- Műveletek egész számokkal, negatív számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Oszthatóság, LNKO, LKKT, prímszámok
- Törtek, műveletek törtekkel
- Tizedes törtek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, sokszögek, háromszögek, négyszögek
- Párhuzamos és merőleges szerkesztése
- Tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus alakzatok
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Szerkesztés: tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus alakzatok
- Szögek szerkesztése: 30 fok, 45 fok, 60 fok 90 fok
- Egyenletek megoldása, a mérleg-elv
- Százalékszámítás
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Mértékegységek, mértékegység átváltás
- Statisztika
- Szöveges feladatok
- Sokszögek kerülete és területe
- Testek térfogata és felszíne
Testek térfogata és felszíne
Téglatest térfogata és felszíne (5-6. osztály)
A téglatest térfogata: $a\cdot b \cdot c$
A téglatest felszíne: $2\cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c$
Ahol $a$, $b$, $c$ a téglatest három élhossza.
Kocka térfogata és felszíne (5-6. osztály)
A kocka térfogata: $a\cdot a \cdot a$
A kocka felszíne: $6 \cdot a \cdot a$
Ahol $a$ a kocka élhossza.
Egy pizzás doboz 5 cm magas, 35 cm széles és 40 cm hosszú. Mekkora a térfogata és a felszíne?
a) Számoljuk ki, hogy mennyi a térfogata és a felszíne ennek az építménynek, amit 6 darab 4 centis élhosszú kockából ragasztottunk össze.
b) Számoljuk ki, hogy mennyi a térfogata és a felszíne ennek az építménynek, amit 7 darab 3 centis élhosszú kockából ragasztottunk össze.
a) Kilenc darab egybevágó kockából raktuk össze ezt az építményt. Két szomszédos kocka egy-egy teljes lapjával van összeragasztva. Minden kocka élhossza 4 cm. Mekkora az így kapott test térfogata és felszíne?
b) Itt jön egy újabb izgalmas építmény, amit hét darab egybevágó kockából ragasztottunk össze. Két szomszédos kocka egy-egy teljes lapjával van összeragasztva. Minden kocka élhossza 5 cm. Mekkora a test térfogata és felszíne?
c) Most kilenc darab egybevágó kockánk van és egy kocka élhossza 3 centiméter. A kérdés a szokásos: mekkora az építmény térfogata és felszíne?
d) Hat darab egybevágó kockából raktuk össze ezt az építményt. Két szomszédos kocka egy-egy teljes lapjával van összeragasztva. Minden kocka élhossza 4 cm. Mekkora az így kapott test térfogata és felszíne?
e) Egy nagy, tömör téglatestet állítottunk össze egybevágó kockákból, majd az ábrán látható módon kivettünk belőle három darab kockát. Az így kapott test legrövidebb éle 2 cm hosszú. Mekkora a test térfogata és felszíne?
a) Számítsuk ki a kocka élhosszúságát, ha a felszíne $6 \; dm^2$.
b) Számítsuk ki a kocka élhosszúságát, ha térfogata $8 \; cm^3$
a) Mekkora annak a kockának a térfogata, amelynek felszíne $54\; cm^2$?
b) Mekkora annak a kockának a felszíne, amelynek térfogata $27 \; cm^3$?
Az alábbi táblázatban egy kocka élének hosszát, valamint felszínének és térfogatának nagyságát adtuk meg. Töltsük ki a hiányzó adatokat.
élhosszúság $a$ |
felszín $A$ |
térfogat $V$ |
$8 \; cm$ | ||
$24 \; dm^2$ | ||
$125 \; m^3$ |
A téglalapok kétdimenziósak.
Le lehet őket rajzolni egy darab papírra.
Most lépjünk kim a síkból…
És egy egészen új világ tárul elénk.
Ahol még az eddigieknél is több lesz a kiszámolnivaló…
Itt van ez a doboz doboz…
5 cm hosszú…
Errefelé meg 3 cm széles…
És 9 cm magas.
Számoljuk ki, hogy mekkora a térfogata.
A térfogatot valahogyan így érdemes elképzelni, hogy itt van ez az 1 cm-es kiskocka:
Aminek a térfogata egy köbcenti….
És megnézzük, hogy hány darab ilyen kiskocka fér bele a dobozba.
Ez eddig 5 darab…
A doboz 9 centi magas…
Úgyhogy 9 sorban lehet így kockákat pakolni bele.
Ez így darab kiskocka.
A doboz térfogata pedig:
Az ilyen dobozokat úgy hívjuk, hogy téglatest.
És a térfogatát mindegyiknek pontosan ugyanígy kell kiszámolni.
Ezeket a vonalak a téglatest oldalélei.
A térfogat pedig az oldalélek szorzata.
Egy másik izgalmas fogalom a felszín.
A térfogat ezt mondja meg, hogy hány kiskocka fér bele a téglatest belsejébe…
A felszín pedig azt jelenti, hogy mekkora az oldallapok területe összesen.
Nézzük meg.
Ennek a téglalapnak az egyik oldala 3 cm, a másik 9 cm.
Aztán itt van ez a másik…
És ez a harmadik.
Hogyha széthajtogatjuk a dobozt…
Akkor látszik, hogy háromféle oldallap van.
És mindegyikből két darab.
És most lássuk a felszínét.
És most jöhetnek a kockák…
Hogyha egy téglatest minden oldaléle egyforma hosszú…
Akkor úgy hívjuk, hogy kocka.
A kockák elég unalmasak…
Minden oldaluk egy négyzet.
És 6 darab van belőlük.
Így hát nem kell túl sokat gondolkodni azon, hogy mekkora lesz egy kocka térfogata és felszíne…
Most pedig nézzünk meg egy trükköt…
Nem túl nagy trükk…
De mégis sokkal könnyebbé teszi az életünket.
A trükk lényege, hogy ezeken a nagyon vagány 3D-s ábrákon mindig éppen a felszín fele látható.
Számoljuk ki például, hogy mekkora a térfogata és a felszíne ennek az építménynek, amit 6 darab 4 centis élhosszú kockából építettünk.
A térfogat nagyon könnyű…
Kiszámoljuk egy darab kocka térfogatát…
És ebből van 6 darab…
Most pedig lássuk a felszínt.
A felszín sok kis négyzetlapból áll.
13 darab látszik belőlük…
És tudjuk, hogy mindig kétszer annyi van.
Egy négyzet területe pedig
Ez meg is van.