Diofantoszi egyenletek

A Diofantoszi egyenletek így néznek ki:

\( ax+by=c \)

ahol $a,b,c \in Z$ és $x,y \in Z$

Megoldásukat azzal kezdjük, hogy kiszámoljuk $a$ és $b$ legnagyobb közös osztóját: $D$, és ezzel végig osztjuk az egyenletet, így kapjuk az

\( Ax+By=C \)

egyenletet, ahol $(A,B)=1$.

A második lépés, hogy az euklideszi algoritmus segítségével kifejezzük $A$ és $B$ legnagyobb közös osztóját, ami az 1, így

\( \alpha \cdot A + \beta \cdot B = 1 \)

egyenletet kapunk.

Ezt az egyenletet beszorozva $C$-vel megkapunk egy megoldást:

\( \left( \alpha \cdot C \right) \cdot A + \left( \beta \cdot C \right) \cdot B = C \)

Az általános megoldásokat a következő alakban kapjuk meg:

\( x = \alpha \cdot C + k\cdot B \)

\( y = \beta \cdot C - k\cdot A \)