A Diofantoszi egyenletek így néznek ki:
\( ax+by=c \)
ahol $a,b,c \in Z$ és $x,y \in Z$
Megoldásukat azzal kezdjük, hogy kiszámoljuk $a$ és $b$ legnagyobb közös osztóját: $D$, és ezzel végig osztjuk az egyenletet, így kapjuk az
\( Ax+By=C \)
egyenletet, ahol $(A,B)=1$.
A második lépés, hogy az euklideszi algoritmus segítségével kifejezzük $A$ és $B$ legnagyobb közös osztóját, ami az 1, így
\( \alpha \cdot A + \beta \cdot B = 1 \)
egyenletet kapunk.
Ezt az egyenletet beszorozva $C$-vel megkapunk egy megoldást:
\( \left( \alpha \cdot C \right) \cdot A + \left( \beta \cdot C \right) \cdot B = C \)
Az általános megoldásokat a következő alakban kapjuk meg:
\( x = \alpha \cdot C + k\cdot B \)
\( y = \beta \cdot C - k\cdot A \)
A Diofantoszi egyenletek olyan egész együtthatós kétismeretlenes egyenletek, amelyek megoldásait az egész számok halmazán keressük.
Oldjuk meg az alábbi Diofantoszi egyenleteket.
a) \( 13x+8y=17 \)
b) \( 12x+8y=10 \)
c) \( 12x+20y=28 \)
