lássuk, mi történik 40 év alatt:

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.

Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.

Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Itt jön a mi kis képletünk:

30 év alatt 12%-kal csökkent:

Na, ez így sajna nem túl jó…

Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.

A felezési idő tehát 162,7 év.

Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:

377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.

Hát, ennyi.


Halmazok, metszet, unió és egyebek

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim