- Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
- Várható érték és szórás
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Valszám alapok, klasszikus valszám
- Kombinatorika
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Mátrixok és vektorok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Komplex számok
Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
Hipergeometriai eloszlás
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás.
Ismert, hogy mennyi az összes elem és az összes selejt, vagyis $N, K$ és $n$.
\( P(X=k) = \frac{ \binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k} }{ \binom{N}{n} } \)
A hipergeometriai eloszlás várható értéke:
\( E(X) = n \frac{K}{N} \)
A hipergeometriai eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{ n \frac{K}{N} \left( 1- \frac{K}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}} \)
Binomiális eloszlás
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás.
Csak valami %-os izé ismert, a várható érték, az átlag, az arány, a valószínűség, továbbá $X$ korlátos diszkrét valószínűségi változó.
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
A binomiális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = np \)
A binomiális eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{np (1-p) } \)
Poisson eloszlás
A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol előre ismert a várható érték, és a valószínűségi változó nem korlátos, vagyis tetszőleges bármilyen nagy érték is lehet.
Például valamilyen anyagban a hibák száma, vagy egy adott idő alatt bekövetkező események száma. A Poisson eloszlásos feladatokban általában valamilyen százalék vagy arány vagy várható érték vagy átlag vagy valószínűség van megadva. Mondjuk egy könyvben az oldalak 80%-ában nincs hiba, vagy az 20 méter hosszú ruhaszövetek harmadában nincs hiba, vagy egy üzletben óránként várhatóan 13 vevő érkezik, vagy egy bankban percenként átlag 24 tranzakció történik, vagy 0,2 a valószínűsége, hogy 10 perc alatt nem érkezik segélyhívás. Ezek mind Piosson eloszlások, ahol az $X$ nem korlátos diszkrét valószínűségi változó.
\( P(X=k) = \frac{ \lambda^k }{k!} e^{-\lambda} \)
A Poisson eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \lambda \)
A Poisson eloszlás szórása:
\( D(X) = \sqrt{\lambda } \)
Exponenciális eloszlás
Az exponenciális eloszlás egy folytonos eloszlás.
Eloszlásfüggvénye:
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq 0\\ 1-e^{-\lambda x} \quad \text{ha} \; 0 < x \end{cases}\)
Sűrűségfüggvénye:
\( f(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq 0 \\ \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{ha} \; 0<x \end{cases}\)
Az exponenciális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)
Az exponenciális eloszlás szórása:
\( D(X) = \frac{1}{\lambda} \)
Egyenletes eloszlás
Az egyenletes eloszlás egy folytonos eloszlás.
Eloszlásfüggvénye:
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq A \\ \frac{x-A}{B-A} \quad \text{ha} \; A < x \leq B \\ 1 \quad \text{ha} \; B<x \end{cases}\)
Sűrűségfüggvénye:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{B-A} \quad \text{ha} \; A<x\leq B \\ 0 \quad \text{különben} \end{cases}\)
Az egyenletes eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \frac{A+B}{2} \)
Az egyenletes eloszlás szórása:
\( D(X) = \frac{B-A}{\sqrt{12} } \)
Normális eloszlás
A normális eloszlás egy folytonos eloszlás.
Eloszlásfüggvénye:
\( F(x) = \Phi \left( \frac{ x-\mu }{ \sigma } \right) \)
Sűrűségfüggvénye:
\( f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } \sigma } e^{-\frac{ (x-\mu)^2 }{ 2 \sigma^2 }} \)
A normális eloszlás várható értéke:
\( E(X) = \mu \)
A normális eloszlás szórása:
\( D(X) = \sigma \)
a) Egy úton 30 nap alatt 12 napon történt baleset. Ebből a 30 napból kiválasztunk egy hetet, mi a valószínűsége, hogy ezen a héten 2 balesetes nap van?
b) Egy úton 30 napból átlag 12 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?
c) Egy úton 30 nap alatt átlag 12 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 baleset van?
Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik.
a) Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt éppen 2-en érkeznek?
b) Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt legfeljebb 2-en érkeznek?
c) Mi a valószínűsége, hogy 5 perc alatt legalább 2-en érkeznek?
a) Valaki egy telefonhívást vár, ami 2 óra és 7 óra között érkezik, minden időpontban ugyanakkora valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy 4-ig hívják?
b) Egy bankba általában 12 ügyfél érkezik óránként. Mekkora valószínűséggel telik el 10 perc úgy, hogy nem jön senki?
c) Egy bankban az ügyfelek napi száma normális eloszlású, 560 fő várható értékkel és 40 fő szórással. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az ügyfelek száma egy adott napon 616-nál kevesebb?
a) Egy benzinkúthoz óránként átlag 12 autó érkezik. Mekkora a valószínűsége, hogy 10 perc alatt három autó érkezik? Mekkora a valószínűsége, hogy két autó érkezése közt legalább 10 perc telik el?
b) Egy földterületen átlagosan 16 havonta van a Richter-skála szerinti 5-ösnél erősebb földrengés. Mi a valószínűsége, hogy egy év alatt két ilyen földrengés is van? Mi a valószínűsége, hogy két ilyen földrengés közt legalább három év telik el?
a) Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 5 év szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legfeljebb 8 évig működik?
b) Egy bankban az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 10 percen belül nem követ másik. Mi a valószínűsége, hogy 20 percig nem jön senki? Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik?
c) Egy üzletben 10 perc alatt átlagosan 5 vevő fordul meg. A vevők érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. 10.00-kor érkezik egy vevő. Mi a valószínűsége, hogy a következő vevő 10.12 és 10.15 között érkezik?
d) Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy legalább 6 évig működik $e^{-2}$. Hány éves legyen a garancia idő, ha a termékek legfeljebb 20%-a hibásodhat meg a garanciaidőn belül?
a) Egy üzlet napi forgalma közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 568 fő, a szórás 16 fő. Mekkora valószínűséggel lesz egy adott napon a vevők száma legfeljebb 600 fő?
b) Egy határátkelőhelyen a várakozási idő normális eloszlású valószínűségi változó, 18 perc váható értékkel. Annak valószínűsége, hogy az átkelésig legfeljebb 6 percet kell várni $1-\Phi(2,4)$. Mekkora a valószínűséggel tart legalább 20 percig a várakozás? Mekkora a valószínűsége, hogy 10 percnél több, de 20 percnél kevesebb ideig kell várni?
c) Egy palackozó üzemben 1 literes ásványvizeket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött víz a várhatótól legfeljebb 25 milliliterrel eltér $2\Phi(2)-1$. Mekkora a szórás?
Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5 évnél kevesebb ideig működik?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?
Egy biztosítónál naponta átlagosan 5 kárbejelentés érkezik lakásbiztosítással kapcsolatban.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy nap a várhatónál kevesebb érkezik?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap lesz a várhatónál kevesebb bejelentés?
Egy bankba az esetek 0,3%-ában nem érkezik ügyfél egy óra alatt. Az ügyfelek száma Poisson eloszlású.
a) Mekkora az ügyfelek várható száma óránként?
b) $P(E(X)-D(X)<2X<E(X)+D(X))=$ ?
Egy újságárus óránként 48 darab újságot szokott eladni, amiből átlag 36 napilap. Mi a valószínűsége, hogy
a) 10 perc alatt legfeljebb 2 napilapot ad el?
b) 5 perc alatt éppen 7 újságot ad el?
c) a 7 eladott újságból 4 napilap?
Annak a valószínűsége, hogy egy hírlapárus negyedóra alatt egyetlen lapot sem tud eladni $e^{-6}$.
a) Mennyit szokott eladni átlagosan óránként?
b) Mekkora valószínűséggel ad el félóra alatt 10 darabot?
c) Legfeljebb milyen hosszú ideig nem tud eladni egyetlen lapot sem legalább 0,6 valószínűséggel?
Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
Egy könyvben 100 oldalon átlag 80 nyomdahiba található. Mi a valószínűsége, hogy 10 egymást követő oldalon 7 hiba lesz?
Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy
a) legfeljebb 2-en mennek át?
b) legalább 2-en mennek át?
Az $X$ valószínűségi változó egyenletes eloszlású, várható értéke 10, szórása $\sqrt{3}$. Mekkora a $P(X<9)$, a $P(X>12)$ és a $P(10<X<15)$ valószínűség?
Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkezik riasztás. Mi a valószínűsége, hogy
a) 8 óra alatt legfeljebb 2 riasztás érkezik?
b) egy 8:00-kor érkező riasztás után a következő 9:30 és 10:00 között érkezik?
Egy ügyfélszolgálatra érkező segélyhívások száma Poisson-eloszlású, a köztük eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy 5 perc alatt érkezik hívás $1-e^{-2}$.
a) Hány hívás érkezik átlagosan óránként?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy fél óra alatt legalább három hívás érkezik?
c) Mekkora a valószínűsége, hogy két hívás közt legalább 10 perc telik el?
Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap lesz nyitva?
Egy este átlagosan óránként 10 hullócsillagot látni. Ha a hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ, mekkora a valószínűsége, hogy negyed óra alatt,
a) kettőt látni?
b) legfeljebb kettőt látni?
c) legalább kettőt látni?
d) legfeljebb milyen hosszú ideig nem látni egyetlen hullócsillagot sem legalább 0,7 valószínűséggel?
Egy szövet anyagában átlag 10 méterenként van apró hiba.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy 6 méteres darab hibátlan?
b) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak, akkor pontosan két hibás darab lesz?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak, akkor mind hibátlan lesz?
d) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 5 méteres darabokra vágnak, akkor mind hibátlan lesz?
Az $X$ valószűségi változó egyenletes eloszlású, várható értéke 20, szórása $\sqrt{12}$.
Mekkora a $P(X<9)$, a $P(X>12)$ valószínűsége?
Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 8 évig működik?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy 8 évnél tovább, de 10-nél kevesebb ideig működik?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 8 évig működik, a következő 2 évben elromlik?
Egy termék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 4 év szórással.
a) Mekkora valószínűséggel hibásodik meg a gyártástól számított 12 éven belül?
b) Legfeljebb mekkora lehet a garanciaidő, ha a termékeknek legfeljebb 10%-át szeretnék garanciálisan javítani, vagy cserélni?
Egy tűzoltóságra átlagosan négyóránként érkezik riasztás. Mi a valószínűsége, hogy
a) 8 óra alatt legfeljebb 2 riasztás érkezik?
b) egy 10:00-kor érkező riasztás után a következő 11:00 és 12:00 között érkezik?
Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik. Mi a valószínűsége, hogy
a) 10 perc alatt legalább ketten érkeznek, ha az ügyfelek száma Poisson eloszlást követ?
b) két ügyfél érkezése között 5 perc is eltelik, ha az eltelt idő exponenciális eloszlású?
Egy bankban az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 10 percen belül nem követ másik.
a) Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik?
b) Mi a valószínűsége, hogy két ügyfél érkezése közt 15 perc is eltelik?
Egy üzletben két óra alatt átlagosan 30 vevő fordul meg. A vevők érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó.
a) 10:00-kor érkezik egy vevő. Mi a valószínűsége, hogy a következő vevő 10:12 és 10:15 között érkezik?
b) Ha a 10:00-kor érkező vevő után már 12 perce nem érkezett újabb vevő, mi a valószínűsége, hogy 10:15-ig érkezni fog?
Egy bankban az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 5 percen belül nem követ másik.
a) Egy óra alatt hány ügyfél érkezik?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy 10:00-kor érkező ügyfél után 10:12 és 10:17 között érkezik ügyfél?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha két ügyfél érkezése közt 15 perc is eltelik, akkor 20 percnél kevesebb telik el?
Egy vonatra való várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, óránként átlagosan 12 járat érkezik. Ha már 5 perce nem jött, mekkora valószínűséggel kell még legalább további 4 percet várni?
Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, száz ilyen készülékből átlagosan 55 hibásodik 400 üzemórán belül.
a) Mekkora a készülék várható élettartama?
b) Mekkora valószínűséggel lesz 10 készülékből 6 olyan, ami a várható élettartamnál tovább működik?
Egy ügyfélszolgálatra óránként átlag 18 hívás fut be. Mi a valószínűsége, hogy
a) 10 perc alatt legalább két hívás érkezik, ha a hívások száma Poisson-eloszlású?
b) két hívás között 5 perc is eltelik, ha a hívások közt eltelt idő exponenciális eloszlású?
Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20, szórása 4. Lehet-e Poisson, illetve binomiális eloszlású?
Ha igen, mekkora a $P(X=20)$ valószínűsége?
Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 49, szórása 7. Lehet-e Poisson, illetve binomiális eloszlású?
Ha igen, mekkora a $P(X=18)$ valószínűsége?
Egy kamionsofőr az esetek 36,8%-ában legalább két órát várakozik a határállomáson, a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó.
a) Mekkora az átlagos várakozási idő?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott esetben egy óránál kevesebbet kell várakoznia?
Egy készülök élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 5 év szórással.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legalább 8 évig működik?
b) Ha egy ilyen készülék már legalább 8 éve működik, milyen valószínűséggel működik további legalább 3 évet?
Egy úton 500 méterenként átlag 25 kátyú van. Mekkora a valószínűsége, hogy
a) Egy 100 méteres szakasz hibátlan?
b) Egy 100 méteres szakaszon legalább két kátyú van?
c) Két kátyú távolsága legalább 250 méter, de legfeljebb 500 méter?
Egy iskolában a tanulók magasságának eloszlása normális, 12 cm szórással. Annak a valószínűsége, hogy egy tanuló 144 cm-nél alacsonyabb 0,159. Mekkora a valószínűsége, hogy egy tanuló legalább 180 cm?
Egy teszt megírására 90 perc áll rendelkezésre, a megírási idő normális eloszlású valószínűségi változó 65 perc várható értékkel és 10 perc szórással. Mekkora valószínűséggel végez valaki kevesebb, mint háromnegyed óra alatt?
Egy palackozó üzemben 1 literes gyümölcsleveket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött gyümölcslé a várhatótól legalább 25 milliliterrel eltér 0,0456. Mekkora a szórás?
Egy méteráru kiskereskedés által naponta eladott szövet hossza normális eloszlású valószínűségi változó 45m várható értékkel és 5m szórással. Mi a valószínűsége, hogy valamely nyitvatartási napon az eladott szövet hossza a 40 métertől 10 méternél nagyobb mértékben tér el?
Egy repülőtér átlagos napi forgalma 124 000 utas, a szórás 10 000, és a forgalom normális eloszlásúnak tekinthető.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy az utasok száma egy adott napon a várhatótól legfeljebb a szórás kétszeresével tér el?
b) Adjunk becslést erre a valószínűségre!
Egy áruház átlagos havi forgalma 100 000 vevő, a szórás 10 000, és a vevők száma normális eloszlásúnak tekinthető.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy a vevők száma egy adott napon a várhatótól legfeljebb 20%-kal tér el?
b) Adjunk becslést erre a valószínűségre!
Egy csomagoló üzemben 900g-os üvegekbe töltenek mézeket.
a) Legfeljebb mekkora szórást engedhetünk meg, ha az üvegekbe töltött méz mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó és annak valószínűsége, hogy egy üvegben a méz mennyisége nem 890g és 910g közé esik legfeljebb 0,1096 valószínűségű lehet?
b) Adjunk becslést a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével!
Egy üvegbe töltött folyadék mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó 1 liter várható értékkel.
a) Mekkora a szórás, ha annak a valószínűsége, hogy a folyadék mennyisége 990ml-nél kevesebb $1-\Phi(2)$?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy 12 üveget tartalmazó csomagban legalább 2 üveg tartalma legfeljebb 990ml?
Egy csomagolóüzemben 500g-os konzerveket töltenek 2g szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy 20 darabos csomagban legalább 18 konzerv 494 és 506 gramm közé esik?
Valamely üzletben a vásárlók száma jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségi változó. Öt nyitvatartási napból átlagosan egyszer szokott előfordulni, hogy a vásárlók száma kevesebb, mint 40. Mekkora a vásárlók átlagos száma, ha a szórás 12?
Egy palackozó üzemben 1,5 literes ásványvizeket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött ásványvíz a várhatótól legfeljebb 24 milliliterrel tér el $2\Phi(3)-1$. Mekkora a szórás?
Itt az idő, hogy megnézzük hogyan működik a három legfontosabb diszkrét eloszlás, a hipergeometriai, a binomiális és a Poisson eloszlás.
Nézzünk mindegyikhez egy kis mesét.
Ez tulajdonképpen az a történet, hogy egy dobozban van 30 golyó, amiből 12 piros.
Kiveszünk 7 darabot és mi a valószínűsége, hogy 2 piros?
Itt már más a helyzet, ugyanis nem pontosan 12, hanem átlag 12 balesetes nap van.
Ez Poisson pedig még izgalmasabb lesz. A kérdés mindhárom mesében ugyanaz, hogy mekkora a P(X=2) valószínűség. A válasz viszont már mindegyik mesében más lesz. Az első két mesében X a balesetes napok száma, a harmadikban pedig a balesetek száma.
Ebben a két történetben az a közös, hogy egyikben sem tudjuk, hány baleset történik a 30 nap alatt pontosan, csak azt tudjuk, hogy várhatóan mennyi. Amiben viszont eltérnek egymástól, hogy az egyikben X a balesetes napok száma, a másikban viszont a balesetek száma. Ez egy döntő különbség.
ISMERT,HOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT: HIPERGEOMETRIAI
ELOSZLÁS
CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT,
A VÁRHATÓ, AZ ÁTLAG, AZ ARÁNY, A VALÓSZÍNŰSÉG: BINOMIÁLIS
ELOSZLÁS vagy POISSON
ELOSZLÁS
Ez a bizonyos λ tehát a Poisson eloszlás várható értéke.
A várható értéket megnézhetjük a másik két eloszlásnál is. Ott erre külön képletek vannak.
Nézzük meg a szórásokat is. Erre mindegyik eloszlásnál külön képlet van forgalomban.
Most pedig lássuk a valószínűségeket.
Az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha
[\bold P (X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0, 1, 2, ... , n \quad ,]
ahol 0 < p < 1. Azt, hogy az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni: X ∼ B(n,p). Speciálisan, ha X ∼ B(1,p), akkor X-et Bernoulli-eloszlásúnak nevezzük.
A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát
Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha
[\bold P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0, 1, 2, ... \quad]
ahol λ > 0 konstans.
A binomiális eloszlás
Egy dobókockával négyszer egymás után dobunk. Mi a valószínűsége, hogy mind a négy dobás egyes? Annak a valószínűsége, hogy egy dobás egyes világos, hogy 1/6. Ha tehát mind a négy dobás egyes, akkor ennek valószínűsége:
Mekkora annak a valószínűsége, hogy a négy dobásból csak két dobás egyes? Ekkor az egyes dobás valószínűsége még mindig 1/6, míg annak a valószínűsége, hogy a dobás nem egyes 5/6. A kapott eredmény tehát
ez az eredmény azonban hibás! Azért hibás, mert ugyan négy darab 1-est csak egyféleképpen tudunk dobni – történetesen, hogy mindegyik dobás 1-es – ám két 1-est és két nem 1-est jóval többféleképpen. A négy hely közül azt a kettőt, ahol az 1-es lesz hatféleképpen lehet kiválasztani, a helyes megoldás tehát
Ez a sajnálatos körülmény azonban jelentős fennakadásokat okozhat a feladatok megoldásánál. Az emberek legnagyobb része ugyanis hajlamos elfelejteni ezt a kis kellemetlenséget, hogy kell az a bizonyos 6-os szorzó, vagy ha épp emlékszik is rá, hogy kell oda még valami, miért pont 6-os. Hogy mindezen szörnyűségeket elkerüljük, megalkotunk egy képletet direkt az ilyen esetekre. A képlet a következő:
Egy esemény bekövetkezésére van n darab független lehetőség. Az esemény minden egyes alkalommal vagy bekövetkezik vagy nem. A bekövetkezés valószínűsége minden egyes alkalommal p. Annak valószínűsége, hogy az n darab lehetőség közül éppen x-szer következik be:
Nézzünk néhány feladatot.
Egy nap 0,2 valószínűséggel esik az eső. Mi a valószínűsége, hogy egy hét alatt három nap esik?
Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Egy héten maximum hét nap lehet, így a lehetőségek száma hét: n=7 Az esős napok száma három, vagyis x=3, annak a valószínűsége pedig, hogy egy nap esik, p=0,2. Ekkor:
Egy üzletben 100 vásárlóból átlag 7-en reklamálnak. Mi a valószínűsége, hogy ha 10-en állnak sorba, akkor 2-en fognak reklamálni?
a)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legfeljebb ketten reklamálnak?
b)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak?
Ha 10-en állnak sorba, akkor a reklamálók száma maximum 10, ezek szerint n=10. A képletben p mindig 1 db bekövetkezés valószínűsége. Most tehát p annak a valószínűsége, hogy 1 db ember reklamál. Ha 100 vásárlóból 7-en reklamálnak, akkor a vásárlók 7%-a reklamál, vagyis p=0,7. Annak valószínűsége, hogy éppen ketten reklamálnak:
a) annak valószínűsége, hogy legfeljebb ketten reklamálnak
ezeket egyesével mind kiszámoljuk.
b) Most számoljuk ki annak valószínűségét, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak. Ekkor nem lenne célravezető, hogy
ez ugyanis kicsit sok számolással jár. Helyette a komplementer eseményt fogjuk számolni. Történetesen azt, hogy kettőnél kevesebb ember reklamál, ami azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy ember reklamál.
ez jóval kellemesebb.
100 emberből átlag 80-nak van bankkártyája. Egy bevásárlóközpontban egy adott időpontban 1000 ember vásárol. Várhatóan hány rendelkezik bankkártyával? Ha 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7 embernek lesz bankkártyája? Mi a valószínűsége, hogy van olyan ember, akinek van bankkártyája?
A 10 sorba álló mindegyike rendelkezhet bankkártyával, az összes lehetőség száma így n=10. annak valószínűsége, hogy valakinek van bankkártyája 0,8 hiszen 100 emberből átlag 80-nak van, ami 80%-ot jelent. Annak valószínűsége, hogy a sorba állók közül 7-nek van:
Az, hogy van olyan ember akinek van bankkártyája, azt jelenti, hogy legalább egy embernek van, vagyis
Ezt kiszámolhatjuk úgy, hogy
ám ez roppant időigényes lenne, ezért helyette
Módszert alkalmazzuk. Ekkor
Az USA déli államainak kőolaj ellátásához a Mexikói-öbölbe telepített 30 olajfúró toronyból legalább 27-nek kell zavartalanul működnie. A működésben kisebb zavar 0,02 valószínűséggel fordul elő. Mi a valószínűsége, hogy egy nap zavartalan lesz az ellátás?
Az ellátás akkor zavartalan, ha legalább 27 olajfúró torony működik. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk. Itt n=30, p=0,98, tehát:
Az előző képsorban megkezdtük a barátkozást a három legfontosabb diszkrét eloszlással, most pedig nézzünk néhány feladatot.
Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik.
a)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt éppen 2-en érkeznek?
b)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt legfeljebb 2-en érkeznek?
c)Mi a valószínűsége, hogy 5 perc alatt legalább 2-en érkeznek?
Óránként átlag 24 ügyfél érkezik, de ez csak egy átlag. Vagyis megeshet, hogy egyik órában nem jön senki, a másikban pedig 50-en. Az ügyfelek száma tehát nem korlátos, akármennyi lehet. Na azért nem valószínű, hogy a következő 7 percben 7 milliárd ügyfél érkezik, de ki tudja. Ha még emlékszünk a balesetes példára, balesetes nap biztosan csak 7 darab lehet egy héten, de baleset lehet akár 7 milliárd is. Az ügyfelek száma a bankban tehát nem a balesetes nap, hanem a baleset.
Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS így szükségünk van a várható értékre.
Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 7 perc alatt 7-szer annyi: 2,8.
Öt perc alatt várhatóan nem ugyanannyi ügyfél érkezik, mint 7 perc alatt, ezért a várható értéket itt más lesz.
Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 5 perc alatt 5-ször annyi, vagyis éppen 2.
azt jelenti, hogy
Ami egy kicsit sok, ezért inkább a komplementerrel számoljunk.
Egy bizonyos évszakban minden nap 0,2 valószínűséggel esik eső. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
X=esős napok száma
Ez biztosan korlátos, mert egy héten maximum 7 esős nap lehet.
Egy autópályán 100 autóból átlag 12-nél találnak valamilyen szabálytalanságot. 10 autót véletlenszerűen megállítva mi a valószínűsége, hogy
a) pontosan két autónál lesz valamilyen szabálytalanság?
b) legfeljebb két autónál lesz szabálytalanság?
c) legalább két autónál lesz szabálytalanság?
d) két egymást követő autó szabálytalan?
X=szabálytalan autó
10 autót állítanak meg, ezért meglepő lenne, ha mondjuk 13 lenne szabálytalan.
A szabálytalan autók száma tehát korlátos, maximum 10 lehet.
p=annak valószínűsége, hogy egy autó szabálytalan.
Ha 100 autóból 12 szabálytalan, akkor az autók 12%-a szabálytalan, így
Ez így kicsit sok lesz, úgyhogy inkább a komplementerrel számolunk.
Egy autó p=0,12 valószínűséggel szabálytalan. És a másik is.
A közúti ellenőrzés során óránként átlag 8 autónál találnak valamilyen szabálytalanságot. Mi a valószínűsége, hogy
a) negyed óra alatt háromnál?
b) fél óra alatt legfeljebb kettőnél?
X=szabálytalan autó
X itt is a szabálytalan autók száma, ahogyan az előbb.
De az előbb az volt, hogy a 10 megállított autóból hány szabálytalan, most meg, hogy negyed óra alatt hány szabálytalan.
10 autóból legrosszabb esetben is csak 10 lehet szabálytalan, de negyed óra alatt bármennyi.
Most tehát X nem korlátos, így POISSON ELOSZLÁS.
Ha óránként 8 autó szabálytalan, akkor negyed óra alatt a negyede: 8/4=2
Fél óra alatt kétszer annyi szabálytalan autó várható.
Végül itt jön egy olyan eset, amiben mindhárom eloszlás felbukkan majd.
Ehhez csinálnunk kell egy kis helyet.
Egy szövet anyagában átlag 10 méterenként van apró hiba.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy 6 méteres darab hibátlan?
b) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak,
akkor pontosan két hibás darab lesz?
c) Egy 120m-es szövetet 6 méteres darabokra vágtak föl és így 9 hibás darab keletkezett. Ha 5 darabot kiválasztunk, mi a valószínűsége, hogy 2 hibás?
X=hibák száma
Ha azt szeretnénk, hogy hibátlan legyen, akkor a hibák száma alighanem nulla.
Átlag 10 méterenként van 1 hiba.
De ez nem azt jelenti, hogy a szövetet úgy gyártják, hogy na megint lement a 10 méter, akkor tegyünk be egy hibát.
A hibák tehát teljesen kiszámíthatatlan módon helyezkednek el, így 10 méteren előfordulhat akár 2 hiba is, sőt 13, sőt bármennyi.
Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS és ha 10 méteren van átlag 1 hiba, akkor 6 méteren 0,6:
Y=hibás darabok száma
Hiba lehet bármennyi, de hibás darab maximum 5, tehát Y korlátos.
Itt p annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.
Lássuk csak, mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.
Az előző kérdés az volt, hogy egy darab milyen valószínűséggel hibátlan.
Nos akkor hibás:
Ha 120 méternyi szövetet 6 méteres részekre vágnak, akkor 20 darab keletkezik.
Úgy hozta a sors, hogy ezek közül 9 hibás.
Kiválasztunk 5 darabot.
Z=hibás darabok száma
Folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb. Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla. Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy vagy vagy
A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.
1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt. EGYENLETES ELOSZLÁS
Valaki egy telefonhívást vár, ami 2 és 7 óra között érkezik, minden időpontban ugyanakkora valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy 4ig hívják?
X=hány óra van
Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye
most a=10 és b=15
Az, hogy délig hívják:
EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS
Egy bankba általában 12 ügyfél érkezik óránként. Mekkora valószínűséggel telik el 10 perc úgy, hogy nem jön senki?
X=eltelt idő, perc
0 10 perc
Ha 10 percig nem jön senki, akkor a két ügyfél között eltelt idő 10 percnél több.
, tehát a
valószínűséget szeretnénk kiszámolni.
Várhatóan 12 ügyfél érkezik óránként, ezért az ügyfelek közt eltelt idő 60/12=5 perc,
vagyis a várható érték
perc és így
Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye
most
Az, hogy 10 percig nem jön senki:
NORMÁLIS ELOSZLÁS
Egy bankban az ügyfelek napi száma normális eloszlású, 560 fő várható értékkel és 40 fő szórással.
Ez azt jelenti, hogy az esetek nagy részében az ügyfelek száma napi 560 fő körül van, de előfordulhat, hogy azért több, vagy pedig, hogy kevesebb.
Az viszont már ritka, hogy sokkal több vagy sokkal kevesebb.
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye
Ez egy nagyon remek függvény, csak sajnos van vele egy kis gond.
Nem tudjuk integrálni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán.
Nem baj, mert a valószínűségeket eddig sem a sűrűségfüggvénnyel, hanem az eloszlásfüggvénnyel számoltuk ki.
Csak sajnos van egy kis gond. Eloszlásfüggvény ugyanis nincs.
Ezt a kis kellemetlenséget úgy tudjuk kiiktatni, hogy bevezetünk egy speciális normális eloszlást, aminek a várható értéke nulla, a szórása pedig egy.
Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük.
A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye
eloszlásfüggvénye pedig egy táblázat formájában létező függvény, aminek jele .
Lássuk a táblázatot.
Nos mindjárt két táblázat is van. De aggodalomra semmi ok, a két táblázat lényegében ugyanaz, mindjárt meglátjuk.
A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye az úgynevezett Gauss-görbe.
Az első táblázat az eloszlásfüggvény értékeit tartalmazza, vagyis azt, hogy mekkora a görbe alatti terület mínusz végtelentől z-ig.
Ha z=0 akkor ez pont a fele a teljes területnek.
Mivel a sűrűségfüggvények görbe alatti területe 1, ezért a fele 0.5
Ha z egy picit nagyobb, mint 0,
akkor a terület is egy picit nagyobb.
Itt jön aztán a másik táblázat, ami csak abban különbözik az előzőtől, hogy a területek 0-tól kezdődnek.
A területek így éppen 0.5-el kisebbek, mint a másikban.
Teljesen mindegy, hogy egy feladat megoldásánál melyik táblázatot használjuk, de ha választani lehet, inkább az elsőt érdemes.
Végül van itt még egy dolog.
tehát a rajzon ez a terület.
pedig ez a terület.
Ha megfigyeljük, ezek éppen a teljes területté egészítik ki egymást.
.
Hát ez remek, és akkor most folytassuk a feladat megoldását.
Most egy olyan normális eloszlásunk van, ahol a várható érték 560 a szórás pedig 40.
Annak valószínűsége, hogy egy adott napon az ügyfelek száma 616-nál kevesebb:
Ha az első táblázatot használjuk, akkor éppen a keresett valószínűséget kapjuk.
Ha a másodikat, akkor még 0.5-öt hozzá kell adni.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Mekkora valószínűséggel lesz az ügyfelek száma 480-nál kevesebb?
A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.
Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.
Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)
A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.
1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt.
A POISSON ELOSZLÁS ÉS AZ EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS KAPCSOLATA
Egy benzinkúthoz óránként átlag 12 autó érkezik.
1. Mekkora a valószínűsége, hogy 10 perc alatt három autó érkezik?
2. Mekkora a valószínűsége, hogy két autó érkezése közt legalább 10 perc telik el?
Az első kérdés az autók számáról, míg a második az érkezésük közt eltelt időről szól.
Az autók száma diszkrét eloszlás, és mivel érkezhet bármennyi, ezért Poisson, az eltelt idő folytonos eloszlás és történetesen exponenciális.
1. X=autók száma 10 perc alatt, darab, POISSON
A várható érték óránként 12 autó, tehát 1 perc alatt 12/60=0,2 és 10 perc alatt darab
2. Y=autók közt eltelt idő, perc, EXPONENCIÁLIS
A várható érték óránként 12 autó, tehát az átlagosan eltelt idő 60/12=5 perc perc
Mindkét eloszlás ugyanazt a történetet írja le, csak az egyik a bekövetkezések számát vizsgálja, a másik pedig a köztük eltelt időt.
Így hát ennek a bizonyos -nak mindkét helyen történő rejtélyes felbukkanása sem pusztán a véletlen műve. A két valójában ugyanaz.
Ehhez azt kell megértenünk, hogy Poisson-eloszlás várható értéke függ a vizsgált időtartamtól,
Hosszabb idő alatt többen jönnek, rövidebb idő alatt kevesebben.
Mondjuk 10 perc alatt , de 15 perc alatt már .
Az exponenciális eloszlás várható értéke viszont a várhatóan eltelt idő, ami 5 perc, és ez nem függ a vizsgált időtartamtól.
Fél óra alatt ugyanúgy átlagosan 5 percenként érkeznek az autók, mint 20 perc alatt. Itt tehát a mindig ugyanannyi.
Ha pedig a Poisson eloszlásnál éppen akkora időtartamot nézünk, ami az exponenciális eloszlásnál az idő múlásának a mértékegysége, akkor a két mindig megegyezik.
Nézzük meg mi a helyzet ezzel a konkrét példánk esetében.
Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt percben mérjük, akkor a várható érték 5 perc és így .
Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy perces időtartamra.
Óránként 12-en jönnek, tehát egy perc alatt 12/60=0,2 vagyis , a két tehát megegyezik.
Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt mondjuk órában mérjük, akkor az 5 perces várható érték, lássuk csak 5 perc = 5/60 óra, tehát úgy durván 0,083 óra.
Ekkor .
Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy órás időtartamra.
Mivel a feladat úgy szólt, hogy óránként 12-en jönnek, a jelek szerint
.
A két tehát ilyenkor is megegyezik.
X = bekövetkezések száma adott idő alatt
Y = két bekövetkezés között eltelt idő
Egy földterületen átlagosan 16 havonta van a Richter-skála szerinti 5-ösnél erősebb földrengés.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy év alatt két ilyen földrengés is van?
b) Mi a valószínűsége, hogy két ilyen földrengés közt legalább három év telik el?
X = erősebb földrengések száma egy év alatt
Lássuk hány földrengés van évente. Egy év 12 hónap, a földrengések pedig 16 havonta vannak.
Egy év alatt tehát földrengés van.
Y = a földrengések között eltelt idő
X Poisson eloszlású és a földrengések száma, Y viszont exponenciális eloszlású és a földrengések közt eltelt idő.
A várható érték tehát most nem azt jelenti, hogy várhatóan hány földrengés van, hanem azt, hogy várhatóan hány hónap telik el köztük.
3 év = 36 hónap
Na ennyi elég is volt az exponenciális eloszlásból.
Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5-nél kevesebb ideig működik?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?
A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.
Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.
Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)
A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.
Most pedig nézzünk meg néhány exponenciális eloszlással kapcsolatos rémtörténetet. Az exponenciális eloszlás az egyik legfontosabb folytonos eloszlás, az exponenciális eloszlású valószínűségi változó általában időt és távolságot mér. Itt jön az első exponenciális eloszlásos feladat megoldása:
Itt is van az első:
Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 5 év szórással.
Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legfeljebb 8 évig működik?
Hát ez elég könnyű volt. Lássunk egy nehezebbet.
Egy bankban, az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 10 percen belül nem követ másik.
Mi a valószínűsége, hogy 20 percig nem jön senki?
Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik?
A jelek szerint várhatóan 7,215 percenként érkeznek ügyfelek.
Egy óra alatt ügyfél érkezik.
Egy üzletben 10 perc alatt átlagosan 5 vevő fordul meg. A vevők érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. 10.00-kor érkezik egy vevő. Mi a valószínűsége, hogy a következő vevő 10.12 és 10.15 között érkezik?
Átlagosan 2 perc telik el a vevők érkezése között:
Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy legalább 6 évig működik .
Hány éves legyen a garancia idő, ha a termékek legfeljebb 20%-a hibásodhat meg garanciaidőn belül?
X=hány évig működik
y év garancia
A jelek szerint tehát legfeljebb 0,669 év garanciaidőre van szükség.
Ez nap.
A normális eloszlás
A normális eloszlás az egyik legfontosabb valószínűségi eloszlás. Általában a dolgok mennyiségbeli eloszlását írja le. Például egy repülőtér napi forgalma, egy iskolában a hallgatók magassága, egy palackozó üzemben a palackokba töltött folyadék mennyisége mind-mind normális eloszlásúnak tekinthető. A normális eloszlás eloszlásfüggvényének grafikonja igen jellegzetes, kinézetre olyan, az óriáskígyó, amikor lenyelte az elefántot. A görbét harang-görbének vagy Gauss-görbének szokás nevezni, a görbét leíró függvény pedig:
Itt a normális eloszlás várható értéke, pedig a szórása. A várható érték mindig a függvény grafikonjának legmagasabb pontjánál van, ez egyúttal a leggyakoribb érték, vagyis a módusz. A sűrűségfüggvény segítségével számoljuk ki a valószínűségeket, úgy, hogy meghatározzuk a függvény görbe alatti területét.
Nézzünk egy példát! Normális eloszlású például az 1,5 literes ásványvizes üvegben a beletöltött víz mennyisége. A palackozó gép azonban nem képes minden egyes üvegbe pontosan 1,5 liter vizet tölteni, az egyikbe egy kicsivel többet, a másikba egy kicsivel kevesebbet tölt. Ezt az ingadozást írja le a szórás. Legyen most a szórás 30 ml.
A normális eloszlás várható értéke tehát , szórása pedig, a 30 millilitert átváltva literre .
Számoljuk most ki annak a valószínűségét, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. Jelöljük x-el az üvegbe töltött víz mennyiségét. Amit ki kell számolnunk:
Rajzoljuk föl a normális eloszlás sűrűségfüggvényét. A maximuma 1,5-nél lesz, a grafikon valami ilyesmi:
Rajzoljuk most be azt is, amit ki szeretnénk számolni, nevezetesen, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. A keresett valószínűség éppen a görbe alatti terület lesz.
Ahhoz, hogy ezt a területet képesek legyünk meghatározni, szükségünk van egy táblázatra, amely minden egyes x értékhez megadja a hozzá tartozó görbe alatti területet. Azonban lehetetlen minden egyes normális eloszláshoz, vagyis minden egyes lehetséges várható értékhez és szóráshoz külön táblázatot készíteni. A problémát úgy oldhatjuk meg, ha készítünk csak egy táblázatot, méghozzá egy igen speciális normális eloszláshoz, a többi normális eloszlást pedig megpróbáljuk erre az egyre visszavezetni. Ezt a speciális normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük.
A standard normális eloszlás várható értéke E(x)=0, szórása pedig D(x)=1. Sűrűségfüggvénye a megszokott harang alakú görbe:
Hogyan lehet ekkor egy általános normális eloszlásból standard normális eloszlást csinálni? Valahogy el kell érni, hogy a normális eloszlású x várható értéke ne legyen, hanem nulla, a szórása pedig ne legyen, hanem egy.
A módszert standardizálásnak nevezzük, és lényege a következő. Az x értékeiből kivonjuk a várható értékét, majd az így kapott értéket elosztjuk a szórással. A kapott standard értékeket z-nek nevezzük. Ez sokkal egyszerűbb, mint amilyen bonyolultnak hangzik:
Ha azt akarjuk kiszámolni, hogy egy palackban 1,56 liternél kevesebb víz van, akkor itt x=1,56. A várható érték 1,5 a szórás pedig 0,03 volt, így a képlet szerint
Mit is jelent ez? Eddig, amikor még normális eloszlásunk volt, annak a valószínűségét akartuk kiszámolni, hogy x<1,56. Most, a standard normális eloszlás esetén már a z<2 kell nekünk. Ezt rajzoljuk be a standard normális eloszlás grafikonjára:
[Szövegdoboz: z<2]
A keresett valószínűség a bejelölt terület. Az, hogy mekkora ez a terület, egy táblázatból nézhetjük meg, ami a standard normális eloszlás eloszlástáblázata. Íme a táblázat:
z
z
0
0,5000
1,05
0,8531
0,05
0,5199
1,1
0,8643
0,1
0,5398
1,15
0,8749
0,15
0,5596
1,2
0,8849
0,2
0,5793
1,25
0,8944
0,25
0,5987
1,3
0,9032
0,3
0,6179
1,35
0,9115
0,35
0,6368
1,4
0,9192
0,4
0,6554
1,45
0,9265
0,45
0,6736
1,5
0,9332
0,5
0,6915
1,55
0,9394
0,55
0,7088
1,6
0,9452
0,6
0,7257
1,65
0,9505
0,65
0,7422
1,7
0,9554
0,7
0,7580
1,75
0,9599
0,75
0,7734
1,8
0,9641
0,8
0,7881
1,85
0,9678
0,85
0,8023
1,9
0,9713
0,9
0,8159
1,95
0,9744
0,95
0,8289
2
0,9772
1
0,8413
2,05
0,9798
A táblázatnak két kellemetlen tulajdonsága van. Az egyik, hogy a z értékekhez tartozó valószínűségek mindig a z-től balra eső területet adják meg, a tőle jobbra esőt nem. Ez azonban nem olyan tragikus, mivel tudjuk, hogy a teljes görbe alatti terület éppen egy. Ha tehát a jobbra eső területre van szükségünk, azt úgy kapjuk meg, hogy 1-ből kivonjuk a táblázatban szereplő értéket. Például, ha z=1, akkor az 1-től balra eső terület 0,8413 ez az, amit kikeresünk a táblázatból. Az 1-től jobbra eső terület ekkor 1-0,8413 ami 0,1587.
A táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, hogy csak pozitív z értékeket tartalmaz. Ez azért probléma, mert sokszor adódik majd úgy, hogy z negatív. Hogy ebben az esetben mi a teendő, majd meglátjuk.
Térjünk most vissza a feladatunkhoz. Az eredeti feladat az volt, hogy kiszámoljuk a valószínűséget. Aztán standardizáltunk:
És így már a P(z<2) amire szükségünk van. Ha rápillantunk a táblázatra, megkapjuk, hogy p(z<2)=0,9772.
Nézzünk meg néhány feladatot!
Egy bizonyos vonatjáraton 560 ülőhely áll rendelkezésre. A vonat átlagos kihasználtsága 400 ülőhely, a szórás 100, az utas szám normális eloszlású. Indulás előtt szeretnénk a vonatra 4 jegyet váltani. Mi a valószínűsége, hogy nem lesz elegendő szabad hely?
Akkor nem lesz elegendő hely négy ember számára, ha a vonatra jegyet váltó utasok 560-nál többen vannak. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk.
A várható érték megegyezik a vonat átlagos kihasználtságával, ami 400, a szórás pedig 100, tehát és . Standardizálunk.
A normális eloszlásban még p(560<x) kellett, most már p(1,6<z)
[Szövegdoboz: 1,6
A táblázatból kikeressük az 1,6-hoz tartozó értéket, ami 0,9452. Most azonban nekünk nem a balra, hanem a jobbra eső terület kell, ami 1-0,9452=0,0548. Ez a feladat megoldása. Annak esélye, hogy nem kapunk jegyet 5% körüli.
Egy repülőtéren jelenleg öt kifutópálya üzemel, amely óránként maximum 12 tranzakcióra (gép indítására vagy fogadására) alkalmas. A repülőtéren ezen tranzakciók száma normális eloszlású óránként átlag 40, a szórás 20. Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás? Egyik nap, havazás miatt csak 3 pálya működik. Mi a valószínűsége, hogy nem kell törölni járatot?
Akkor alakul ki torlódás, ha nem elég a rendelkezésre álló öt kifutópálya sem. Mivel pályánként 12 tranzakció lehetséges, ez öt pályánál 60 tranzakció. Akkor nem elég az öt pálya, ha a gépek száma 60<x. Ennek valószínűsége:
Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát és .
A normális eloszlásban még p(60<x) kellett, most már p(1<z)
Kikeressük a táblázatból az 1-hez tartozó értéket, ami 0,8413. Nekünk azonban most a jobbra eső terület kell, ami 1-0,8413=0,1587.
[Szövegdoboz: 1
Ha egyik nap a havazás miatt csak három pálya használható, akkor ez 3szor 12 vagyis 36 gép fogadására alkalmas. Akkor nem kell járatot törölni, ha a gépek száma az adott órában maximum 36. Ennek a valószínűségét kell kiszámolnunk:
Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát és .
A normális eloszlásban még p(x<36) kellett, most már p(z<-0,2)
És itt jön a táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, nevezetesen az, hogy nem tartalmaz negatív értékeket. A -0,2-t tehát sajnálatos módon nem fogjuk benne megtalálni. Ilyenkor a teendő a következő.
Amit valójában ki szeretnénk számolna, a p(z<-0,2) valószínűség, ami rajzban így fest:
[Szövegdoboz: z<-0,2]
Mivel azonban negatív számok nincsenek a táblázatban, az egészet tükrözzük, és így kapjuk, hogy
[Szövegdoboz: 0,2
Most megkeressük a 0,2-höz tartozó értéket a táblázatban. Ez 0,5793. Eredetileg nekünk a bal oldali terület kellett, ám a tükrözés után ez átkerült jobb oldalra. A táblázatból kapott 0,5793 a 0,2-től balra eső terület, ami nem kell. Ami kell, az 1-0,5793=0,4207. Tehát 42% esély van rá, hogy nem kell az adott órában járatot törölni.
Egy metróállomáson három mozgójárda segíti az átszállást. Minden járda óránként 2500 utast tud továbbítani. Az utasok óránkénti száma normális eloszlású, várható értéke 6000, szórása 1000. Mi a valószínűsége, hogy a forgalom miatt nem elég két járdát üzemeltetni? Elvileg naponta átlagosan hány órán keresztül kell a torlódás elkerülése érdekében mind a három járdát üzemeltetni? Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás annak ellenére, hogy mind a három járda működik?
Akkor nem elég két járdát üzemeltetni, ha a forgalom nagyobb, mint amit két járda képes lebonyolítani. Ha járdánként 2500 utas továbbítható egy óra alatt, akkor két járda maximum 5000 utast tud szállítani. Akkor nem elég a két járda, ha az utasok száma 5000<x. ennek valószínűsége:
Standardizálunk. A várható érték 6000 utas a szórás 1000, tehát és .
A normális eloszlásban még p(5000<x) kellett, most már p(-1<z)
[Szövegdoboz: -1
Sajnálatos módon a -1 nem található meg a táblázatban, ezért az egészet tükrözzük:
[Szövegdoboz: z<1]
Ez már megtalálható a táblázatban, és a z=1-hez tartozó érték pont jó is, hiszen a nekünk kellő terület pont balra esik. A táblázatból kinézzük: 0,8413. Az esetek 84%-ban szükség van mindhárom járdára.
Mindhárom járda működése esetén akkor alakul ki torlódás, ha az utasok száma meghaladja a három járda által továbbítani képes 7500-as számot:
Standardizálunk:
[Szövegdoboz: 1,5
Kikeressük a táblázatból az 1,5-höz tartozó értéket, ami 0,9332. Nekünk azonban
nem az 1,5-től balra eső területre van szükségünk, így a megoldás 1-0,9332 vagyis 0,0668 lesz. Mindössze 7% körüli az esélye, hogy mind a három járdát működtetik és mégis torlódás alakul ki.
Egy almafajta átmérője átlag 12 cm, a szórás 4 cm. Az alma nem hozható kiskereskedelmi forgalomba, ha átmérője 5 cm-nél kisebb, vagy 16 cm-nél nagyobb. Egy 10.000 darabos szállítmányból várhatóan hány darab alma hozható forgalomba?
Annak valószínűségét kell kiszámolnunk, hogy egy alma jó, ami annyit tesz:
Ezt rajzoljuk be a sűrűségfüggvény grafikonjába.
[Szövegdoboz: 5 16]
Standardizálunk.
Most a várható érték a szórás pedig . Ekkor az eredeti normális eloszlásban még a standardizálás után viszont
Vagyis amit berajzolunk a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonjára.
[Szövegdoboz: -1,4 0,8]
A keresett területet úgy fogjuk kiszámolni, hogy a 0,8-tól balra eső területből kivonjuk a -1,4-től balra eső területet.
[Szövegdoboz: 0,8]
[Szövegdoboz: -1,4]
Ezeket a területeket a táblázatból kapjuk meg. Az egyik 0,7881, míg a másik a szokásos tükrözéses procedúra után 0,0808. A keresett valószínűség a kettő különbsége:
0,7881-0,0808=0,7073.
Egy üzlet napi forgalma közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 568 fő, a szórás 16 fő. Mekkora valószínűséggel lesz egy adott napon a vevők száma legfeljebb 600 fő?
Nos ennél a pontnál három eset lehetséges.
Az első és egyben nem túl valószínű eset az, hogy valóban érdekel minket, hogy mekkora ez a valószínűség.
Ez annyira ritka, hogy el is felejthetjük.
A második lehetőség, hogy ez valamilyen idióta feladat, amit meg kell oldanunk, de nem adtak mellé eloszlástáblázatot.
Jó hír, ebben az esetben kész, ez a megoldás.
És, hogy mi is az eloszlástáblázat? Nos ez.
Ebben a táblázatban kell megtalálnunk a keresett valószínűséget akkor, ha a feladat mellé adnak nekünk egy ilyet is. Ez volna a harmadik eset.
Megkeressük a táblázatban a 2-t.
Meg is van. Mindjárt kétszer is.
Sajna ugyanis ilyen normális eloszlás táblázatból kétfél van forgalomban.
De mielőtt elhatalmasodna rajtunk a kétségbeesés, vessünk azért egy pillantást a táblázatokra.
A két táblázat lényegében ugyanaz, csak a jobb oldaliban minden érték 0,5-tel kevesebb.
Ha a bal oldali táblázatot használjuk, akkor kész is. Ez a szám a megoldás.
Ha a jobb oldalit, akkor is kész, csak még hozzá kell adni 0,5-öt.
És, hogy honnét tudjuk, melyik típusú táblázatunk van?
Nos, nagyon egyszerű. Abban a táblázatban, ahol nem kell hozzáadni semmit, ott minden szám 0,5 és 1 között van.
A másikban pedig 0 és 0,5 között.
Hát ez jó, és akkor nézzünk meg egy másik feladatot is.
Egy határátkelőhelyen a várakozási idő normális eloszlású valószínűségi változó, 18 perc várható értékkel. Annak valószínűsége, hogy az átkelésig legfeljebb 6 percet kell várni
Mekkora valószínűséggel tart legfeljebb 20 percig a várakozás?
Mekkora a valószínűsége, hogy 10 percnél több, de 20 percnél kevesebb ideig kell várni?
Minden normális eloszlásos feladat megoldásánál szükségünk van a várható értékre és a szórásra.
Most a várható értéket tudjuk, de a szórást nem.
Úgyhogy lépéseket teszünk a szórás kiszámolásának érdekében.
Van egy remek képletünk azokra az esetekre, amikor itt negatív szám van.
Íme itt is van.
És most végre válaszolhatunk a kérdésekre.
Egy palackozó üzemben 1 literes ásványvizeket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött víz a várhatótól legfeljebb 25 milliliterrel eltér
Mekkora a szórás?
Van egy ilyen, hogy
Olyan viszont nincs, hogy ha akkor mi van…
Így aztán szükségessé válnak bizonyos átalakítások.
Az exponenciális eloszlásnak van egy furcsa tulajdonsága.
Egy olyan tulajdonsága, amivel Bob sajnos nem rendelkezik.
Ezt a tulajdonságot örökifjú tulajdonságnak nevezzük.
Bob esetében, aki nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ha szeretnénk megtudni mekkora valószínűséggel hal meg egy év leforgása alatt, akkor tudnunk kell, hogy hány éves.
Nem ugyanakkora ugyanis egy éven belüli halálának esélye 10 évesen, mint 60 évesen vagy épp 102 évesen. Ahogy az idő múlik, Bob bizony egyre nagyobb eséllyel hal meg, mert nem örökifjú.
Az exponenciális eloszlás viszont az.
Ez azt jelenti, hogy mindegy, eltelt-e már az a három év.
Azt akár le is tagadhatjuk.
A feltételben szereplő 3 év mintha nem is létezne.
Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5-nél kevesebb ideig működik?
c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?
Az utolsó kérdés vicces lesz.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy mi az amiben eltér az előzőtől.
Ehhez rajzolgassunk egy kicsit.
Tudjuk, hogy már 3 éve működik,
tehát valahol itt romlik el.
De még 5 éven belül.
Nos ez eddig élénken emlékeztet az előző kérdésre.
Hogy jobban megértsük mi is a különbség a két kérdés között vegyük például Bobot.
Megpróbáljuk megjósolni, hogy vajon mekkora a valószínűsége annak, hogy Bob a 70-edik és a 71-edik születésnapja között fog elhalálozni.
A kérdés az, hogy ez a valószínűség vajon nagy vagy kicsi. Nos ez attól függ.
Ha Bob születése pillanatában jósoljuk meg, hogy mekkora a valószínűséggel fog a 70-edik és a 71-edik születésnapja közt meghalni, akkor ez a valósszínűség kicsi.
Azért kicsi, mert Bobbal addig még bármi történhet, például 5 éves korában elüti egy busz, vagy 60 évesen infarktust kap…
Ugyanakkor, ha Bob már éppen 70 éves és születésnapja alkalmából megjósoljuk neki, hogy mekkora sansza van a következő egy évben meghalni, akkor biztosíthatjuk róla, hogy ennek valószínűsége igen nagy.
Nos éppen ez a különbség a kétféle kérdés között.
Mindkét esetben a 3 és 5 közötti elromlásról szól a kérdés,
csak az egyik esetben a születés pillanatában tesszük föl a kérdést,
a másik esetben pedig már 3 évnyi működés után.
ez volt az első kérdés
ha még emlékszünk
Végül itt jön még egy vicces ügy.
Egy biztosítónál naponta átlagosan 5 kárbejelentés érkezik lakásbiztosítással kapcsolatban.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy nap a várhatónál kevesebb érkezik?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap lesz a várhatónál kevesebb bejelentés?
X=kárbejelentések száma
Bármikor előfordulhat, hogy a földönkívüliek megtámadják a Földet és ilyenkor a lakás kárbejelentések száma napi egymillió is lehet. Vagyis X nem korlátos.
Y= napok száma
amikor az átlagnál kevesebb a bejelentés
Egy héten maximum hét nap van, így Y korlátos.
Nézzük mi az amit tudunk:
annak valószínűsége, hogy egy nap az átlagnál kevesebb a bejelentés
5.7.
Egy bankba az esetek 0,3%-ában nem érkezik ügyfél egy óra alatt. Az ügyfelek száma Poisson eloszlású.
a) Mekkora az ügyfelek várható száma óránként?
b)
X = ügyfelek száma
Nincs ügyfél az esetek 0,3%-ában
Nekünk a kitevőben lévő -ra van szükségünk.
Úgy tudjuk onnan lecsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal e alapú logaritmusát.
Van egy ilyen, hogy
Úgyhogy pápá
Ezzel megvolnánk.
Várhatóan 5,81 ügyfél van óránként.
Pontosan 5,81 ügyfél persze nem fog érkezni, legfeljebb a hullaházba.
Ezt úgy kell érteni, hogy átlagosan 5,81 ügyfél.
Nézzük mi van a másik kérdéssel.
Az kevésbé jól néz ki.
X az ügyfelek számát jelenti.
Ha az ügyfelek még életben vannak akkor ez csak egész szám lehet.
5.8.
Egy újságárus óránként 48 darab újságot szokott eladni, amiből átlag 36 napilap. Mi a valószínűsége, hogy
a) 10 perc alatt legfeljebb 2 napilapot ad el?
b) 5 perc alatt éppen 7 újságot ad el?
c) a 7 eladott újságból 4 napilap?
X = eladott napilapok száma 10 perc alatt
X nem korlátos, ha megérkezik a turistacsoport Kínából akik mind ki vannak éhezve egy kis napilapra akkor az újságárus akár 1000 darabot is eladhat.
Az átlagos eladás óránként 36 napilap ami 10 perc alatt a hatoda:
Y= eladott újságok száma 5 perc alatt
Ez is Poisson eloszlás.
A várható érték óránként 48 darab, 5 perc alatt pedig:
Z = a 7 eladott újságból a napilapok száma
Nem tudjuk, hogy összesen hány újság és hány napilap van.
De azt tudjuk, hogy 48 újságból átlag 36 napilap, ami 75%
5.9.
Annak valószínűsége, hogy egy hírlapárus negyedóra alatt egyetlen lapot sem tud eladni
a) Mennyit szokott eladni átlagosan óránként?
b) Mekkora valószínűséggel ad el félóra alatt 10 darabot?
c) Legfeljebb milyen hosszú ideig nem tud eladni egyetlen lapot sem legalább 0,6 valószínűséggel?
X = eladott újságok száma
Ezek az újságárusok mindig Poisson eloszlással árulják az újságokat.
egyet sem tud eladni valószínűséggel
Várhatóan 6 darabot ad el negyedóra alatt.
Akkor óránként feltehetően négyszer annyit ad el: 24 darabot.
Lássuk csak, fél óra alatt várhatóan 12 darabot ad el:
Fogalmunk sincs, hogy milyen hosszú ideig nem tud eladni egyetlen újságot sem. Legyen ez az idő t.
Nos ez remek, már csak az a kérdés, hogy akkor most mi van.
Amit kaptunk, a Poisson eloszlás várható értéke t idő alatt.
Vagyis várhatóan ennyi újságot vesznek t idő alatt.
Mennyi vajon a t?
15 perc alatt 6 darabot vesznek, t idő alatt 0,511 darabot.
Legfeljebb 1,2775 perc telik el úgy, hogy még legalább 60% eséllyel nem vesznek újságot.
5.10.
Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
X = esős napok száma
Összes nap 30 amiből esős 12:
A vizsgált napok száma 7 és ebből esnie kell háromszor:
De sajnos van egy kis gond.
A 30 napból ugyanis átlag 12 nap szokott esni, ami azt jelenti, hogy például idén eshet 25 napon keresztül is vagy csak 5 napig.
Fogalmunk sincs tehát róla, hogy hány esős nap van, csak az átlagot ismerjük.
Mivel azonban X korlátos, hiszen egy héten maximum 7 nap eshet, ez egy Binomiális eloszlás lesz.
5.11.
Egy könyvben 100 oldalon átlag 80 nyomdahiba található. Mi a valószínűsége, hogy 10 egymást követő oldalon 7 hiba lesz?
X = hibák száma
Összes oldal 100 ahol 80 hiba található:
A vizsgált oldalak száma 10 és itt 7 hibának kell lennie:
De sajnos van egy kis gond.
A 100 oldalon ugyanis átlag 80 hiba szokott lenni, ami azt jelenti, hogy például lehet 150 darab is vagy éppen csak 25.
Fogalmunk sincs tehát róla, hogy hány hiba van, csak az átlagot ismerjük.
A vizsgált 10 oldalból hibás oldal maximum 10 lehet, viszont hiba lehet bármennyi.
X a hibák száma, ezért nem korlátos.
hiba várható 1 oldalon
5.12.
Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy
a) legfeljebb 2-en mennek át?
b) legalább 2-en mennek át?
X = hányan mennek át
Mivel 10-en vizsgáznak, 10-nél többen biztosan nem mennek át.
Lássuk csak mi az amit tudunk:
Van itt azonban egy kis probléma.
X azt jelenti, hogy hányan mennek át, így aztán ez a bizonyos p is annak a valószínűsége kell, hogy legyen, hogy valaki átmegy.
Az X-nek és a p-nek tehát mindig ugyanarra kell vonatkoznia.
Semmi baj nincs azzal, hogy p annak a valószínűsége, hogy egy vizsgázó megbukik, de akkor X-nek a megbukott hallgatók számát kell jelenti.
Mivel most X azt jelenti, hogy hányan mennek át, ezért p is annak a valószínűsége, hogy valaki átmegy.
5.13.
Az X valószínűségi változó egyenletes eloszlású, várható értéke 10, szórása .
Mekkora a , a és a valószínűség?
Az egyenletes eloszlás várható értéke:
És a szórása:
Ez egy egyenletrendszer.
Ha a két egyenletet összeadjuk,
Most pedig lássuk az eloszlásfüggvényt.
5.14.
Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkezik riasztás. Mi a valószínűsége, hogy
a) 8 óra alatt legfeljebb 2 riasztás érkezik?
b) egy 800-kor érkező riasztás után a következő 930 és 1000 között érkezik?
X = riasztások száma
A riasztások száma diszkrét eloszlás és lássuk csak…
8 óra alatt lehet bármennyi, tehát Poisson.
Kétóránként szokott riasztás érkezni, tehát 8 óra alatt várhatóan 4 riasztás lesz.
Y = a riasztások közt eltelt idő
Az eltelt idő folytonos eloszlás és exponenciális.
Általában 2 óra szokott eltelni a riasztások közt, tehát a várható érték 2 óra.
EXP
5.15.
Egy ügyfélszolgálatra érkező segélyhívások száma Poisson-eloszlású, a köztük eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy 5 perc alatt érkezik hívás
a) Hány hívás érkezik átlagosan óránként?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy fél óra alatt legalább három hívás érkezik?
c) Mekkora a valószínűsége, hogy két hívás közt legalább 10 perc telik el?
X = hívások száma
5 perc alatt érkezik hívás
Ha 5 perc alatt akkor egy óra alatt
És fél óra alatt
Y = a hívások közt eltelt idő
Ez a menet közben hajlamos mindig megváltozni.
Lássuk most éppen mennyi.
Ha fél óra alatt 12 hívás jön,
akkor a hívások között 5 perc szokott eltelni: