Adjuk meg az optimális megoldásait ennek az egyenletrendszernek:
\( 2x_1+6x_2 -2x_3 = 2 \)
\( -x_1+2x_2 +x_3 = 3 \)
\( -2x_1-2x_2 +2x_3 = 5\)
a) Adjuk meg az optimális megoldásait ennek az egyenletrendszernek:
\( -2x_1+3x_2 -x_3 = 2 \)
\( x_1+3x_2 +5x_3 = 5 \)
\( -x_1+6x_2 +4x_3 = 1\)
b) Keressük meg azt a megoldást, amire teljesül, hogy \( \mid \underline{x} \mid \) minimális.
Oldjuk meg az egyenletet iterációval.
\(2x+1=5x-5\)
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Jacobi iterációval.
\(4x_1+x_2-x_3=3\)
\(x_1+2x_2+x_3=8\)
\(x_1-x_2+5x_3=14\)
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Gauss-Seidel iterációval.
\(4x_1+x_2-x_3=3\)
\(x_1+2x_2+x_3=8\)
\(x_1-x_2+5x_3=14\)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Jacobi és a Gauss-Seidel iterációval is.
a)
\(4x_1+x_2=7\)
\(2x_1+5x_2=17\)
b)
\(2x_1+x_2+2x_3=10\)
\(x_1+2x_2+2x_3=11\)
\(-2x_1+2x_2+x_3=5\)
Konvergensek-e az alábbi iterációk?
a)
\(x_1-3x_2+x_3=0\)
\(4x_1+2x_2+x_3=13\)
\(x_1+x_2+4x_3=23\)
b)
\(4x_1+5x_2=14\)
\(3x_1+4x_2=11\)
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Richardson iterációval.
\(5x_1+2x_2=16\)
\(8x_1+5x_2=31\)
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert a Gauss-Seidel iterációval vagy a relaxált Gauss-Seidel módszerrel.
\(3x_1-3x_2=12\)
\(4x_1+4x_2=56\)
Ha a Gauss-Seidel iterációt használjuk, hány iterációs lépés után lesz az egyenletrendszer megoldása és az iterációval kapott megoldás eltérése \(\infty\) normában 0,0001-nél kisebb?
\(5x_1+4x_2=22\)
\(x_1+4x_2=14\)
A Jacobi vagy a Gauss-Seidel iteráció konvergál gyorsabban ennél az egyenletrendszernél?
A gyorsabb iterációra számítsuk ki, hogy legalább hány iterációs lépés után lesz az egyenletrendszer megoldása és az iterációval kapott megoldás eltérése 1-es normában 0,0001-nél kisebb.
\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \underline{x} = \begin{pmatrix} 16 \\ 35 \end{pmatrix} \)
Egy egyenletrendszer megoldásához a JOR vagy a SOR módszert szeretnénk használni. Határozzuk meg mindkét esetben, hogy milyen relaxációs paraméterre lesz a konvergencia a leggyorsabb.
Az egyenletrendszer együtthatómátrixa:
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Egy egyenletrendszer megoldásához a JOR vagy a SOR módszert szeretnénk használni. Határozzuk meg mindkét esetben, hogy milyen relaxációs paraméterre lesz a konvergencia a leggyorsabb.
Az egyenletrendszer együtthatómátrixa:
\( A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)
Mamutfenyők törzskerületével és életkorával kapcsolatos összefüggést vizsgálunk.
Az öt fán végzett mérések adatait arra fogjuk használni, hogy készítsünk belőlük egy függvényt, ami képes lesz megmondani a törzs kerületéből a fa életkorát.
Adjuk meg azt a lineáris függvényt, ami a két kiemelt ponton átmegy.
Mamutfenyők törzskerületével és életkorával kapcsolatos összefüggést vizsgálunk.
Az öt fán végzett mérések adatait arra fogjuk használni, hogy készítsünk belőlük egy függvényt, ami képes lesz megmondani a törzs kerületéből a fa életkorát.
Adjunk lineáris közelítést a mamutfenyők életkorának megállapítására a legkisebb négyzetek módszerével.
Mamutfenyők törzskerületével és életkorával kapcsolatos összefüggést vizsgálunk.
Az öt fán végzett mérések adatait arra fogjuk használni, hogy készítsünk belőlük egy függvényt, ami képes lesz megmondani a törzs kerületéből a fa életkorát.
Adjunk lineáris közelítést a mamutfenyők életkorának megállapítására a mátrixos megoldással.
Európa néhány országában megvizsgáltuk az egy főre jutó GDP-t és a 100 főre jutó személyautók számát.
Adjuk meg az adatsorra legjobban illeszkedő lineáris függvényt.
Négy diákot megkérdeztek, hogy hány órát tanultak a matekvizsgájukra és hány százalékot értek el. A válaszaik alapján készült ez a táblázat.
Adjuk meg az adatsorra legjobban illeszkedő lineáris függvényt, és készítsünk egy becslést arra, hogy 5 órányi tanulással hány százalékosra lehet megírni a vizsgát.
Egy kísérletben az \(y\) változót az \(x\) függvényében vizsgáltuk. A változókra öt megfigyelést végeztünk:
| \(x\) | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 |
| \(y\) | 30 | 50 | 50 | 80 | 50 |
Adjuk meg az adatokra legjobban illeszkedő lineáris függvényt pivotálással.
Határozzuk meg az \(A(1,3)\), \(B(2,8)\), \(C(3,4)\) és \(D(4,7)\) pontokra legjobban illeszkedő lineáris függvény képletét.
Az \(f(x)\) függvény az alábbi mérésekkel adott:
| \(x\) | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 |
| \(f(x)\) | 7 | 6 | 4 | 3 | 2 |
Adjuk meg az \(f(x)\)-hez legjobban közelítő lineáris \(g(x)\) függvényt.
