- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Függvények
- Összetett függvények és inverz függvények
- Sorozatok
- Monotonitás és korlátosság
- Sorok
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hôpital szabály
- Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
Összetett függvények és inverz függvények
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Összetett függvény
Ha az $f(x)$ és $g(x)$ függvényeket egymásba ágyazzuk, azaz az $f$ függvény $x$ változójának helyére behelyettesítjük a $g(x)$ függvényt, összetett függvényt kapunk.
\( f \circ g = f(g(x)) \)
Ebben az összetett függvényben $f$ függvényt hívjuk külső függvénynek, a $g$ függvényt pedig belső függvénynek.
inverz függvény
Minden függvény egy $x \mapsto y$ hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az $y \mapsto x$ fordított hozzárendelés.
Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amik két különböző $x$-hez különböző $y$-okat rendelnek, ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönesen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\sqrt{x+5} \qquad g(x)=x^3+1 \)
És gyártsuk le belőlük ezeket:
\( f \circ g = ? \quad g \circ f = ? \quad f \circ f = ? \quad g \circ g = ? \)
b) Nézzük meg a két függvény és az $ f \circ g$ összetett függvény értelmezési tartományát.
\( f(x)=\log_2{(x-3)} \qquad g(x)=\sqrt{x-1} \)
a) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\sqrt{x} \qquad g(x)=\frac{x+4}{x-3} \)
Adjuk meg ezeket az összetett függvényeket és értelmezési tartományukat:
\( f \circ g \qquad g \circ f \)
b) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\lg{x} \qquad g(x)=\frac{x-4}{x-2} \)
Adjuk meg ezeket az összetett függvényeket és értelmezési tartományukat:
\( f \circ g \qquad g \circ f \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek.
a) \( f(x)=\frac{4x-3}{5} \)
b) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)
c) \( f(x)=x^2+3 \)
Adjuk meg az \( f(x)=16-x^2 \) függvény inverzét, ha
a) \( x \in \mathbb{R} \)
b) \( x \in \mathbb{R}^+ \)
c) \( -4 \leq x \leq 0 \)
d) \( -4 \leq x \leq 4\)
Számoljuk ki ennek a függvénynek is az inverzét:
a) \( f(x)=\sqrt{x+10} \)
b) \( f(x)=5-\sqrt{x+4} \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek, ha létezik. Ha nem létezik inverz, akkor szűkítsük le a függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a függvény invertálható legyen, és adjuk meg az inverzét.
a) \( f(x)=\frac{x-4}{x+5} \)
b) \( f(x)=\frac{2x-1}{x-2} \)
c) \( f(x)=2+x^2 \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek.
a) \( f(x)=\sqrt{x-2}\)
b) \( f(x)=2^x \)
c) \( f(x)=4+\log_3{x} \)
Oldjuk meg ezeket:
a) \( 4^{x+3}+5=13 \)
b) \( \log_2{(x+5)}=3 \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek.
a) \( f(x)=7+3^{4x+5}\)
b) \( f(x)=4+2^{x-2} \)
c) \( f(x)=6+\log_2{\frac{5x-7}{4}} \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek.
a) \( f(x)=5+e^{4x-3}\)
b) \( f(x)=5+\ln{(x-4)}\)
c) \( f(x)=7+\ln{\frac{x+3}{4}} \)
Számoljuk ki az inverzét a megadott függvényeknek.
a) \( f(x)=\frac{x-3}{x+4}\)
b) \( g(x)=\frac{x^2-3x}{x^2+4x}\)
c) \( f(x)=\frac{2x^4-x^3}{x^4-4x^3} \)
d) \( f(x)=\sqrt[3]{ \frac{x^4-4x}{x} } \)
Adjuk meg a függvények inverzeit, ha létezik. Ha nem létezik inverz, akkor szűkitsük le a függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a függvény invertálható legyen, és adjuk meg az inverzét.
a) \( f(x)= \begin{cases} x^2, &\text{ha } 0 \leq x < 2 \\ 6-x, &\text{ha } 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \)
b) \( f(x)= \begin{cases} 4-x^2, &\text{ha } -2 \leq x \leq 0 \\ 2x+4, &\text{ha } 0 < x \leq 2 \end{cases} \)
Adjuk meg a függvények inverzeit.
a) \( f(x)= (x+3)^2+2 \quad D_f: x\in R^{+} \)
b) \( f(x)= x^2+6x+11 \quad D_f: x\in R^{+} \)
c) \( f(x)= x^2-4x+1 \quad D_f: x\in R^{-} \)
d) \( f(x)= (x-2)^2-3 \quad D_f: x\in R^{-} \)
Adjuk meg a függvények inverzeit, ha létezik. Ha nem létezik inverz, akkor szűkitsük le a függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a függvény invertálható legyen, és adjuk meg az inverzét.
\( f(x)= \sqrt{25-x^2} \)
a) Milyen \( A \) paraméter esetén invertálható az alábbi függvény a \( [0;5] \) intervallumon?
\( f(x)= \begin{cases} x^2, &\text{ha } 0 \leq x < 2 \\ A-x, &\text{ha } 2 \leq x \leq 5 \end{cases} \)
b) Milyen \( A \) paraméter esetén invertálható az alábbi függvény a \( [0;4] \) intervallumon?
\( f(x)= \begin{cases} x^2-A, &\text{ha } 0 \leq x < 2 \\ x+A, &\text{ha } 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \)
Adjuk meg ennek a függvénynek az inverzét, ha létezik. Ha nem létezik inverz, akkor szűkítsük le a függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a függvény invertálható legyen, és adjuk meg az inverzét.
a) \( f(x)= \begin{cases} 4-x &\text{ha } -2 \leq x \leq 0 \\ 4-x^2 &\text{ha } 0 < x \leq 2 \\ 2x+2 &\text{ha } 2<x \leq 3 \end{cases} \)
b) \( f(x)= \begin{cases} \frac{5}{1+x^2} &\text{ha } -2 \leq x \leq 0 \\ 4+\sqrt{x+4} &\text{ha } 0 < x \leq 5 \end{cases} \)
Adjuk meg, hogy milyen \( A \) paraméter esetén invertálható a \( [0;4] \) intervallumon, és számoljuk ki az inverzét.
\( f(x)= \begin{cases} Ax+2 &\text{ha } 0 \leq x < 2 \\ 2A+x &\text{ha } 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \)
Adjuk meg, hogy milyen \( A \) paraméter esetén invertálható a \( [-2;3] \) intervallumon, és számoljuk ki az inverzét.
\( f(x)= \begin{cases} Ax^2+2 &\text{ha } -2 \leq x < 0 \\ 2A-x &\text{ha } 0 \leq x \leq 3 \end{cases} \)
Mi az inverzfüggvénye?
a) \( f(x)=\sqrt[5]{x+2} \)
b) \( f(x)= \left( 1-x^5 \right)^{\frac{1}{3}}+1 \)
c) \( f(x)=\frac{2x-3}{x+5} \)
d) \( f(x)=e^{5-4x} \)
e) \( f(x)=e^{1-2x}+4 \)
f) \( f(x)=1+\lg{(x-5)} \qquad x>5 \)
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
