Egyenes arányosság és fordított arányosság

És most egy nagyon laza dolgot fogunk megnézni… 
Mit jelent az, hogy valami egyenesen aranyos…

Ja nem, egyenesen arányos…

Már jön is.

Egy vonaton a másodosztályú jegy 0,4 euróba kerül kilométerenként. A jegy mellé helyjegyet is lehet venni, aminek fix 5 eurós ára van a megtett út hosszától függetlenül.
Mennyibe kerül egy 60 kilométeres jegy?
Egy kilométer  
Két kilométer  
Három kilométer  
Hatvan kilométer  
Ezt hívjuk egyenes arányosságnak.
A megtett kilométerek és a vonatjegy ára egymással egyenesen arányos.
Amikor a megtett kilométer valahányszorosára változik, a vonatjegy ára is ugyanennyiszeresére változik.
Két mennyiség akkor egyenesen arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik is ugyanennyiszeresére változik.
A helyjegy ára és a megtett kilométerek nem egyenesen arányosak…
Most nézzük, mennyibe kerül a helyjegy, ha többen utaznak…
Számoljuk ki, mennyibe kerül egy 80 kilométeres út helyjeggyel.
 
Az egyenes arányosság nem csak vonatokra működik…
Egy teherautó 400 tonna földet tud egy fordulóval elszállítani. Mennyi földet tud elszállítani egy fordulóval öt ugyanilyen teherautó?
 
Hát, nem ez lesz életünk legizgalmasabb feladata…
Az öt teherautó egy fordulóval 2000 tonna földet tud elszállítani.
És most lássuk életünk legizgalmasabb feladatát…
Itt egy még nagyobb teherautó.
A 3600 tonna földet 8 fordulóval tud elszállítani.
Mennyi földet tud szállítani egy fordulóval?
A trükk az, hogy most visszafelé kell gondolkodni…

Tudjuk, hogy 8 fordulóval lehet elszállítani…
A 3600 tonna földet.
 

Egy teherautó 12 fordulóval tud egy rakomány földet elszállítani.
Hány fordulóval tudja elszállítani két ugyanekkora teherautó?

Úgy néz ki, hogy két teherautónak 6 forduló kell.

Most nézzük, hogy mi a helyzet három teherautóval.

Hogyha szétosztjuk a 12-t háromfelé…

Akkor azt kapjuk, hogy 4 fordulóval meg is vannak.

Minél több a teherautó…
Annál kevesebb fordulóra van szükség.

Ezt hívjuk fordított arányosságnak.

Két mennyiség akkor fordítottan arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik ugyanennyied részére változik.
A fordulók száma és a teherautók száma fordítottan arányos.
Egy teherautónak 12 forduló kell…
Két teherautónak már csak 6…
Három teherautónak már csak 4 forduló kell...

És a fordulók számát úgy kapjuk meg, hogy a 12-t osztjuk a teherautók számával.

Egy markológéppel óránként 7 méternyi árkot tudnak kiásni. 

Hány méter árkot tudnak ásni 12 óra alatt, hogyha folyamatosan dolgoznak?
Mennyi idő alatt ásná ki ezt az árkot három egyforma markológép?
Óránként hány métert tudnak kiásni két egyforma markológéppel?

Kezdjük az elején…

Egy óra alatt 7 méter árkot tudnak ásni…

Két óra alatt kétszer annyit…
És 12 óra alatt 12-szer annyit.

Ez egy tipikus egyenes arányosság.

És most lássuk, hány óra alatt végezne három markológép…

Egy óra alatt így   métert haladnak…

Vagyis 21 métert haladnak óránként.
Ez két óra alatt kétszer annyi, tehát 42 méter…
Három óra alatt 63 méter…
És négy óra alatt meg is van a 84 méter.

A három markológép négy óra alatt tud végezni.

Mindezt úgy is megkaptuk volna, hogy egy markológép 12 óra alatt végez…
Két markológép feleannyi idő alatt végezne…

Három markológép pedig harmadannyi idő alatt.

Vagyis 12/3 tehát 4 óra alatt.

Végül nézzük az utolsó kérdést.

Egy markológép óránként 7 métert halad…

És két markológép kétszer annyit.
Vagyis óránként 14 métert haladnak.

Egy építkezésen 4 markológép 6 nap alatt tudja kiásni az alapozáshoz szükséges gödröt.

Hány napig tartana a munka, hogyha csak 3 markológép dolgozna?
Mennyi idő alatt tudják kiásni a gödröt 6 markológéppel?

Az első kérdés nagyon könnyű…
Hogyha 4 markológépnek 6 napra van szüksége….
Akkor feleannyi markológépnek…
Kétszer annyi napra.

Ez egy tipikus fordított arányosság.

Vagyis 2 markológép 12 napra alatt ássa ki az alapot.
Ez mondjuk a „mázli” kategória, ugyanis a 4 darab markológépnek a 2 darab pont a fele.

A dolog ugyanis így néz ki:
4 darab markológép 6 napon keresztül ássa az alapot…

És amikor kettő közülük kiesik…

A másik kettő kapja ezeknek a munkáját is.

Így azok dupla annyi napot dolgoznak.

Most nézzünk meg egy olyan megoldási módszert, amit bármilyen esetben tudunk használni.

A történet úgy indul, hogy 4 darab markológép dolgozik 6 napon keresztül…

És most jön a trükk…

Megnézzük, mi van akkor, ha csak 1 darab markológép van.

Egy markológépnek 24 napra van szüksége.

És ebből már bármit ki tudunk számolni.

Ha 1 markológépnek 24 nap kell, akkor 2 darabnak…

12 napra van szüksége.

És 3 darab markológépnek pedig…
8 napra van szüksége.

Nézzünk meg még egy ilyet.

Egy rézbányából teherautókkal szállítják el a rézércet. 5 egyforma teherautó mindegyikének 12-szer kellene fordulnia, hogy egy adott napon kitermelt összes rézércet a bányából elszállítsák.
a) Hány fordulóval tudná elszállítani ugyanezt a mennyiségű rézércet 4 ugyanekkora teherautó?
b) Hány teherautóra van szükség, ha 10 fordulóval mindent el akarnak szállítani?

Megint azzal kezdjük, hogy mi van akkor, hogyha csak egyetlen teherautó van…

Most nézzük, mi van akkor, ha 4 darab teherautó van…
 

Amit ebből az egészből érdemes megjegyezni, hogy egy feladat megoldását mindig azzal kezdjük, hogy megnézzük, van-e egyenes arányú vagy éppen fordított arányú kapcsolat.

Itt jön most egy másik történet…

Egy vonat még mindig 12 perc alatt teszi meg az utat a repülőtérről a főpályaudvarra, aminek a hossza 36 kilométer.

Mekkora utat tesz meg ez a vonat 3 óra alatt, ha továbbra is ugyanekkora sebességgel halad? 
Mekkora a vonat sebessége?

Hogyha a vonat 12 perc alatt 36 kilométert tesz meg…
Akkor kétszer annyi idő alatt kétszer akkora utat.
Háromszor annyi idő alatt pedig háromszor akkora utat.

Most 36 percnél és 90 kilométernél járunk.
Így tovább lépegetve egy kicsit sokáig tartana elérni a 3 órát…

Kénytelenek leszünk egy kicsit számolni.

És most lássuk, a 180 percben hányszor van meg a 12 perc…

15 darab

A 3 óra alatt megtett út:
 

Most nézzük, mekkora a vonat sebessége.
12 perc alatt 30 kilométert megy…
Így aztán 1 perc alatt…

A vonat sebessége 2,5 km/perc.
Ezt érdemes lenne km/h-ra átváltani.
 

A vonat 150 kilométert tesz meg egy óra alatt.
Vagyis a sebessége 150 km/h.

Ennek az életbevágóan fontos információnak a birtokában az a) kérdésre sokkal könnyebben is tudunk válaszolni.

Hogyha óránként 150 kilométert megy a vonat, akkor 3 óra alatt   kilométert…

Vagyis 450 kilométert tesz meg 3 óra alatt.

Egy 13 kilométer hosszú alagutat 4 év alatt tud kifúrni egy fúrópajzs.  Egy másik fúrópajzsnak ehhez 5 év kell. Hány kilométert tudnak kifúrni két év alatt, ha a két fúrópajzs az alagút két végén egyszerre kezdi a munkát és együtt dolgoznak?
 
És két év alatt kétszer annyit…

Egy víztárolót két vezetéken keresztül lehet vízzel feltölteni. Az A-vezetéken keresztül 4 nap alatt telik meg vízzel a víztároló, a B-vezetéken keresztül pedig 6 nap alatt.
A víztárolót mindkét vezetéken egyszerre kezdik feltölteni.

a) Egy nap alatt mekkora része telik meg vízzel? b) Három nap elegendő-e, hogy a víztárolót teljesen feltöltsék?

kk
Az A-vezeték 4 nap alatt tölti föl teljesen a víztárolót…
A B-vezeték pedig 6 nap alatt.

Nézzük, mi történik egy nap alatt.

Egy nap alatt a víztároló részét tölti föl a két vezeték.
Végül nézzük, hogy a két vezeték együtt hány nap alatt tölti fel teljesen a víztárolót.

Két nap alatt kétszer annyit…

És három nap alatt…

Úgy néz ki, hogy három nap elegendő a víztároló feltöltéséhez.

Egy vonat 540 kilométert 3 óra alatt tett meg. 
Mekkora utat tesz meg 4 óra alatt, ha továbbra is ugyanekkora sebességgel halad?
Mekkora utat tesz meg 5 óra alatt, ha az utolsó két órában csak fele akkora sebességgel tud haladni?

Kezdjük azzal, hogy mekkora a vonat sebessége.
A sebességet úgy kapjuk meg, hogy a megtett utat elosztjuk az eltelt idővel.

És most lássuk, mekkora utat tesz meg a vonat 4 óra alatt.

A vonat 4 óra alatt 720 kilométert tesz meg.

Hogyha ebben a képletben beszorzunk a nevezővel…
Akkor megkapjuk, hogy mekkora a megtett út.

Nézzük, mekkora utat tesz meg a vonat 5 óra alatt.

Az első 3 órában 540 kilométert…
És a sebesség pedig…
Az utolsó két órában a vonat sebessége feleakkora…

A megtett út pedig…

A vonat 5 óra alatt 540 kilométert plusz 180 kilométert, vagyis 720 kilométert tesz meg.

Egy másik vonat 6 perc alatt 21 kilométert tett meg.
Mekkora utat tesz meg 26 perc alatt? 
Mekkora a vonat sebessége?
Mekkora utat tenne meg 24 perc alatt, ha fele olyan gyorsan menne?

Hogyha 6 perc alatt 21 kilométert tesz meg…
Akkor 1 perc alatt…

 
És 26 perc alatt pedig…

Ez úgy is kijött volna, hogyha először kiszámoljuk a vonat sebességét…

Ezt váltsuk át km/h-ra.
Percenként 3,5 km az egy óra alatt 60-szor annyi…

Mivel egy óra az 60 perc, ezt úgy lehet átváltani km/h-ra, hogy beszorozzuk 60-nal.

Most, hogy megvan a vonat sebessége, az első kérdésre már lazán tudunk válaszolni.

És a harmadikra is:

Két város között a távolság autópályán 180 kilométer, vonattal pedig 188 kilométer. Mennyi ideig tart az út autóval, hogyha átlagosan 110 km/h sebességgel lehet haladni?
Mennyi ideig tart vonattal, hogyha a vonat átlagsebessége 144 km/h?

Egy kicsit átalakítjuk ezt a képletet:

Írjuk föl ezt is a listára.

És most lássuk, mennyi ideig tart az út autóval.

 
Vonattal pedig:

Vonattal 33,6 perccel gyorsabb.
 

Egy markológéppel 8 méter árkot tudnak ásni óránként.
Ábrázoljuk egy koordinátarendszerben, hogy mennyi idő kell 32 méter, 40 méter és 50 méter árok kiásásához.

Itt jön a koordinátarendszer…

Az egyik tengelyen van, hogy milyen hosszú az árok…

A másik tengelyen pedig, hogy mennyi ideig tart kiásni.

Kezdjük is.

8 méter árkot…
1 óra alatt tudnak kiásni.

És kétszer annyi árkot…
Kétszer annyi idő alatt.

Háromszor annyi árkot pedig háromszor annyi idő alatt.

És most válaszoljunk a kérdésekre.

32 méternyi árok kiásása…
4 óra alatt lesz meg.

40 méter pedig…

5 óra alatt.

És az 50 méter…
Hát, ez már érdekesebb…

Valahol itt 6 és 7 óra között lesz.

Ez egy tipikus egyenes arányosság.

Egy kicsit pontosabban pedig…

Ha 8 méter árok 1 óra alatt készül el, akkor 1 méter árok…

És 50 méter árok pedig…

És most fordítsuk meg a dolgot.

Azt, hogy óránként 8 méter árkot tudnak kiásni, nem csak így ábrázolhatjuk…

Hanem így is.

Az első ábra azt mondja meg, hogy valahány méter árok kiásásához mennyi időre van szükség.

A második ábra pedig arról szól, hogy adott idő alatt hány méter árkot tudnak kiásni.

Mindkét grafikon egyenes arányosság grafikonja.

Hogyha óránként nem 8 méter árkot ásnak, hanem például 6 métert…

Akkor az egyik grafikon meredekebb lesz, a másik pedig kevésbé meredek.

És, ha óránként csak 1 métert ásnak…

Az egyenes arányosság grafikonja mindig egy egyenes, ami átmegy a két koordinátatengely metszéspontján, vagyis az origón.

Az óra kismutatója déltől éjfélig tesz meg egy 360 fokos fordulatot.
Ábrázoljuk egy koordinátarendszerben, hogy egy adott órában hány fokkal fordult el a kismutató a délhez képest.

Olvassuk le a grafikonról, hogy hány fokos szögben áll a mutató 4 órakor, 8 órakor és 9 órakor.

Olvassuk le a grafikonról, hogy a 150 fokos, a 210 fokos és a 300 fokos szögnél éppen hány óra van.

Végül itt jön még egy dolog…

Döntsük el, hogy melyik grafikon egyenes arányosság grafikonja, és fogalmazzuk meg az összefüggést az adatok alapján.
 
Kezdjük ezzel…

Hát, sajnos ez nem egyenes arányosság grafikonja.

Ugyanis az egyenes arányosság grafikonja mindig egy origón átmenő egyenes.

Itt van aztán ez a másik.

Ez egy origón átmenő egyenes.
És a szabály pedig…

Nézzük meg például ezt a pontot.
 

Úgy tűnik, hogy az y az x-nek a kétszerese.
 

És most nézzük ezt a pirosat.
Ez is egy origón átmenő egyenes, így ez is egyenes arányosság grafikonja.
Hogyha x=1 akkor az y…
Hát, ezt nehéz lenne megmondani.

Jobban járunk inkább ezzel a ponttal.

Itt ugyanis egyből meg tudjuk mondani a koordinátákat.

És az is látszik, hogy az x, az y-nak a 3-szorosa.

Ez a grafikon azt ábrázolja, hogy egy vonat mennyi ideje van úton, és ez alatt az idő alatt mekkora utat tett meg.

a)A grafikon alapján mekkora utat tesz meg 4 óra alatt?
b)Mennyi idő kell 900 kilométer megtételéhez?
c)Mekkora a vonat átlagsebessége?

Kezdjük az első kérdéssel.

Itt van a 4 óra…
És 4 óra alatt a vonat 600 km utat tett meg.

Ez eddig nem tűnik túl bonyolultnak.

Most nézzük, mennyi idő kell 900 km-hez.
Hát, ennyi…

Végül lássuk a vonat átlagsebességét.
Hogyha 4 óra alatt 600 km-t tesz meg…

 
Akkor 1 óra alatt…
Ami 150 km.

A vonat sebessége a jelek szerint 150 km óránként, tehát 150 km/h.

Ez a másik grafikon azt ábrázolja, hogy két vonat mennyi ideje van úton, és ez alatt az idő alatt mekkora utat tett meg. A vonatok ugyanabban az időpontban indulnak.

a)Mekkora a vonatok átlagsebessége?
b)6 óra alatt hány kilométerrel többet tett meg a gyorsabb vonat, mint a lassúbb?
c)Hány óra múlva lesz a gyorsabb vonat által megtett út 560 km-rel több, mint a lassúbb vonat által megtett út?

Kezdjük azzal, hogy kiderítjük a vonatok sebességét.

Ehhez érdemes olyan pontokat keresni a grafikonokon, ahol könnyű leolvasni a koordinátákat...

Egy óra alatt…
Hát, nem igazán látni, hogy hány km-t tettek meg a vonatok.

Két óra alatt…
Na, ez jó is.

A másik vonatnál még egy kicsit tovább kell próbálkozni…
Meg is van.

És a vonatok sebessége:

Most nézzük, 6 óra alatt hány km-rel többet tett meg a gyorsabb vonat.

A gyorsabb vonat 420 kilométerrel többet tett meg.

Végül nézzük, hány óra múlva lesz a gyorsabb vonat által megtett út 560 km-rel nagyobb…

A vonatok sebességének a különbsége:
 
 

Ez azt jelenti, hogy a gyorsabb vonat óránként 70 km-rel többet tesz meg.

A kérdés már csak az, hogy ezek az óránkénti 70 kilométerek mikor érik el az 560 km-t.

A gyorsabb vonatnak 8 óra kell, hogy 560 km-rel többet tegyen meg.

Itt jön most erre egy másik megoldás is…

Egy olyan megoldás, amit még sok hasonló feladatnál használni fogunk.

A megoldás lényege, hogy fogalmunk sincs róla, hány óra múlva lesz 560 km-rel több a gyorsabb vonat által megtett út.

És amiről fogalmunk sincs, az legyen x.

Tehát x óra múlva lesz a gyorsabb vonat által megtett út 560 km-rel több.

A lassúbb vonat x óra alatt ekkora utat tett meg:
 

A gyorsabb vonat pedig x óra alatt ekkora utat tesz meg:

És a megtett utak különbsége…
Éppen 560 kilométer.
 

8 óra alatt lesz a gyorsabb vonat által megtett út 560 km-rel több.