Vektorok, mátrixok, determináns

A vektor egy irányított szakasz.

Jelölése: $\underline{v} = \overrightarrow{AB} $

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b}=(b_1,b_2)$

A két vektor összege:

\( \underline{a} + \underline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \)

A két vektor különbsége:

\( \underline{a} - \underline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) \)

\( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Van itt az $\underline{a}=(a_1, a_2)$ és $\underline{b}=(b_1, b_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ vektor hossza:

\( \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)

Az $ \vec{AB} $ vektor hossza:

\( \vec{AB} = \mid \underline{b} - \underline{a} \mid = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 } \)

És pont ugyanígy kapjuk meg az $A$ és $B$ pontok távolságát is.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Tehát \( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b} = (b_1, b_2)$.

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok skaláris szorzata:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} =  a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög

$\mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$\mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $, vagyis a $\underline{b}$ vektor hossza

Két vektor merőleges egymásra, ha $\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$.

Van itt az $\underline{a}= (a_1, a_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ +90°-os elforgatottja:

\( a^{+90°} = (-a_2, a_1) \)

Az $\underline{a}$ -90°-os elforgatottja:

\( a^{-90°} = (a_2, -a_1) \)

Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk így:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög,

$ \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2 }$, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$ \mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2+b_2^2 }$, vagyis az $\underline{b}$ vektor hossza

Illetve kiszámolhatjuk így is:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz ha $ \underline{a} \cdot \underline{b} = 0 $.

A $P(x_0, y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A \left( x-x_0 \right) + B \left( y-y_0 \right) = 0 \)

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}$ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\left( x-x_0 \right) + B \left(y-y_0 \right) + C \left( z-z_0 \right) = 0 \)

Van a síkban két pont: $P(x_1, y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix} \)

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1, y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} \)

Van itt két pont a síkban: $P(x_1,y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti távolság:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1,y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti távolság a térben:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1 -z_2)^2 } \)

A $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0)+B\cdot (y-y_0)=0 \)

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} $ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0) + B \cdot (y-y_0) + C \cdot (z-z_0) = 0 \)

Van itt két vektor: $\underline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$  és $\underline{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

A két vektor vektoriális szorzata:

\( \underline{a} \times\underline{b} = \det{ \begin{bmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}} \)

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok vektoriális szorzata az $\underline{a} \times \underline{b}$ vektor, ami merőleges az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok által kifeszített síkra, és

\( \underline{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad \underline{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \underline{a} \times \underline{b} = \det{ \begin{pmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}} \)

Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

pl.: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 21 & -6 \\ 6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \)

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

pl.: \( \frac{\begin{pmatrix} 6 & 9 & -12 \\ 3 & 3 & 15 \end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 11 & 5 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix} \)

A mátrixok összeadása kommutatív, azaz

\( A + B = B + A \)

És asszociatív, azaz

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával.

Ha az A mátrix m x n-es a B mátrix pedig n x k-s, akkor az eredménymátrix m x k-s lesz.

Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

pl.: \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 32 & 33 \\ 7 & 29 & 22 \end{pmatrix} \)

Két mátrixot csak akkor adhatunk össze, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

A mátrix összeadás kommutatív:

\( A + B = B + A \)

És asszociatív:

\( (A+B)+C = A+(B+C) \)

A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz:

\( A \cdot B \neq B \cdot A \)

De asszociatív, azaz:

\( ( A \cdot B ) \cdot C = A \cdot ( B \cdot C ) \)

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

pl.: \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Az egységmátrix olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely $A$ mátrixra $A \cdot I = A$.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

pl.: \( I_{2 x 2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Az inverz mátrix jele $A^{-1}$ és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

$ A \cdot A^{-1} = I $ (jobb inverz)

$ A^{-1} \cdot A = I$ (bal inverz)

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése. Jele $A^T$ vagy $A^*$

pl.:

\(  A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow  A^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \)

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

pl.: \( A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Pl.: \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 15 \end{pmatrix} \)

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Pl.: \(  \frac{ \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 15\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 5\end{pmatrix} \)

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a} + \underline{b} = \underline{b} + \underline{a} \)

asszociatív: \( ( \underline{a} + \underline{b} ) + \underline{c} = \underline{a} + ( \underline{b} + \underline{c} ) \)

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

Pl.: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -8\end{pmatrix} \)

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = 3 \cdot 4 + 2\cdot 1 + 5\cdot 2 = 24 \)

Tulajdonságok:

kommutatív: \( \underline{a}^T \cdot \underline{b} = \underline{b}^T \cdot \underline{a} \)

nem asszociatív: \( \left( \underline{a}^T \cdot \underline{b} \right)^T \cdot \underline{c} \neq \underline{a}^T \cdot \left( \underline{b}^T \cdot \underline{c} \right) \)

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Pl.: \( \underline{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

\( \underline{a} \cdot \underline{b}^T = \begin{pmatrix} 12 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 4 \\ 20 & 5 & 10 \end{pmatrix} \)

Tulajdonságok:

nem kommutatív

nem asszociatív

Ha egy mátrixot beszorzunk az $\underline{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $ vektorral, akkor az szépen összeadja a mátrixunk soraiban lévő elemeket.

Ha egy mátrixot beszorzunk az $\underline{I}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{pmatrix} $ vektorral, akkor az szépen összeadja a mátrixunk oszlopaiban lévő elemeket.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

Ha az $A$ egy $n \; x \; n$-es mátrix, akkor determinánsa

\( det(A)=\sum_{\forall p} (-1)^{I(p)} \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{ip(i)} \)

ahol $p$ az oszlopindexek permutációi, $I(p)$ pedig ezen permutációk inverziószáma.

Egy 2x2-es mátrix determinánsa:

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \det(A)=\det \begin{pmatrix} a& b \\ c &d \end{pmatrix}=a\cdot d - b\cdot c \)

A 3x3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály, ami szarrusz szabály néven ismert. A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot és leírjuk saját maga mögé még egyszer, majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat, így

\( \det(A)=-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \)

Ha az $A$ egy nxn-es mátrix, akkor determinánsa

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\)

\( \det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) \)

Itt $\det(A_{ij})$ az $a_{ij}$ elemhez tartozó aldetermináns.

Az $A$ mátrix determinánsa nulla, ha

• van csupa nulla sora
• van két azonos sora
• egyik sora a másik sor számszorosa
• egyik sora más sorok lineáris kombinációja
• mindez sor helyett oszlopra is elmondható

Determinánsok szorzási tétele:

\( \det(A\cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) \)

\( \det(A^k) = \det(A)^k \)

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Az $A$ mátrix szinguláris:

• \( \det(A) = 0 \)
• Nem létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
• RANG<n
• Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan összefüggő
• Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek vagy végtelen sok megoldása van vagy nincs megoldása
• Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

Az $A$ mátrix reguláris:

• \( \det(A) \neq 0 \)
• Létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
• RANG=n
• Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan független
• Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek csak egy megoldása van
• Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak egy megoldása van (a triviális megoldás)