- Halmazok, egyenletek, azonosságok
- Trigonometria, komplex számok, polinomok
- Vektorok, mátrixok, determináns
- Függvények, függvények ábrázolása
- Összetett függvény, inverz függvény
- Sorozatok határértéke, sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság, az érintő egyenlete
- L'Hospital szabály
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás és alkalmazásai
- Racionális törtfüggvények integrálása
Halmazok, egyenletek, azonosságok
Halmazműveletek
Vannak az $A$ és $B$ halmazok.
Az $A$ és $B$ halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
Jele: $A \cup B$
Az $A$ és $B$ halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
Jele: $A \cap B$
Az $A$ és $B$ halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az $A$ halmazba benne vannak, de a $B$ halmazba nem.
Jele: $A \setminus B$
Az $A$ halmaz komplementere a $H$ alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az $A$-ban.
Jele: $ \overline{A}$
Logikai szita formula
A logikai szita formula két halmazra:
\( \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid \)
A logikai szita formula három halmazra:
\( \mid A \cup B \cup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \cap B \mid - \mid A \cap C\mid - \mid B \cap C \mid + \mid A \cap B \cap C \mid \)
Elsőfokú egyenletek megoldása
A megoldás lényege, hogy gyűjtsük össze az $x$-eket az egyik oldalon, a másik oldalon pedig a számokat, a végén pedig leosztunk az $x$ együtthatójával.
Ha törtet is látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.
Ha a tört nevezőjében $x$ is szerepel, akkor azzal kezdjük az egyenlet megoldását, hogy kikötjük, a nevező nem nulla.
Másodfokú egyenlet megoldóképlete
Ha a másodfokú egyenlet így néz ki:
\( a x^2 + bx + c = 0 \)
Akkor a megoldóképlet:
\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)
Diszkrimináns
A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti részét nevezzük diszkriminánsnak.
\( D = b^2 -4ac \)
Ez dönti el, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós megoldása lesz.
Ha a diszkrimináns nulla, akkor csak egy.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenletnek két valós megoldása van.
Ha pedig negatív, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.
Négyzetgyök
Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.
\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)
Gyökös azonosságok
\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)
\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)
Köbgyök
Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.
\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)
Köbgyökös azonosságok
\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)
\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)
n-edik gyök
A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.
Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)
Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)
Gyökös egyenletek megoldása
A gyökös egyenletek megoldását mindig ezzel kell kezdeni:
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } \Rightarrow \text{IZÉ} \geq 0 \)
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } = \text{VALAMI} \Rightarrow \text{VALAMI} \geq 0 \)
Ezt követően az elsőszámú célunk, hogy megszabaduljunk a gyökjeltől, amit négyzetreemeléssel végezhetünk. Ilyenkor az a lehető legjobb, ha a gyökös izé magányosan álldogál.
Ha megszabadultunk a gyökjeltől, minden úgy megy tovább, ahogy azt már megszokhattuk az egyenleteknél.
A végén viszont fontos, hogy ellenőriznünk kell, a megoldásunk megfelel-e a feladat elején felírt kritériumnak.
Hatványazonosságok összefoglaló
Hatványozás azonosságai:
\( a^n a^k = a^{n+k} \)
\( \frac{ a^n}{ a^k } = a^{n-k} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( \left( a^n \right)^k = a^{nk} \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
\( a^{ \frac{k}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^k = \sqrt[n]{a^k} \)
\( a^n b^n = (ab)^n \)
\( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)
Exponenciális függvény
Exponenciális függvénynek nevezzük az $f(x)=a^x$ alakú függvényeket, ahol $a>0$ valós szám.
Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában.
Ilyen függvények írják le a baktériumok szaporodását, a radioaktív elemek bomlását, a számítógépek teljesítményének növekedését és még rengeteg más dolgot.
Exponenciális egyenletek megoldása
Az exponenciális egyenletek megoldásának kulcsa, hogy a két oldalt azonos hatványalapra hozzuk, mert ekkor
\( a^x = a^b \Rightarrow x=b \)
Így hát az egyenlet két oldalát addig alakítgatjuk a hatványozás azonosságainak segítségével, amíg erre az alakra nem jutunk.
Logaritmus
$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.
Logaritmus azonosságok
\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)
Adottak az $A$ és $B$ halmazok:
\( A= \{ 1, 2, 3, 4, 7, 8 \} \quad B= \{ 1,3,4,5,6 \} \)
Határozzuk meg...
a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
$ B\setminus A $-t!
Az $A$ halmaz legyen a $[2,6]$ zárt intervallum, a $B$ halmaz pedig az $]1,4[$ nyílt intervallum.
Határozzuk meg ezeket:
\( A \cap B \quad A \cup B \quad A \setminus B \)
a) Egy osztályban 12-en utálják a matekot és 18-an a fizikát. Összesen 20-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyiket utálják. Hányan utálják mindkettőt?
b) Egy osztályba 20 tanuló jár. Az osztály összes tanulója közül 9-en szeretik a matekot és közülük 5 lány. Tudjuk még, hogy 5 fiú nem szereti a matekot. Hány lány jár az osztályba?
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3x+2=12-2x \)
b) \( \frac{2x+1}{7} + x -2 = \frac{x+5}{4} \)
c) \( \frac{x+2}{x-5}=3 \)
d) \( \frac{x}{x+2} +3 = \frac{4x+1}{x} \)
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3x^2-14x+8=0 \)
b) \( -2x^2+5x-3=0 \)
c) \( 4x + \frac{9}{x}=12 \)
d) \( x^2-6x+10=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( \frac{4x-5}{x-1}<3 \)
b) \( x \geq \frac{9}{x} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x-4}=3 \)
b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)
c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)
d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)
Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.
a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)
b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)
b) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)
c) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
d) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
e) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radiaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
\( N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?$ \; \lambda=0,0277 $
a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
Reducibilisek vagy irreducibilisek-e az alábbi polinomok $Q$ illetve $R$ felett?
a) \( P(x)=x^2-9 \)
b) \( P(x)=x^2-9 \)
c) \( P(x)=x^2-2 \)
Végezzük el az alábbi polinomosztásokat.
a) \( \frac{x^5-3x^4+9x^3+7x^2+5x+9}{x^4-4x^3+9x^2} \)
b) \( \frac{x^4-5x^3+7x^2+5x-24}{x-3} \)
c) \( \frac{2x^4+5x^2+6}{x^2+x+1} \)
Halmazok, metszet, unió, és egyebek
Van itt egy A halmaz
aminek a komplementere ez. Minden ami körülötte van.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha kerítünk az A halmaz mellé
egy B halmazt is.
A halmaz komplementere:
Az a rész, ami mindkettőben benne van az A és B halmazok metszete.
A és B halmazok metszete:
Ez pedig az A és B halmazok uniója.
A és B halmazok uniója:
Ha pedig fogunk egy ollót és szépen kivágjuk az A halmazból azt a részt
ami a B-ben is benne van, nos amit így kapunk az a két halmaz különbsége.
A és B halmazok különbsége:
És most lássuk, mi az a részhalmaz.
A-nak egy részhalmaza például a páros számok halmaza:
Vagy éppen részhalmaza a páratlan számok halmaza is:
És részhalmaza mondjuk a 3-mal osztható számok halmaza is:
Adottak az A és B halmazok:
Határozzuk meg…
a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
a B\V-t!
Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autós biztosítási kárigény érkezett, és ezek közül
8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett, és egyéb igény 17.
30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be, 1-1 olyan ügyfél volt, aki a lakáson
kívül még pontosan egy kárigéényt nyújtott be és nem volt olyan, aki mindhármat.
Készítsünk ábrát, és állapítsuk meg, hogy hányan vannak, akik pontosan két kárigényt
nyújtottak be!
Akik pontosan két kárigényt nyújtottak be:
Végül itt jön még egy nagyon érdekes mese bárányokról és számhalmazokról…
Beszélgessünk egy kicsit a számokról.
Ez itt például 3.
Ez pedig 4.
És néha sajnos szükség van negatív számokra is.
Így jutunk el az egész számok halmazáig, amit Z-vel jelölünk.
Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is,
amelyek arányokat fejeznek ki.
Ezeket racionális számoknak nevezzük.
Mondjuk ennek az egyenletnek
a megoldása:
A racionális számokat Q-val jelöljük.
Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek
a megoldásai nem racionális számok.
Ilyen például ez az egyenlet:
És így megjelennek az irracionális számok,
amik feltöltik a racionális számok közötti
hézagokat a számegyenesen.
A racionális és az irracionális számok
alkotják együttesen a valós számokat.
Hogyha a számegyenest felszeleteljük részekre…
akkor intervallumokat kapunk.
Ez itt például az 1 és 5 közötti intervallum.
Az 1 és az 5 az intervallum végpontjai.
Olyankor, amikor a végpontok nincsenek benne az intervallumban…
az intervallumot nyílt intervallumnak hívjuk.
NYÍLT INTERVALLUM
Ha mindkét végpont benne van, akkor az a neve, hogy zárt intervallum.
ZÁRT INTERVALLUM
Előfordulhat az is, hogy az intervallum egyik vége nyílt, a másik pedig zárt.
BALRÓL NYÍLT, JOBBRÓL ZÁRT INTERVALLUM:
Az A halmaz
Most pedig nézzük, mi történik, hogyha két intervallumnak vesszük a metszetét…
vagy épp az unióját.
Az intervallumok
Az A halmaz legyen a [2,6] zárt intervallum, a B halmaz pedig az ]1,4[ nyílt intervallum.
Határozzuk meg ezeket:
Úgy tűnik, hogy a 4 nincs benne B-ben…
Így aztán amikor a B halmazt kivonjuk az A halmazból…
akkor a 4-et nem vonjuk ki, az benne marad A-ban.
És ezáltal egy mindkét végén zárt intervallumot kapunk.
Hát, ennyit az intervallumokról.
Most pedig lássuk mi az a négyzetgyök.
Ép itt jön rá egy példa:
Ez egy olyan szám, amit ha négyzetre emelünk,
Akkor 9-et kapunk.
Hát ilyen éppen van…
Nézzünk még néhány példát:
Nos, ezzel viszont lesz egy kis gond…
√a-nak ugyanis azt kell tudnia, hogy 〖 √a〗^2 = a
És ez alapján〖 √(-3)〗^2= -3
Csak hát ez sajnos lehetetlen. Nem tudunk olyan számot
mondani, aminek a négyzete negatív.
A pozitív számok négyzete pozitív…
És a negatív számok négyzete is pozitív.
Így aztán nem létezik olyan szám, aminek a négyzete -3.
A gyökjel alatt tehát nem állhat negatív szám.
Ezek alapján a négyzetgyök definíciója valahogy így szól.
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
szám, aminek a négyzete a.
De sajnos van itt még egy kis gond.
Próbáljuk meg például megmondani ez alapján a definíció alapján,
hogy mennyi 9-nek a négyzetgyöke
Lássuk, megfelel-e ez a definíciónak:
*******
Nos, úgy néz ki, igen.
Mi ezzel a baj?
Nos, az a baj, hogy √9 nem lehet egyszerre +3 és -3 is.
A kettő közül csak az egyik lehet, annak ellenére, hogy
egyébként mindkét szám négyzete 9.
El kell döntenünk, hogy a kettő közül melyik legyen és ezt a
négyzetgyök definíciójába is bele kell építenünk.
Jegyezzük meg, hogy mindig a pluszosat tekintjük egy szám
négyzetgyökének.
…. nem negatív…
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
nem negatív szám, aminek a négyzete a.
És most lássuk, miket tud ez a négyzetgyök.
Na, ezt például nem…
A gyökvonás nem nagyon szereti az összeadást és a kivonást.
Vagyis nem létezik olyan azonosság, hogy mivel egyenlő
Hát ez nagy kár...
A szorzásra és osztásra viszont működik a dolog:
Itt jön aztán a köbgyök.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Lássunk néhány példát:
*** mert ***
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat,
de köbgyök alatt bármi.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Lássunk néhány példát:
mert
mert
mert
mert
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat, de köbgyök alatt bármi.
a
És most oszlassunk el egy téveszmét.
Itt jön ez az egyenlet…
és lássuk, mi történik, ha mindkét oldalból gyököt vonunk.
Nos, az történik, hogy
Ha egy egyenletből gyököt vonunk…
akkor az x mindig lesz.
Mert két olyan szám is van, aminek a négyzete 9.
Az egyik a 3 a másik a -3.
Ha viszont itt van ez, hogy
akkor csak egy megoldás van, mégpedig a 2.
A -2 azért nem jó, mert .
Na persze, ha éppen ezt kell megoldani…
Akkor pedig a -2 lesz a megoldás.
Végül nézzük mi a helyzet a negyedik gyökkel, ötödik gyökkel és társaival.
A negyedik gyök, hatodik gyök, sőt bármilyen páros kitevős gyök pontosan úgy viselkedik, mint a négyzetgyök.
Egy a nem negatív szám 2k-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
A páratlan kitevős gyök pedig úgy viselkedik, mint a köbgyök.
Egy tetszőleges a szám 2k+1-edik gyöke az a szám, amire:
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
