- Hatványozás, polinomok, egyenletek, egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek, abszolútérték, gyökös kifejezések
- Exponeciális egyenletek, logaritmus, számtani és mértani sorozat
- Vektorok, koordinátageometria
- Szögfüggvények
- Függvények
- Összetett függvények és inverz függvények
- Sorozatok
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hôpital szabály
- Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
Szögfüggvények
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Egységkör
Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.
Trigonometriai összefüggések
\( \tan{x} = \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \)
\( \cot{x} = \frac{ \cos{x} }{ \sin{x} } \)
\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \quad \sin^2{\alpha} = 1-\cos^2{\alpha} \quad \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = \sin{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad \cos{\alpha} = \sin{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad \sin{\alpha} = \sin{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{\alpha} = \cos{ \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) } \quad -\sin{\alpha} = \cos{ \left( \alpha + \frac{ \pi}{2}\right) } \quad -\cos{\alpha} = \cos{ ( \pi - \alpha) }\)
\( \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \quad \sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha} \cos{\beta} \pm \cos{\alpha} \sin{\beta} \)
\( \cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \quad \cos{(\alpha \pm \beta )} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
\( \sin^2{\alpha}=\frac{1-\cos{2 \alpha}}{2} \)
\( \cos^2{\alpha}=\frac{1+\cos{2 \alpha}}{2} \)
Koszinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $x$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög koszinuszának, és így jelöljük: $\cos{ \alpha}$.
Szinusz
Az egységkörben az $x$ tengely irányát kezdő iránynak nevezzük, az egységvektor végpontjába mutató irányt pedig záró iránynak. A két irány által bezárt szög $\alpha$. Az egységvektor végpontjának $y$ koordinátáját nevezzük az $\alpha$ szög szinuszának, és így jelöljük: $\sin{ \alpha}$.
Tangens
Egy $\alpha$ szög tangense az $\alpha$ szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \quad k \in Z \)
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)
Koszinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Tangens derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)
Szinuszos és koszinuszos egyenletek megoldása
A $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények periodikusak, ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat. Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben a periódus $2\pi$.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
$ \sin{x} = \frac{1}{2} $
akkor ennek a periodikussága miatt végtelen sok megoldása van, ezért írjuk oda a megoldások mögé, hogy $+2k\pi$.
További nehézség, hogy két megoldás is van, az egyiket a számológépünk adja, a másikat pedig...
Szinusz esetén úgy, hogy a két megoldás összegének $\pi$-nek kell lennie.
Koszinusz esetén pedig úgy, hogy a két megoldás mindig egymás minuszegyszerese.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!
0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)
b) \( \sin{3x} = -\frac{1}{2} \)
a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
b) Egy 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. A torony alja éppen a tenger szintjében van. Milyen távol van a hajóa torony aljától?
Ábrázoljuk az
$f(x)=\frac{5}{2} \cos{(4x)}$,
$f(x)=2\cos{ \left( \frac{x}{2} \right)}$,
$f(x)=\frac{1}{2} \cos{(3x)}+1$,
$f(x)=2\sin{ \frac{x}{2}}$
függvényeket.
Ábrázoljuk az
$f(x)=\frac{5}{2} \sin{(4x)}$,
$f(x)=\frac{3}{2}\sin{(4x)}+1$,
$f(x)=-2\sin{(4x)}$,
$f(x)=-\frac{3}{2}\sin{(-4x)}$,
$f(x)=\frac{1}{2}\cos{(-3x)}$
függvényeket.
Oldjuk meg az alábbi két egyenletet a $[0,2\pi ]$ intervallumba eső számok halmazán
a) \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
b) \( 2\cos^2{x} - \cos{x} = 0\)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 2\cos^2{x} - 7 \cos{x} + 3 = 0 \)
b) \( 2\sin^2{x} + 4 \cos^2{x} - 3\cos{x} -1 = 0 \)
c) \( \sin{2x} + \cos{x} = 0 \)
d) \( \sin{2x} + \cos{2x} + \sin^2{x} = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 2\sin{x}-1>0 \)
b) \( 2\cos{3x}-1<0 \)
c) \( \sin{2x}-\cos{x} \geq 0 \)
d) \( 4\cos^3{x}-3\cos{x} \leq 0 \)
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos időközönként megismétlik önmagukat.
Ezt az időközt periódusnak nevezzük és az ő esetükben ez a periódus 2pi.
Ha van egy ilyen egyenlet, hogy
nos akkor ennek a periodikusság miatt végtelen sok megoldása van.
Ráadásul van egy kék megoldás,
ezt adja a számológép, ez meg a periódus.
Na persze a számológéppel ezt úgy lehet kiszámolni, hogy
és van egy zöld.
Na, ezt már nem adja ki a számológép, hanem egy kis cselhez kell folyamodnunk.
A szinusz úgy működik, hogy mindig van egy kék megoldás, amit a számológép ad,
és van egy zöld megoldás, amit nekünk kell kiszámolni és úgy kapjuk,
hogy az összegüknek éppen pi-nek kell lennie.
Ezt nem árt megjegyezni.
Lássuk, mi a helyzet a koszinusszal.
Itt is lesz egy kék és egy zöld megoldás,
ráadásul mindkettőből végtelen sok.
A helyzet annyival egyszerűbb, mint a szinusz esetében, hogy itt
a kék és a zöld megoldás mindig egymás mínuszegyszerese.
A kéket adja a számológép.
és ha elé biggyesztünk egy mínuszjelet.
nos akkor meg is van a zöld.
A koszinusz tehát sokkal jobb, mint a szinusz.
Itt jön egy újabb remek történet.
A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást mindig a számológép adja,
a zöld megoldás pedig úgy jön ki, hogy a két szög összege mindig pi legyen.
Most pedig újabb állatfajták következnek.
Lássuk hogyan is néznek ezek ki.
Nos nem túl szépen.
Leginkább talán tapétamintának használhatnánk őket.
A vizuális élvezetek után most a trigonometriai képletek özönvízszerű áradata következik.
Csak a legfontosabb egymillió darab képletet nézzük meg.
A LEGFONTOSABB TRIGONOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
Itt az egység sugarú körben van egy derékszögű háromszög,
amire felírjuk a Pithagorasz-tételt.
Nos talán ez a legfontosabb trigonometriai összefüggésünk.
Van ennek két mutáns változata is.
Most pedig újabb bűvészkedések következnek az egységsugarú körben.
És itt jön még néhány.
A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...
Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.
A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.
Aztán megmérjük ezt a szöget.
És most jön a trükk.
Van itt ez a derékszögű háromszög…
Ebben a háromszögben itt a hegycsúcs magassága.
És mindjárt meg is tudjuk mondani, hogy ez mennyi ez a magasság.
Egy nagyon ravasz képlet segítségével.
Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát
A hegycsúcs magassága meg is van.
Hogyha pedig tudjuk, hogy mekkora a mérési pont tengerszintfeletti magassága…
Csak hozzáadjuk ehhez az 1926,1 métert…
És meg is van a hegycsúcs tengerszintfeletti magassága.
És most nézzünk meg egy másik érdekes történetet.
Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
A 32 fokos emelkedési szög ezt jelenti…
A vízszinteshez képest 32 fok fölfelé…
És ez itt a 100 méter.
Megint van egy derékszögű háromszög…
Amiben a torony magassága az egyik befogó…
És a 100 méter a másik befogó.
Ez a történet a háromszög két befogójáról szól…
Az ilyen esetekre pedig itt jön most egy újabb képlet.
Sőt, essünk túl mindegyiken…
Az ilyen derékszögű háromszöges problémáknál szinuszt, koszinuszt és tangenst fogunk használni.
A szinusz már megvan.
Itt jön a koszinusz…
És itt van még a tangens…
Most az egyik befogót keressük, és a másik befogót ismerjük…
Vagyis a három közül az fog kelleni, amiben két befogó szerepel.
És most nézzük, mi van ezzel a szinusszal…
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter
A világ legmeredekebb fogaskerekű vasútja a Pilatusbahn, ami a legdurvább szakaszokon 48%-os emelkedőn megy föl. Azt, hogy egy emelkedő hány százalékos, úgy kapjuk meg, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk, elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk, és aztán beszorozzuk 100-zal.
a) Egy szakaszon a fogaskerekű 50 métert tett meg, és 23 fokos volt az emelkedő. Mekkora a szintkülönbség ezen a szakaszon? Hány százalékos ez az emelkedő?
b) A fogaskerekű egy szakaszon 60 méret tett meg, és közben 19 métert emelkedett. Hány fokos szögben ment fölfelé? Hány százalékos ez az emelkedő?
c) Hány fokos szögben megy a fogaskerekű, amikor épp a legmeredekebb szakaszon, a 48%-os lejtőn megy fölfelé?
Ez itt az 50 méter…
És ez pedig a 23 fokos szög.
A szintkülönbség ennek a háromszögnek az egyik befogója.
És most nézzük, hány százalékos ez az emelkedő…
Ehhez kell még a másik befogó is…
Számoljuk ki például egy koszinusszal.
A százalékot úgy kapjuk meg, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk…
Elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk…
És aztán beszorozzuk 100-zal.
Itt jön most egy trükk, amivel sokkal egyszerűbben is ki tudjuk számolni, hogy egy emelkedő hány százalékos.
A százalékot úgy kapjuk, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk…
Elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk.
És aztán beszorozzuk 100-zal.
És itt jön a trükk.
A százalékot így lehet a legkönnyebben kiszámolni.
Próbáljuk is ki…
A kérdés pedig, hogy mekkora ez a szög…
A történetünk szereplői a szöggel szemközti befogó és az átfogó…
Szemközti, mint szinusz…
És most lássuk, mekkora az szög.
Számoljuk ki először, hogy mekkora ez a szög…
A szöggel szemközti befogót ismerjük, meg az átfogót.
Ebből kéne kideríteni, hogy mekkora az alfa szög.
Ezt is a számológép fogja megmondani…
De most fordítva kell gondolkodnunk.
Eddig mindig úgy volt, hogy a szöget ismertük, és ezt keressük…
Most viszont a szöget keressük.
Az emelkedő 17,5 fokos.
És most nézzük, hány százalékos…
Jön a tangenses trükk:
18,46
A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...
Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.
A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.
Aztán megmérjük ezt a szöget.
És most jön a trükk.
