Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 1 SZE

Kategóriák
  • Komplex számok
  • Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
  • Függvények
  • Az inverzfüggvény
  • Sorozatok
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás

Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Vektorok a koordinátarendszerben
02
 
A skaláris szorzat és hasznossága
03
 
Az egyenes és a sík egyenlete
04
 
A vektoriális szorzat és a sík egyenlete
05
 
Egyenesek metszéspontja, síkok metszésvonala
06
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
07
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
08
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
09
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
10
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
11
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
12
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
13
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
14
 
FELADAT | Egyenesek és síkok
15
 
FELADAT | Egyenesek és síkok

Két pont közti vektor

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Tehát \( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor hossza, két pont távolsága

Van itt az $\underline{a}=(a_1, a_2)$ és $\underline{b}=(b_1, b_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ vektor hossza:

\( \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)

Az $ \vec{AB} $ vektor hossza:

\( \vec{AB} = \mid \underline{b} - \underline{a} \mid = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 } \)

És pont ugyanígy kapjuk meg az $A$ és $B$ pontok távolságát is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektorok összeadása és kivonása

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b}=(b_1,b_2)$

A két vektor összege:

\( \underline{a} + \underline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \)

A két vektor különbsége:

\( \underline{a} - \underline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) \)

\( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Skaláris szorzat kétféle alakja

Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk így:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög,

$ \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2 }$, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$ \mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2+b_2^2 }$, vagyis az $\underline{b}$ vektor hossza

Illetve kiszámolhatjuk így is:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektor 90°-os forgatása

Van itt az $\underline{a}= (a_1, a_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ +90°-os elforgatottja:

\( a^{+90°} = (-a_2, a_1) \)

Az $\underline{a}$ -90°-os elforgatottja:

\( a^{-90°} = (a_2, -a_1) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektorok merőlegességének feltétele

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz ha $ \underline{a} \cdot \underline{b} = 0 $.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektorok skaláris szorzata

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b} = (b_1, b_2)$.

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok skaláris szorzata:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} =  a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög

$\mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$\mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $, vagyis a $\underline{b}$ vektor hossza

Két vektor merőleges egymásra, ha $\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$.

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyenes egyenlete

A $P(x_0, y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A \left( x-x_0 \right) + B \left( y-y_0 \right) = 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyenes egyenlete síkban

A $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0)+B\cdot (y-y_0)=0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Két pont közti vektor

Van a síkban két pont: $P(x_1, y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix} \)

 

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1, y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Két pont távolsága a koordinátarendszerben

Van itt két pont a síkban: $P(x_1,y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti távolság:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)

 

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1,y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti távolság a térben:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1 -z_2)^2 } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sík egyenlete

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}$ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\left( x-x_0 \right) + B \left(y-y_0 \right) + C \left( z-z_0 \right) = 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sík egyenlete

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} $ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0) + B \cdot (y-y_0) + C \cdot (z-z_0) = 0 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Két vektor vektoriális szorzata

Van itt két vektor: $\underline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$  és $\underline{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

A két vektor vektoriális szorzata:

\( \underline{a} \times\underline{b} = \det{ \begin{bmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Vektoriális szorzat

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok vektoriális szorzata az $\underline{a} \times \underline{b}$ vektor, ami merőleges az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok által kifeszített síkra, és

\( \underline{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad \underline{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \underline{a} \times \underline{b} = \det{ \begin{pmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Milyen hosszú az \( \underline{a}=(2,4) \) vektor?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

 

a) Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy az $ \underline{a}=(x,3)$ és $ \underline{b}=(5,2)$ vektorok egymásra merőlegesek legyenek.

b) Adjuk meg az $\underline{a}=(3,2) vektor +90°-os és -90°-os elforgatottját.

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

 

a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.

b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.

d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Számítsuk ki az alábbi vektorok vektoriális szorzatát.

a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \underline{a} \times\underline{b}=\; ? \)

b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

 

a) Adjuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját.

\( e_1: \frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{5} = \frac{z-4}{3} \)

\( e_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+2}{3} \)

b) Adjuk meg a $7x-4y+2z=7$ és a $16-7y+z=21$ egyenletű síkok metszésvonalának egyenletrendszerét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

A $2x+y-3z=2$ egyenletű $S_1$ és az $x+7y+3z=21$ egyenletű $S_2$ síkokról döntsük el, hogy

a) rajta van-e a $P(5; 1; 3)$ pont az $S_1$ és az $S_2$ metszésvonalán,

b) merőleges-e egymásra $S_1$ és $S_2$?

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Átmegy-e az origón az $S$ sík, amely tartalmazza a $P(2;-1;4)$ pontot és az $\frac{x-1}{4}=\frac{1-y}{5}=\frac{z-3}{6}$ egyenletrendszerű $e$ egyenest?

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Tartalmazza-e az $R(1;3;4)$ pontot az a sík, amelyet a $P(1;7;-1)$ és a $Q(11;9;-5)$ pontokat összekötő egyenes a $P$-ben merőlegesen döf?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Az $e$ egyenesről tudjuk, hogy merőlegesen döfi az $x+2y+3z=6$ egyenletű síkot az $(1;1;1)$ pontban, az $f$ egyenesről pedig, hogy átmegy az $(5;2;-1)$ ponton és a $(13;4;-5)$ ponton. Döntsük el, hogy $e$-nek és $f$-nek van-e közös pontja.

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Van-e az $A(-1;-2;1)$, $B(3;1;3)$, és $C(7;6;3)$ pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az $y$-tengelyre esik? Ha igen, melyik?

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Az $e$ egyenes egyenletrendszere $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, az $f$ egyenes egyenletrendszere pedig $\frac{x}{-2}=\frac{3-y}{6}=\frac{2-z}{10}$. Döntsük el, hogy $e$ és $f$ párhuzamosak-e. Ha igen, akkor határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely mindkettőt tartalmazza.

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Határozzuk meg az $x-4=\frac{y+5}{4}=\frac{2-z}{3}$ egyenletrendszerű $e$ egyenes minden olyan $P$ pontját, amelyre a $P$-t a $Q(7;12;4)$ ponttal összekötő $f$ egyenes merőleges $e$-re.

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

A $p$ paraméter milyen értékére esnek egy síkba az $A(2;3;3)$, $B(3;4;1)$, $C(4;6;2)$, és $D(p;2;5)$ pontok?

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Párhuzamos-e az $\frac{5x+3}{10}=\frac{4-y}{5}=\frac{5-2z}{2}$ egyenletrendszerű egyenes a $6x+y+7z=91$, illetve az $5x+2y=79$ egyenletű síkok metszésvonalával?

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a $P(12;1;7)$ ponton és merőlegesen metszi az $x-3=\frac{y-2}{3}=\frac{-z-1}{4}$ egyenletrendszerű egyenest.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Vektorok a koordinátarendszerben

A skaláris szorzat és hasznossága

Az egyenes és a sík egyenlete

A vektoriális szorzat és a sík egyenlete

Egyenesek metszéspontja, síkok metszésvonala

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

FELADAT | Egyenesek és síkok

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim