Az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy $\underline{v}$ irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület.
Ahogy a $\underline{v}$ irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik.
És van egy olyan $\underline{v}$ irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával.
Ahogy már láttuk, az iránymenti derivált azt jelenti, hogyha a kétváltozós függvény grafikonjának egy pontjában áll egy hagymászó, és elindul egy v irányban, akkor ebben az irányban milyen meredeken emelkedik a felület. Ahogy a v irányt változtatjuk, az iránymenti derivált értéke is változik. És van egy olyan v irány, ahol az iránymenti derivált maximális. Ezt az irányt nevezzük gradiens iránynak és ez mindig megegyezik a deriváltvektor irányával. Vagyis egy P pontban a függvény iránymenti deriváltja éppen abban az irányban a legnagyobb, ami a P ponthoz tartozó deriváltvektor iránya. A dolog egy egyszerű skaláris szorzattal könnyedén kijön. És az is kiderül, hogy melyik az az irány, amely mentén az iránymenti derivált éppen nulla. Ez a gradiens irányra merőleges irány, amit szintvonal iránynak nevezünk.
a) Számoljuk ki a $P=(0,1)$ pontban milyen irányban emelkedik a legmeredekebben az $f(x,y)=y^4 \cdot e^x - \ln{y}$ függvény felülete és mekkora ez az emelkedés.
b) Az $f$ függvény által megadott felületre a $P=(3,6)$ pontban függőlegesen cseppentünk egy vízcseppet. Milyen irányban indul el a vízcsepp a felületen?
$ f(x,y)=x^4 \cdot e^{2x-y}+y^2 $
