- Trigonometria
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- A kör
- Kombinatorika
- Gráfok
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Számelmélet, számrendszerek
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- A geometriai valószínűség
- A várható érték
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Függvények ábrázolása
- Feladatok függvényekkel
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése (emelt szint)
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése (emelt szint)
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Divergens sorozat
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.
Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ennek a sorozatnak a határértéke \(\frac{3}{2}\) és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{3n^2+1}{2n^2+5} \)
b) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-2}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{4n^3+5}{n^3+4} \)
a) Igazoljuk a konvergencia definíciójával, hogy ez a sorozat konvergens, és adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\frac{4n^8+5}{n^8+4} \)
b) Igazoljuk, hogy ez a sorozat plusz végtelenbe tart, és adjuk meg az \(M=10^2\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n=\sqrt[4]{5\cdot n^3+6} \)
a) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)
b) Számoljuk ki ennek a sorozatnak a határértékét, és ha konvergens, akkor adjuk meg az \(\epsilon=10^{-3}\)-hoz tartozó küszöbindexet.
\( a_n =(-1)^n \cdot \sqrt[3]{\frac{n^4-5}{5\;000\;000-n^6}} \)
A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{n^8-5n^4-6}{2n^8+n} \to \frac{1}{2} \)
a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{n^5+3n^4+2n}{4n^5+12} \to \frac{1}{4} \)
b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt[3]{\frac{n^4+4n^3+n^2-5}{n^5+4}} \to 0 \)
c) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat divergens, és a határértéke végtelen. Adjunk meg minden \(M\)-hez \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \frac{5n^8+7n^4-6n}{n^5+4n^3+5n+1}\)
a) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt{n^4+4n}-\sqrt{n^4+3} \to 0 \)
b) A konvergencia definíciójával igazoljuk, hogy ez a sorozat konvergens, és adjunk tetszőleges pozitív \(\epsilon\)-hoz \(n_0\) küszöbindexet.
\( a_n = \sqrt{\frac{9n^2+1}{n^2+n}} \to 3 \)
Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:
Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.
Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.
A sorozat bármilyen számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.
És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:
Az sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.
Íme a menü:
Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:
A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.
Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy
Ha mondjuk , akkor
és így
Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.
Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…
akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.
Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t
A sorozat divergens.
Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .
Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.
És most megszabadulunk az abszolútértékektől.
Fönt kezdjük.
Ha n=1
Lássuk csak, vajon pozitív-e.
Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.
Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Most pedig nézzük mi van a nevezővel.
Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.
De 9-től már pozitív.
Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis valahol itt lesz.
Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…
És íme a küszübindex.
Itt jön egy újabb remek sorozat, és
Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…
De az összes többi n-re pozitív.
