Barion Pixel Mértani sorozat | mateking
 

Mértani sorozat

Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és $q$-val jelöljük. Egy kicsit egyszerűbben megfogalmazva egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden tagja pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, ahol $q$ egy tetszőleges nem nulla szám, és ezt hívjuk a sorozat hányadosának, vagy másként kvóciensének.

Vagyis a sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.

A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.

A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:

\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)

Az első $n$ tagjának összegét pedig így:

\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)

Olyankor, amikor $q = 1$ ez az összegképlet nem működik. Ilyenkor a sorozat minden tagja az előző tag egyszerese, ami azt jelenti, hogy a sorozatnak minden tagja ugyanannyi. Ekkor az összegképlet így néz ki: \( S_n = a_1 \cdot n \)

A mértani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.

Itt jön a mértani sorozat általános tagjának kélete és a mértani sorozat összegképlete.