- Függvények tulajdonságai és ábrázolása
- Összetett függvény és inverz függvény
- Deriválás
- Differenciálhatóság, érintő egyenlete
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris programozás, LP feladatok grafikus megoldása
- Elemi bázistranszformáció, egyenletrendszerek
- Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
- Kétváltozós függvények
Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Gradiensvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort gradiensnek nevezzük.
A gradienst szokás deriváltvektornak is nevezni, és az $f(x,y)$ kétváltozós függvény gradiensvektorát úgy jelöljük, hogy $\mathrm{grad}\, (f(x,y))$.
A gradiensvektor elnevezés onnan ered, hogy éppen a gradiens vektor irányában emelkedik mindig a legjobban a kétváltozós függvény grafikonja, ami egy felület.
Az $f(x,y)$ függvény deriváltvektora vagy másként gradiense az $(x_0, y_0)$ pontban:
\( \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))= \nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \)
A gradiens segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Deriváltvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort deriváltvektornak nevezzük.
A deriváltvektort szokás gradiensnek is nevezni, és az $f(x,y)$ kétváltozós függvény deriváltvektorát úgy jelöljük, hogy $ \nabla f(x,y)$.
Az $f(x,y)$ függvény deriváltvektora vagy másként gradiense az $(x_0, y_0)$ pontban:
\( \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))= \nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \)
A deriváltvektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja a $P(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{e} } = \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))\cdot \underline{e} \quad \text{ahol} \; \underline{e}=\frac{\underline{v}}{\mid \underline{v} \mid} \)
Gradiens irány
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy $\underline{v}$ irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület.
Ahogy a $\underline{v}$ irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik.
És van egy olyan $\underline{v}$ irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával.
Az érintősík egyenlete
Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:
\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)
Implicit függvény
A függvényeket két nagy típusba sorolhatjuk, az explicit és az implicit függvények csoportjába. Az explicit függvények azok, amelyek egy konkrét képlettel vannak megadva, míg az implicit függvények valamilyen egyenlet formájában adhatók meg.
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
Implicit függvény derivátlja
Ha $F(x,y)=0$ egy implicit függvény, akkor deriváltja:
\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)
Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n+1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:
\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 $ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjait.
b) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4$ függvény másodrendű deriváltjait.
a) Adjuk meg az $ f(x,y)=x^4+4x^2y^3+y^2 $ függvény deriváltvektorát vagy gradiensét.
b) Számoljuk ki ennek a kétváltozós függvénynek a gradiensét vagy deriváltvektorát a $P(2,3)$ pontban:
$ f(x,y)=3x^4-y^3+x^3y^2$.
c) Van itt ez a háromváltozós függvény:
$ f(x,y,z)=x^4-y^3+z^2+x \cdot z^3$
Számoljuk ki a deriváltvektorát a $P(3,2,4)$ pontban.
a) Számoljuk ki a $\underline{v}=(3,4)$ iránymenti deriváltját a $P(2,1)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+xy^3+y^5 $
b) Számoljuk ki a $\underline{v}=(2,2,1)$ iránymenti deriváltját a $P(3,5,4)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+y^4+x\cdot z^2$
a) Számoljuk ki a $P=(0,1)$ pontban milyen irányban emelkedik a legmeredekebben az $f(x,y)=y^4 \cdot e^x - \ln{y}$ függvény felülete és mekkora ez az emelkedés.
b) Az $f$ függvény által megadott felületre a $P=(3,6)$ pontban függőlegesen cseppentünk egy vízcseppet. Milyen irányban indul el a vízcsepp a felületen?
$ f(x,y)=x^4 \cdot e^{2x-y}+y^2 $
a) Számoljuk ki az $f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x}$ függvény iránymenti deriváltját a $\underline{v}=(3,4)$ irány szerint az $(1,2)$ pontban.
b) Milyen irányban emelkedik a legmeredekebben, és melyik irányban lesz éppen nulla az iránymenti deriváltja a $P(2,5)$ pontban ennek a függvénynek:
$f(x,y)=\sqrt[3]{x^4+8y^2} $
c) Számoljuk ki az iránymenti deriváltját ennek a függvénynek is a $P\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ pontban a $\underline{v}=(1,2)$ irány szerint.
$f(x,y)=\tan{(2x+3y)}$
a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!
b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?
a) Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!
b) Deriváljuk $x$ és $y$ szerint:
$x^3+e^y+\ln{z}=z^2+e^x$
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA
Az egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint
Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.
Implicit függvényt kapunk, ha a függvényt elrontjuk, mondjuk így:
sőt még gyököt is vonunk
Na ez egy implicit függvény.
Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.
mellesleg az is, hiszen .
Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.
A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:
És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.
Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott függvény deriváltjára van szükségünk.
Próbáljuk meg kifejezni -t
Nos íme itt van.
Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…
Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.
Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.
Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.
Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.
De itt van például ez.
Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.
Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.
Tehát például egy összetett függvény.
Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Külső függvény deriváltja,
szorozva a belső függvény deriváltjával.
Lássuk tehát az implicit deriválást.
Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:
Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:
Aztán kiemeljük -t.
és végül leosztunk:
Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.
Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.
A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.
Azt mondja, hogy ha egy implicit függvény, akkor deriváltja:
Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.
Itt volna az implicit függvény:
amit nullára kell rendezni,
és elkeresztelni F-nek.
Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.
Az és az közötti különbség ugyanis óriási.
Lássuk mi is a különbség!
tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám
nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.
Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.
Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.
Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.
És íme, itt az implicit derivált.
Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,
csak most így sokkal egyszerűbben.
Erre jó az implicit deriválási szabály.
A szabály több változó esetén is működik.
Ha egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
Ha egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az változó szerint:
Nézzünk erre egy példát!
Ez egy kétváltozós implicit függvény.
Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.
A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy
Z=valami x és y
Deriváljuk akkor most x és y szerint:
