Kerület és terület

Ahhoz, hogy bringával körbetekerjük a Balatont, még úszni sem kell tudni.
Sőt, bele sem kell tenni a lábunkat a vízbe.

Csak le kell tekerni a 235 kilométert, és kész is.
Ekkora ugyanis a Balaton kerülete.

A kerületet K-val jelöljük.

És a kerület teljesen száraz…
 

Hogyha be is megyünk a vízbe…

Na, akkor jön a terület.

Ez itt egy 1 km oldalhosszú négyzet.
Jó nagy, belefér 20 focipálya…

Ezt hívjuk 1 négyzetkilométernek.
És így jelöljük.
 

A Balatonhoz képest 1 négyzetkilométer egészen apró.

Ilyen picike…

Hogyha ezekkel a kis csempékkel elkezdjük lefedni a Balatont…
Hát, akkor jó sok csempe fog kelleni.
Összesen 600 darab csempére lesz szükség.

És mindegyik 1 négyzetkilométer…
Vagyis a Balaton területe 600 négyzetkilométer.

A területet T-vel jelöljük.

Mivel a Balaton alakja ilyen görbe, a csempék kilógó részeit le kell vágni.

A 600 km2 már a levágás után jön ki.

De ez eléggé megnehezíti a számolást.

Szerencsére vannak egyszerűbb alakzatok is, mint a Balaton, amiket könnyebb lesz csempékkel lefedni.

Itt jön például ez a téglalap.
Beletesszük egy négyzethálóba, aminek a beosztása éppen 1 centiméter.

Ez azt jelenti, hogy minden négyzet oldalhossza 1 centi.
 
 
Számoljuk ki először a téglalap kerületét.

Lássuk, mekkora a területe…

Ez itt egy négyzetcentiméter…
 

És ez tényleg ilyen egyszerű…

Nézzünk egy másikat is.

Itt van ez a másik téglalap.
Számoljuk ki ennek is a kerületét és a területét.

És itt jön valami izgalmasabb is…
 

Ez itt egy méter…
És, különböző hosszúságokat tudunk mérni vele.
Megmérhetjük például, hogy ennek a képnek mekkora a kerete.

Itt alul…
2 méter hosszú.

Fölfelé pedig 3 méter.

És a kép kerülete…

Most lépjünk át az egydimenzióból a kétdimenzióba.

A négyzetmétert területek mérésére használjuk.
Ennek a festménynek a területe, ami 2 méter széles és 3 méter magas…

És most számoljuk ki a Hollywood felirat betűinek a területét…
A betűk egy 5 méter magasak és a négyzetháló minden négyzete éppen egy négyzetméter.

Vagyis ekkora egy négyzetméter.

A „H” még elég egyszerű lesz.
Csak megszámoljuk a négyzeteket és kész is.
 

És az „L” betűkkel is könnyedén el tudunk bánni.

Innentől már kezd komolyra fordulni a dolog…

Próbáljuk meg az „O” betűt.

Az „O” betűnél már félbevágott négyzetek is vannak.

Ez itt egy négyzetnek a fele.
És ez pedig a másik fele.

Hogyha összerakjuk őket…

Akkor éppen egy egész négyzetet kapunk.

A dolog itt alul is működik…

Most már csak meg kell számolni, hogy hány négyzet van…
És kész is.

A másik két „O”-val ugyanez a helyzet.

A darabolásos módszer a „D”-nél is működik.

És így már sima ügy.

Végül elérkeztünk a legnehezebb részhez.

Nézzük, mit kezdhetnénk az „Y”-nal.

Tegyük ki ide egy kicsit nagyobb méretbe…

Az „Y” alja még nem vészes…

Most nézzük ezt a részt…

Hogyha ezeket a megcsonkított négyzeteket kiegészítjük egész négyzetekké…

Akkor látszik, hogy a kék rész a 3 négyzet területének éppen a fele.
És ugyanez van itt is.

A két rész együtt pedig éppen 3 négyzetméter.

Haladunk…

Már csak ez van hátra.
És hopp, itt is van még egy egész négyzet.

Húzzuk be ezt a felező vonalat…
Aztán pedig egy kis trükkre lesz szükség.

Az „Y” is megvan…
Csak meg kell számolni a négyzeteket.

És most következik életünk legnagyobb kihívása, a „W”…

Szerencsére darabolásban már egész profik vagyunk.
 

Ennek a téglalapnak a kerületét és a területét nagyon könnyű kiszámolni.

Nézzük meg először a kerületet.
És most jöhet a terület.

Itt az ideje keresni valami izgalmasabbat…

Számoljuk ki ennek is a kerületét és a területét.

Kezdjük a kerülettel.
 

A terület pedig…
És most lássunk egy tényleg durvát…

Hát, ezzel elleszünk egy darabig...
 
 

Ezeknek a négyzeteknek a kerületét és a területét már lazán ki tudjuk számolni…
De olyankor, ha kicsit ferdébben állnak…
Ilyenkor már izgalmasabb a helyzet.

Így hirtelen meg sem tudjuk mondani, hogy ez az oldal itt milyen hosszú.

Ez a kérdés már az ókori görögöket is izgalomban tartotta, és egy Püthagorasz nevű fószer volt aki a végére járt a dolognak.

Egyszer majd ezt is megnézzük, de most a kerületet inkább engedjük el, és számoljuk ki csak a területet.
Először keressük meg az egész négyzeteket…

Ez eddig 12 darab.

És most nézzük a félbevágott négyzeteket.

Számoljuk ki a területét ennek is.

Megint az egész négyzetekkel kezdjük…
Aztán jöhetnek a félbevágott négyzetek.

De ezekkel a megmaradt töredék-négyzetekkel nem igazán lehet mit kezdeni…

Hát, akkor ez ennyi volt, nem tudjuk megmondani a területet…
Legalább megpróbáltuk.

Egy trükköt azért még érdemes lehet kipróbálni.

A trükk lényege, hogy nem az egész négyzetekkel kezdjük.
Hanem egy egészen ravasz dolgot fogunk csinálni.

Téglalapokat fogunk hallucinálni a ferde vonalakhoz.

Ez itt egy ferde vonal…

És kéne egy olyan téglalap, aminek ez az egyik átlója.

Egy kis emlékeztető: ez a téglalap…
És ez pedig az átló.

Hopp, itt is van a téglalap.

Ennek a területét könnyen meg lehet mondani…
 

És ez pedig a fele.
Most ugyanezt a trükköt megcsináljuk itt is…

És itt is.

Most már nagyon könnyen meg tudjuk mondani, hogy mekkora a terület…
 

Számoljuk ki ennek is a területét.

Megint jön a trükk…