- Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Halmazok
- Írásbeli összeadás, kivonás, szorzás, osztás
- Törtek
- Tizedes törtek
- Számrendszerek és a hatványozás alapjai
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, sokszögek, térbeli testek
- Háromszögek, négyszögek
- Kerület és terület
- Téglalap és négyzet, kerület, terület
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Téglatest és kocka, felszín és térfogat
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Szerkesztések, vonalzó, körző, szögmérő
- Adatgyűjtés, grafikonok, diagramok, statisztika
Koordinátarendszer, pontok koordinátái
Egy moziban 192 szék van.
Hogyha beszámozzuk őket 1-től 192-ig, akkor a nézők elég nehezen találják meg az ülőhelyüket.
Hol keressük például a 114-es széket?
Valahol itt?
Vagy esetleg itt?
Ez így nagyon bonyolult…
Erre már a mozik is rájöttek, és kitaláltak valamit…
Minden sorban beszámozták a székeket 1-től 16-ig…
És aztán magukat a sorokat is beszámozták.
Így már elég könnyen megtaláljuk például az 5. sor és 7. széket…
Itt lépkedünk 6-ot…
És aztán erre 8-at.
És meg is van.
A matematikában ezt úgy hívjuk, hogy koordináta.
Adjuk meg például Bob koordinátáit…
Aki éppen itt ül.
Az első koordináta mindig az lesz, hogy hányadik sor…
A második koordináta, pedig a szék.
Ezek lesznek Bob koordinátái.
Hogyha most Bob átül ide…
Akkor nagyon könnyű megtalálni.
Erre lépünk 7-et…
Erre pedig 13-at…
És meg is van.
A dolog nem csak mozira működik…
Tegyünk ide egy számegyenest…
Meg ide is…
Ezt úgy hívjuk, hogy koordinátarendszer.
És a székek nem is kellenek…
A koordinátarendszerben minden pont egyértelműen megadható koordinátákkal.
Ez a P pont például…
Így adható meg:
A dolog fordítva is működik.
Itt van ez a Q pont:
És a koordinátái alapján egyértelműen berajzolható a koordinátarendszerbe.
Ezeknek a vonalaknak a metszéspontjában lesz a Q pont.
Rajzoljuk be ezeket a pontokat is a koordinátarendszerbe:
Hát, ez kész is.
De az izgalmak még csak most jönnek…
Ez itt egy koordinátarendszer.
Úgy készült, hogy vettünk egy számegyenest…
Meg ezt az előzőre merőleges másik számegyenest…
Aztán a nulla-pontjaiknál összeraktuk őket.
Léteznek olyan koordinátarendszerek is, ahol a tengelyek nem merőlegesek egymásra…
De most maradjunk inkább a merőleges verziónál.
Ezt derékszögű koordinátarendszernek nevezzük.
Van egy másik neve is: Descartes-féle koordinátarendszer.
Descartes egy ember volt, ő használta először a derékszögű koordinátarendszert.
Ezt a pontot, amely mindkét számegyenes nulla-pontja úgy hívjuk, hogy origó.
Az origó koordinátái:
A vízszintes tengelyt x tengelynek nevezzük.
A függőleges tengelyt pedig y-nak.
Hogyha itt van egy P pont a koordinátarendszerben…
Akkor az első koordinátája az x-koordináta…
És a második pedig az y.
x tengelynek nevezzük.
A dolog fordítva is működik…
Hogyha ismerjük egy pont koordinátáit:
Akkor a koordináták alapján pontosan meg tudjuk mondani, hogy hol van ez a pont.
És most itt jön egy nagyon fontos dolog…
Az x tengelyen lévő pontoknak van egy közös tulajdonsága.
Mindegyik ilyen pontnak a második koordinátája nulla.
És az y tengelyen lévő pontokban is van valami közös.
Ezeknek meg az első koordinátája nulla.
És ez a pont, amelyik mindkét tengelyen rajta van…
Ezt a pontot úgy hívjuk, hogy origó.
A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot.
Ezeket síknegyedeknek nevezzük.
Itt az első síknegyed…
Ez a második…
Itt van a harmadik…
Végül ez a negyedik.
Az első síknegyedben a pontok minkét koordinátája pozitív.
A második síknegyedben az első koordináta negatív, a második pozitív.
A harmadik síknegyedben mindkét koordináta negatív.
A negyedik síknegyedben pedig az első koordináta pozitív, de a második negatív.
És most lássuk, mik lehetnek ezeknek a pontoknak a koordinátái.
Kezdjük az A ponttal.
A pontok koordinátáit leolvasni nagyon egyszerű…
Húzunk egy párhuzamost az A ponton keresztül az y tengellyel…
És meg is van az x koordináta.
Hogyha az x tengellyel húzunk az A ponton keresztül egy egyenest…
Akkor pedig az y koordinátát kapjuk meg.
Aztán a C pont egy kicsit trükkös…
Az x tengellyel tudunk párhuzamost húzni…
És így az y koordinátát kapjuk meg.
Az x koordináta pedig…
Na igen, az nulla.
Hasonló a trükk a D-nél is.
Végül itt jön még az E és az F.
Ilyen egyszerű az egész…