- Hatványozás, polinomok, egyenletek, egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek, abszolútérték, gyökös kifejezések
- Exponeciális egyenletek, logaritmus, számtani és mértani sorozat
- Vektorok, koordinátageometria, szögfüggvények
- Függvények
- Összetett függvények és inverz függvények
- Sorozatok
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hôpital szabály
- Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
Hatványozás, polinomok, egyenletek, egyenletrendszerek
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Hatványazonosságok összefoglaló
Hatványozás azonosságai:
\( a^n a^k = a^{n+k} \)
\( \frac{ a^n}{ a^k } = a^{n-k} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( \left( a^n \right)^k = a^{nk} \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
\( a^{ \frac{k}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^k = \sqrt[n]{a^k} \)
\( a^n b^n = (ab)^n \)
\( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)
Exponenciális függvény
Exponenciális függvénynek nevezzük az $f(x)=a^x$ alakú függvényeket, ahol $a>0$ valós szám.
Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában.
Ilyen függvények írják le a baktériumok szaporodását, a radioaktív elemek bomlását, a számítógépek teljesítményének növekedését és még rengeteg más dolgot.
Normálalak
A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.
A normálalak mindig egy szorzat, az első tényezője egy abszolútértékben 1-nél nagyobb vagy egyenlő, 10-nél kisebb szám. A másik tényezője pedig egy 10 hatvány.
Pl.: $35 000=3,5\cdot 10^4$
Kiemelés
A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.
A dolog úgy indul, hogy találnunk kell egy közös részt, amit kiemelhetünk.
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Többtagú betűs kifejezések szorzása
Zárójel felbontásakor minden tagot minden taggal szorozni kell.
Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.
Pl.: $(a+b)\cdot (c-5)=a\cdot c -5 \cdot a + b \cdot c - 5\cdot b $
Mérleg elv
A mérleg elv lényege, hogy amikor megoldunk egy egyenletet, az egyenlőségjel mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket kell elvégeznünk. Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadhatjuk, vagy az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonhatjuk. És az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nem nulla számmal megszorozhatjuk, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal eloszthatjuk. Vagyis:
- ha elveszünk egy számot az egyik oldalról, akkor a másik oldalról is el kell venni
- ha hozzáadunk egy számot az egyik oldalhoz, akkor a másik oldalhoz is hozzá kell adni
-ha szorozzuk az egyik oldalt egy nem nulla számmal, akkor a másik oldalt is szorozni kell ugyanezzel a számmal
-ha osztjuk az egyik oldalt egy nem nulla számmal, akkor a másik oldalt is osztani kell ugyanezzel a számmal
Az összeadás, kivonás és szorzás egymásutáni lépéseivel jutunk el a megoldáshoz.
Elsőfokú egyenletek megoldása
A megoldás lényege, hogy gyűjtsük össze az $x$-eket az egyik oldalon, a másik oldalon pedig a számokat, a végén pedig leosztunk az $x$ együtthatójával.
Ha törtet is látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.
Törtes elsőfokú egyenletek megoldása
Ha törtet látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.
Figyeljünk rá, hogy ilyenkor az egyenlet minden tagját meg kell szorozni (a tagokat $+$,$-$ vagy $=$ jelek választják el egymástól...).
Miután megszabadultunk a törtektől az egyenlet megoldásának lépései a szokásosak a mérleg elv segítségével.
Másodfokú egyenlet megoldóképlete
Ha a másodfokú egyenlet így néz ki:
\( a x^2 + bx + c = 0 \)
Akkor a megoldóképlet:
\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)
Diszkrimináns
A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti részét nevezzük diszkriminánsnak.
\( D = b^2 -4ac \)
Ez dönti el, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós megoldása lesz.
Ha a diszkrimináns nulla, akkor csak egy.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenletnek két valós megoldása van.
Ha pedig negatív, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.
Másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja
Az $ax^2+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:
\( ax^2 + bx + c = a (x-x_1)(x-x_2) \)
Viète-formulák
A Viète-formulák nem valami titkós gyógyszer hatóanyag, hanem a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket írja le:
\( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)
Olyankor, amikor a másodfokú tag együtthatója 1, a Viète-formulák is egyszerűbbek:
\( x^2 + px + q = 0 \qquad x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 x_2 = q \)
Behelyettesítő módszer
A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája.
Lényege, hogy kiválasztjuk az egyik egyenletet, ahonnét az egyik változót kifejezzük a másikkal. Ilyenkor célszerű a számunkra szimpatikusabb, egyszerűbb egyenletet választani.
Ezt követően az így kapott kifejezést behelyettesítjük a másik, fel nem használt egyenletbe, így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amit már meg tudunk oldani.
Egyenlő együtthatók módszere
Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez.
Lényege, hogy ha a két egyenletben vagy az $x$ vagy az $y$ együtthatói megegyeznek, akkor a két egyenletet egymásból kivonva azok kiesnek, és egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amit már meg tudunk oldani.
Ha az együtthatók egymás ellentettjei lennének, akkor pedig össze kell adni a két egyenletet.
A módszer akkor is működik, ha nem volnának egyenlő együtthatók, ilyenkor bátran szorozhatjuk az egyenleteket addig, amíg nem lesznek egyenlő együtthatók.
Függvények paritása
Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = f(x) \)
Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:
\( f(-x) = - f(x) \)
Polinomfüggvény
Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.
A polinomfüggvény általános alakja:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.
a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)
b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)
a) Írjuk fel normálalakba a Föld tömegét: 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg
b) Írjuk fel normálalakba aJupiter tömegét, ha az 318-szor akkora, mint a Föld tömege.
c) Írjuk fel normálalakba aSzaturnusz tömegét, ha az 95-ször akkora, mint a Föld tömege.
d) Írjuk át sima helyiértékes alakba a Merkúr tömegét, ha az $3,301\cdot10^{23} \; kg$.
a) Egy hídon $a$ darab autó, $b$ darab busz és $k$ darab kamion megy át.
Az autók 3, a buszok 16, és a kamionok 40 tonnásak.
Adjuk meg egy betűs kifejezéssel, hogy milyen nehéz az összes autó, busz és kamion együttvéve.
Egy alkalommal 8 autó, 4 busz és 5 kamion volt a hídon. Milyen nehezek voltak összesen?
Egy másik alkalommal 12 autó és 4 kamion ment át a hídon. Milyen nehezek voltak összesen?
b) Helyettesítsünk $x$ helyére 10-et és $y$ helyére 3-at.
\( \frac{3}{4}x+2y+2x-\frac{5}{6}y= \)
c) Mennyi lesz ennek a kifejezésnek az értéke, ha $x=\frac{3}{4}$?
\( 3x-7+5x+1= \)
Emeljünk ki:
a) $3x+30=$
b) $4x+12=$
c) $12x+20=$
d) $xy+5x=$
e) $xy-x=x\cdot y- x$
f) $x^2-4x=$
g) $x^2y+12xy = $
h) $20ax-12ax^2=$
i) $9x-12a-3y=$
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Bontsuk fel a zárójelet és vonjunk össze mindent, amit csak lehet:
a) $y\cdot (4x-3y-5)=$
b) $(x+y)\cdot (4x-3y-5)=$
c) $(4x-y)\cdot (3x-a)=$
d) $\left( x^2-2a \right)\cdot (3x-4a+4x)=$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $x+3=10$
b) $3x+4=x+10$
c) $2x-5=x+2$
d) $2x-4=5-x$
e) $5x-3=4+x$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $2\cdot (x-3)=4$
b) $3\cdot (x-1)=2\cdot (x+2)$
c) $5-2\cdot(x-3)=8$
d) $2x-2\cdot (x+4)=3\cdot (x-1)+7$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $x+5 = \frac{3}{4}$
b) $x+\frac{5}{3} = 10$
c) $\frac{x}{4} + 5 =2x$
d) $\frac{x}{3}+10=\frac{5}{4}$
Oldjuk meg ezeket az egyenleteket.
a) $\frac{x+2}{3} = \frac{3x-1}{2} $
b) $\frac{x-1}{3} = \frac{2x+3}{5}$
c) $\frac{x-1}{2} = \frac{2x+2}{5} + 1$
d) $\frac{x+4}{2} + \frac{x-1}{3} + \frac{2x+5}{5} = 15$
e) $\frac{x+2}{4} + \frac{2x+3}{5} = \frac{4x-9}{3} $
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3x^2-14x+8=0 \)
b) \( -2x^2+5x-3=0 \)
c) \( 4x + \frac{9}{x}=12 \)
d) \( x^2-6x+10=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( x^2+17x+16=0 \)
b) \( x^2+7x+12=0 \)
c) \( x^2-10x+20=0 \)
d) \( x^2-6x-16=0 \)
e) \( 3x^2-12x-15=0 \)
f) \( 4x^2+11x-3=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \frac{16}{x-4}=3x-20 \)
b) \( \frac{x}{x+4}=\frac{32}{(x+4)(x-4)} \)
c) \( \frac{x-3}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{26}{x^2-9} \)
Alakítsd szorzattá.
a) \( x^2-6x-16=0 \)
b) \( x^2-7x+12=0 \)
c) \( 3x^2-14x+8=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenleteket.
a) \( x^6-9x^3+8=0 \)
b) \( 4x^5-9x^4-63x^3=0 \)
c) \( x^9-7x^6-8x^3=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket.
a)
\( \frac{3}{x+y} - \frac{2}{x-y}=3 \)
\( \frac{12}{x+y} - \frac{5}{x-y}=9 \)
b)
\( \frac{4x}{x+y}+\frac{6}{x-y}=6 \)
\( \frac{12x}{x+y} - \frac{4}{x-y}=7 \)
Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket.
a)
\( x^2-4x+3y+6=0 \)
\( 2x+2y-4=0 \)
b)
\( 3x^2-3y=0 \)
\( 5y^4-5x=0 \)
c)
\( 3xy-y^2=0 \)
\( 2x^2+14x-y^2=0 \)
Oldd meg az alábbi egyenletrendszert.
a)
\( x^2y+xy^2=0 \)
\( 4x+xy+4y=-16 \)
b)
\( x^2y+xy^2=-48 \)
\( 4x+xy+4y=-16 \)
Ábrázoljuk a következő függvényeket.
\( f(x)=x^2 \)
\( f(x)=x^3 \)
\( f(x)=x^4 \)
\( f(x)=x^5 \)
Végezzük el az alábbi polinomosztásokat.
a) \( \frac{x^5-3x^4+9x^3+7x^2+5x+9}{x^4-4x^3+9x^2} \)
b) \( \frac{x^4-5x^3+7x^2+5x-24}{x-3} \)
c) \( \frac{2x^4+5x^2+6}{x^2+x+1} \)
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
A Jupiter tömege 318-szor nagyobb a Föld tömegénél.
Ekkora a Jupiter…
És csak ekkora a Föld.
De mégis hány kiló a Föld?
Egy vonat például…
Úgy durván .
De hát a Föld sokkal nehezebb, mint egy vonat…
A föld tömege vonatokkal meg városokkal meg hegyekkel együtt…
Ekkora:
Az ilyen nagy számokat már ki sem tudjuk mondani.
És leírni is túl hosszú…
Erre már korábban másik is rájöttek, és kitaláltak valamit.
Egy olyan módszert találtak ki, amivel ezeket a nagyon nagy számokat könnyebben le lehet írni.
Úgy hívják, hogy normálalak.
A normálalakot úgy kapjuk, hogy vesszük a legelső számjegyet…
Azt leírjuk, teszünk utána egy vesszőt…
Aztán még a vessző után írjuk a többi számjegyet, ami nem nulla…
Végül megszámoljuk, hogy hány számjegy van a legelső számjegy után…
És beszorozzuk ezt 10-nek ennyiedik hatványával.
Meg is van a normálalak.
A Föld tömege .
Most számoljuk ki a Jupiter tömegét…
A Jupiter tömege 318-szor akkora, mint a Föld tömege:
Meg is van a Jupiter tömege.
Csak sajnos van egy kis gond…
Ez nem normálalak.
A normálalak ugyanis mindig így kell, hogy kinézzen:
A gondot ez okozza.
Ez ugyanis nem 0 és 10 közti szám…
Szerencsére lazán átírhatjuk ezt is normálalakra…
Jöhet a normálalak…
Most jön a többi számjegy…
Ilyenkor ezzel a tizedesvesszővel nem kell foglalkozni.
Végül jön a 10-nek valamilyen hatványa…
Megszámoljuk a számjegyeket…
És itt egy tipikus hiba…
Ennél a lépésnél, amikor a 10-nek a kitevőjét keressük, csak a vessző előtti számjegyek számítanak.
Húha, ez kezd bonyolodni…
Meg is van a normálalak.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
Egy hídon a darab autó, b darab busz és k darab kamion megy át.
Az autók 3 tonnásak…
A buszok 16 tonnásak…
És a teherautók 40 tonnásak.
3 tonna
16 tonna
Adjuk meg egy betűs kifejezéssel, hogy milyen nehéz az összes autó, busz és kamion együttvéve.
Egy darab autó 3 tonna…
Két darab autó már kétszer annyi…
És a darab autó a-szor annyi.
Aztán jön még a b darab busz…
És a k darab kamion.
Ez a képlet adja meg, hogy milyen nehéz az a darab autó, b darab busz és k darab kamion.
Egy alkalommal x autó y busz és z kamion volt a hídon.
Milyen nehezek voltak együttvéve
A változók helyére behelyettesítünk…
És meg is van.
Egy másik alkalommal 12 autó és 4 kamion ment át a hídon.
Megint behelyettesítünk…
Busz az most nincs…
Itt jön egy újabb betűs kifejezés…
Hidak nélkül…
Helyettesítsünk x helyére 4-et és y helyére 3-at.
Egy kis összevonással kezdjük…
És most jöhet a behelyettesítés.
És talán még egy nem árthat meg…
Mennyi lesz ennek a kifejezésnek az értéke, ha
Hát, ennyit a behelyettesítésről.
És most nézzük, miért rettegnek olyan soka a kiemeléstől…
A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.
Ez egy zárójelfelbontás…
És ez pedig a kiemelés:
sélemeik a gidep ze sé
Vagy legalábbis majdnem…
A kiemelés azt csinálja, hogy átalakítja ezt egy szorzattá.
A dolog úgy indul, hogy kell találnunk egy számot, amit kiemelhetünk.
A 3 például jó is lesz…
És aztán hopp, kiemeljük.
Kész is a kiemelés.
Ha most beszorzunk 3-mal és felbontjuk a zárójelet, akkor visszakapjuk, hogy 3x+30.
Az egész ilyen egyszerű.
De akkor miért rettegnek tőle mégis olyan sokan?
Mindjárt meglátjuk…
Emeljünk ki itt is:
Azzal kezdjük, hogy megnézzük, mit lehetne kiemelni.
Ki tudunk emelni, mondjuk 4-et.
És, hogy mi a nehéz a kiemelésben?
Az a nehéz benne, hogy rájöjjünk, mit lehet kiemelni.
Nézzük meg ezt:
A 12-t például nem igazán lehet kiemelni…
Mert így hirtelen nehezen tudunk olyan számot mondani, amit 12-vel megszorozva 20-at kapunk.
Ha mégis rájövünk, hogy ez az:
Hát ez így még rosszabb…
Valami olyan számot kellene kiemelni, ami a 4x-ben és a 20-ban is megvan.
Kiemelni nem csak számokat lehet…
Itt mindkét tagban van x…
Úgyhogy emeljünk ki x-et.
Ilyenkor ezt a magányosan álldogáló x-et képzeljük el úgy, hogy 1x.
És mehet a kiemelés.
Vannak aztán olyan esetek is, amikor több dolgot is ki tudunk emelni…
Ki lehet emelni például y-t.
De ebből még ki lehet emelni x-et is.
Minél több dolgot emelünk ki, annál jobb.
De vannak helyzetek, amikor be kell érni kevéssel is.
Így hirtelen úgy néz ki, hogy itt nem is lehet semmit kiemelni…
De a 3-at azért talán mégis ki lehet…
A zárójelfelbontást már ismerjük…
És most itt az ideje szintet lépni…
Nézzük, mi történik, hogyha nem simán y-nal szorzunk…
Hanem ezzel.
Ezt úgy hívjuk, hogy többtagú kifejezések szorzása.
Mert itt is két tag van…
Itt meg ráadásul három.
Hát, ez így elsőre nem néz ki túl jól…
De valójában ugyanazt kell csinálni, mint eddig.
Csak most kétszer.
Kezdjük az elején…
Aztán ugyanezt megcsináljuk az y-nal is.
És még egy kicsit rendet rakunk…
Kezdjük azzal, hogy ezeket összevonjuk…
Meg is van a zárójelfelbontás.
Nem is olyan rémesek ezek a zárójelfelbontások…
És egy kis trükk segítségével még gyorsíthatunk is:
Ez itt egy algebrai kifejezés:
Ezeket a számokat együtthatónak hívjuk…
Itt az x és az a valamilyen számokat jelöl.
Az x-et és az a-t pedig a változónak.
Algebrai kifejezések szereplői
együtthatók
változók
kitevő
Ezek itt az együtthatók…
És ezek a változók.
És itt jön két tipikus hiba…
Az együtthatókat mindig előjellel együtt kell nézni…
Itt az együttható –2…
Ez a – 16 itt pedig nem együttható.
Mert nincs mögötte változó.
Ezt úgy hívjuk, hogy konstans tag.
És most nézzük az egynemű kifejezéseket.
Ilyenből, hogy xy nincs több…
Van külön x és külön y, de azokkal ez nem vonható össze.
Hát jó, akkor ennyit erről…
Ugorjunk…
Úgy tűnik, ezzel sem tudunk mit kezdeni, mert a nem bukkan fel máshol.
Nézzük az x-eket…
Na, ebből végre még van máshol is.
Vonjuk is őket össze.
És úgy tűnik ennyi…
Mást nem tudunk összevonni.
De van valami, ami még ennél is izgalmasabb…
Nézzük meg, hogyan lehet összevonni az egynemű kifejezéseket.
És ezeket hívjuk egyneműeknek.
Amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Össze is vontunk mindent, amit lehet.
Lássuk, miket vonhatnánk össze itt:
Azokat hívjuk egynemű kifejezésnek, amik csak az együtthatójukban különböznek.
És ezeket lazán össze is tudjuk vonni…
Ezt hívjuk összevonásnak.
Vonjuk össze itt is az egynemű kifejezéseket.
Ez itt egy egyenlet…
És most megnézzük, hogyan lehet egy egyenletet megoldani.
A megoldás lényege, hogy kiderül, mennyi az x.
Egy trükkös módszert fogunk használni, amit mérleg-elvnek neveztek el.
A mérleg-elv úgy működik, hogyha elveszünk az egyik oldalról 3-at…
Akkor a másik oldalról is el kell venni 3-at, hogy megmaradjon az egyensúly.
És hopp, meg is kaptuk az x-et.
Így meg is van, hogy mennyi az x.
Ez eddig elég egyszerűnek tűnik.
Nézzünk meg egy másikat is:
Kezdjük azzal, hogy innen elvesszük ezt a 4-et…
Ahhoz, hogy megmaradjon az egyensúly, a másik oldalról is el kell venni 4-et…
De még mindig nem tudjuk, hogy mennyi az x…
A gondot az okozza, hogy x mindkét oldalon szerepel…
Így aztán elvesszük innen ezt az x-et...
De akkor innen a másik oldalról is el kell venni az x-ekből egyet.
Most már nagyon közel járunk a megoldáshoz…
Mindkét oldalt elfelezzük…
Ez az egyenlet megoldása.
És most tökéletesítjük egy kicsit a mérleg-elvet…
Itt jön egy újabb egyenlet:
És kész is, ez az egyenlet megoldása.
Nézzünk meg még egyet…
Megszabadulunk itt ettől az x-től…
Az x-eket sikerült is összegyűjteni az egyik oldalra…
Már csak ezt kéne innen eltüntetni.
És itt jön egy harmadik egyenlet is…
Meg is van, ez az egyenlet megoldása.
Kezdjük azzal, hogy kinyiffantjuk itt ezt az x-et.
Pakoljuk föl a mérlegre…
Hát, ezzel már bajban leszünk…
Talán valahogy így…
Nem, így mégse lesz jó…
A mérleget most tegyük félre, és maradjunk csak a mérleg-elvnél.
A megoldás lényege, hogy az x-eket összegyűjtjük az egyik oldalon…
Az teljesen mindegy, hogy melyik oldalon.
Itt több x van, úgyhogy gyűjtsük mondjuk ide.
Kinyiffantjuk innen ezt az x-et…
És a számokat meg átrakjuk a másik oldalra.
Hát igen, ez még egy régi típusú mérleg, manapság már digitális mérlegeket használnak.
Kezd durvulni a helyzet…
Itt már két tört is van.
És most meg kell szabadulnunk még ettől a 4-estől is.
A törtes egyenleteket úgy érdemes megoldani, hogy először eltüntetjük a törteket.
És most jöhet egy kis zárójelfelbontás…
Tipikus hiba, hogy ezt az 1-et elfelejtjük beszorozni…
