Barion Pixel Oszthatóság | mateking
 

Oszthatóság

3.

a) Bizonyítsuk be, hogy a 3-nál nagyobb ikerprímszámok összege osztható 12-vel!

b) Melyek azok a \( p \) prímszámok, amelyekre \( 2p-1 \) és \( 2p+1 \) is prím?

5.

a) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor legalább az egyik befogó mérőszáma páros.

b) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor az egyik befogó mérőszáma osztható 3-mal.

c) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor van köztük legalább egy öttel osztható.

d) Igazoljuk, hogy bármely páratlan szám négyzetéből 1-et elvéve 8-cal osztható számot kapunk.

8.

a) Milyen pozitív egész $n$-re lesz a 6 osztója az $1+n^2+n^4+3^n$-nek?

b) Bizonyítsuk be, hogy 7 osztója $333^{444}+444^{333}$-nak.

c) Bizonyítsuk be, hogy 9 osztója $4^n-3n-1$-nek.

9.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha egy 5-nél nagyobb prímszám négyzetét 30-cal osztjuk, akkor maradékul 1-et vagy 19-et kapunk.

b) Határozzuk meg a $p, q, r$ prímeket úgy, hogy a $p^4+q^4+r^4-3$ kifejezés értéke szintén prím legyen.