- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Lineáris programozás
- Determináns, Cramer-szabály
- Sajátérték, sajátvektor
- Függvények
- Fontosabb függvények, függvénytranszformációk
- Kombinatorika
- Valszám alapok, klasszikus valszám
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Valószínűségi változók
- Várható érték és szórás
- A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
Sajátérték, sajátvektor
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Sajátérték
Az $A$ nxn-es mátrix sajátértéke egy olyan $\lambda$ valós szám, amelyhez van valami $\underline{v}$ nem nullvektor, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
A sajátérték lényege, hogy vannak olyan mátrixok, és olyan vektorok, hogyha a mátrixot megszorozzuk a vektorral, akkor az eredeti vektornak egy számszorosát kapjuk. Az egységmátrixpéldául ilyen: ha az egységmátrixszal megszorzunk egy tetszőleges vektort, akkor ugyanazt a vektort kapjuk. Ilyenkor minden vektor sajátvektor és a sajátérték 1, mert minden vektorból az 1-szerese lesz.
A sajátvektorok és sajátértékek egyik legfontosabb alkalmazása a geometriai transzformációk, amelyek szintén mátrixokkal írhatók le. A síkbeli tükrözés az x tengelyre például egy geometriai transzformáció, aminek a mátrixa két sajátértékkel rendelkezik. Az x tengelyen lévő vektorokkal a tükrözés hatására nem történik semmi. Ezek tehát saját maguk 1-szeresei lesznek. Az y tengelyen lévő vektorok viszont az x tengelyre történő tükrözéskor "megfordulnak" vagyis beszorzódnak -1-gyel. A tükrözés mátrixának tehát ezek lesznek a sajátértékei. Az 1 és a -1. Mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézed a kapcsolódó epizódot.
Sajátvektor
Az $A$ nxn-es mátrix sajátvektora egy olyan $\underline{v}$ nem nullvektor, amelyhez van valami $\lambda$ valós szám, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
A sajátvektor lényege, hogy vannak olyan mátrixok, és olyan vektorok, hogyha a mátrixot megszorozzuk a vektorral, akkor az eredeti vektornak egy számszorosát kapjuk. A sajátvektorok és sajátértékek egyik legfontosabb alkalmazása a geometriai transzformációk, amelyek szintén mátrixokkal írhatók le.
Vegyük például a síkbeli tükrözést az x tengelyre. Ez egy geometriai transzformáció. Az x tengelyen lévő vektorokkal a tükrözés hatására nem történik semmi. Ezek tehát saját maguk 1-szeresei lesznek. Vagyis ezek a vektorok egytől egyig sajátvektorok, mert teljesítik azt amit egy sajátvektornak tudnia kell: ha megszorozzuk a mátrixokt a vektorral, akkor az eredeti vektor számszorosát kapjuk. Itt most éppen az eredeti vektor 1-szeresét kapjuk. Az y tengelyen lévő vektorok szintén sajátvektorok, mert az x tengelyre történő tükrözéskor "megfordulnak" vagyis beszorzódnak -1-gyel. Vagyis ezek a vektorok saját maguk -1-szeresei lesznek. A tükrözés mátrixának tehát ezek lesznek a sajátvektorai: az x tengely és az y tengely vektorai. Az x tengelyen lévő sajátvektorokhoz tartozó sajátérték az 1, míg az y tengelyen lévő sajátvektorokhoz tartozó sajátérték a -1. Mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézed a kapcsolódó epizódot.
Karakterisztikus egyenlet
A karakterisztikus egyenlet a sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet:
\( \det(A-\lambda \cdot I) = 0 \)
A karakterisztikus egyenlet segít nekünk kiszámolni egy mátrix sajátértékeit. A sajátértékeket úgy kapjuk, hogy a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával. Így egy egyenletet kapunk, és ennek az egyenletnek a megoldásai a sajátértékek. Az egyenletet karakterisztikus egyenletnek is szokás nevezni, és egyetlen bökkenő vele, hogy egy nxn-es mátrix karakterisztikus egyenlete n-edfokú. Vagyis 2-nél és 3-nál még valahogyan meg tudjuk oldani az egyenletet, de mondjuk egy 5x5-ös mátrixnál már ötödfokú egyenletet kapunk, amivel adódhatnak gondok.
Karakterisztikus polinom
A karakterisztikus polinom:
\( \det(A- \lambda \cdot I) \)
A karakterisztikus polinom segít nekünk kiszámolni egy mátrix sajátértékeit. A sajátértékeket úgy kapjuk, hogy a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával. Így egy egyenletet kapunk, és ennek az egyenletnek a megoldásai a sajátértékek. Vagyis a sajátértékek mindig a karakterisztikus polinom gyökei. Előfordul, hogy egy sajátérték többszörös gyök, és az is megeshet, hogy komplex gyökei vannak a karakterisztikus polinomnak.
Azt az egyenletet, amikor a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával karakterisztikus egyenletnek is szokás nevezni, és egyetlen bökkenő vele, hogy egy nxn-es mátrix karakterisztikus egyenlete n-edfokú. Vagyis 2-nél és 3-nál még valahogyan meg tudjuk oldani az egyenletet, de mondjuk egy 5x5-ös mátrixnál már ötödfokú egyenletet kapunk, amivel adódhatnak gondok.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Sajátvektora-e az $A$ mátrixnak az $\underline{u}$ és a $\underline{v}$ vektor?
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \qquad \underline{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
a) Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix} \)
És a feladatunk az, hogy derítsük ki, ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektora az $A$ mátrixnak. A sajátvektorhoz pedig számoljuk majd ki a sajátértékeket is.
b) Számoljuk ki az $A$ mátrix sajátértékeit.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \)
c)
Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Nézzük meg, hogy ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektor, és a sajátvektorokhoz számoljuk ki a hozzájuk tartozó sajátértékeket is.
a) Itt ez a mátrix, és számoljuk ki a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \)
b) Itt jön aztán ez a 3x3-as mátrix. Számoljuk ki a sajátértékeit, sajátvektorait és a sajátvektorok által generált sajátaltereket.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
a) Itt ez a mátrix, és számoljuk ki a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \)
b) Itt jön aztán ez a 3x3-as mátrix. Számoljuk ki a sajátértékeit, sajátvektorait és a sajátvektorok által generált sajátaltereket.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.
Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.
Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit
és sajátvektorait.
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.
Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.
És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.
Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.
A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.
Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.
Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:
kiesik a konstans tag
Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.
Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,
de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.
Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.
Emeljünk ki 2-t.
A kettes módszer itt nem működik,
ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.
A másodfokú részt felbontjuk,
aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.
Van egy ilyen, hogy
emlékeztetőül:
A másodfokú izét szorzattá alakítjuk
Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,
aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.
Itt összevonunk:
Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,
mert a kétszeres sajátérték.
Jöhetnek a sajátvektorok!
Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.
Belerakjuk a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
Itt a bázistranszformáció elakad.
Ha két x is fönt mard,
az egyik t, a másik s
Most már itt se folytatható.
Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és
már foglalt, legyen .
A sajátvektor ha
ahol
És a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátvektor ha
Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit
és sajátvektorait.
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.
Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.
És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.
Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.
A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.
Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.
Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:
kiesik a konstans tag
Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.
Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,
de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.
Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.
Emeljünk ki 2-t.
A kettes módszer itt nem működik,
ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.
A másodfokú részt felbontjuk,
aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.
Van egy ilyen, hogy
emlékeztetőül:
A másodfokú izét szorzattá alakítjuk
Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,
aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.
Itt összevonunk:
Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,
mert a kétszeres sajátérték.
Jöhetnek a sajátvektorok!
Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.
Belerakjuk a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
Itt a bázistranszformáció elakad.
Ha két x is fönt mard,
az egyik t, a másik s
Most már itt se folytatható.
Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és
már foglalt, legyen .
A sajátvektor ha
ahol
És a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátvektor ha
