- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Matematikai logika, ítéletkalkulus
- Gráfelméleti alapok
- Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága
- Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok
- Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok
- Gráfparaméterek, párosítások
- Hálózatok, maximális folyam, minimális vágás
- Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban
- Legkisebb négyzetek módszere, legjobb lineáris közelítés
- Páros gráfok, párosítások
- Menger tételei, többszörös összefüggőség
- Mátrixok
- Vektortér, lineáris függetlenség, bázis
- Lineáris egyenletrendszerek
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás
- Lineáris leképezések
Lineáris egyenletrendszerek
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Együtthatómátrix
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.
Gauss-elimináció
A Gauss-elimináció egy lineáris egyenletrendszerek megoldására használt algoritmus.
Az elimináció lényege, hogy egyenletrendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrix alakra.
A Gauss-elimináció megengedett lépései:
- Két sort (egyenletet) felcserélhetünk
- Egy sort (egyenletet) nem nulla számmal szorozhatunk
- Egyik sorhoz (egyenlethez) hozzáadhatjuk egy másik sor (egyenlet) nem nulla számsorosát
Szuper-Gauss = elemi bázistranszformáció
Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.
1. lépés: a generáló elem választása
Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.
2. lépés: a bázistranszformáció
A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.
A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.
3. lépés: megint generáló elem választás
Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik
4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás
Elemi bázistranszformáció
Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.
1. lépés: a generáló elem választása
Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.
2. lépés: a bázistranszformáció
A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.
A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.
3. lépés: megint generáló elem választás
Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik
4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás
Mátrix inverze (négyzetes mátrix)
Négyzetes mátrixok inverzét a Gauss-elimináció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot. Az eliminációs lépéseket addig kell végezni, amíg az egységmátrixot nem kapjuk az $A$ helyén, a $b$ helyén keletkezett mátrix pedig az $A$ mátrix inverze lesz.
Mátrix inverzének kiszámolása elemi bázistranszformációval
Négyzetes mátrixok inverzét a bázistranszformáció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot.
Mátrix inverzének kiszámolása Gauss-Jordan eliminációval
Négyzetes mátrixok inverzét a Gauss-Jordan elimináció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot.
Mátrix inverze nem négyzetes mátrixok esetében
Az inverz kiszámolása rettentő egyszerű dolog. Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot a szokásos táblázatba, és mellé írjuk az egységmátrixot. Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)
\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)
\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.
\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)
\( x_1-x_3+x_4=2 \)
\( 2x_2+x_4=8 \)
\( x_1+x_4=5 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.
a)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)
b)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)
\( 2x_1+x_2=2 \)
\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.
\( 2x_1 - x_4 = 4 \)
\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)
\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)
\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)
Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.
\( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)
\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)
Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4 = \beta \)
\( x_2+2x_3+x_4=1 \)
\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)
\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)
Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a
\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.
Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.
Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és
\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)
\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)
Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)
A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)
\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)
\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)
\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)
Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)
\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)
Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek.
Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
\( x_1 -3x_2 - 14x_3 = -17 \)
\( 2x_1 - 6x_2 - 28x_3 + p \cdot x_4 = q-34 \)
\( 3x_1 -7x_2 -36x_3 +4p \cdot x_4 = 4q -37 \)
Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)
\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)
\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)
Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.
(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)
\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)
Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.
(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)
\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)
Itt jön egy egyenletrendszer.
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
Hát ugye az nincs
az nincs és sincs
Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.
Legyen mondjuk ez.
A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész oszlop marad.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen.
Hát ezért éri meg így választani.
A nullák megkönnyítik az életünket.
Kiszámolni csak ezeket kell.
A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad
Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.
És ebben a sorban is.
Alig kell valamit számolni.
Ezt az egyet kell kiszámolni:
Az , és paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,
amiben paraméter van.
van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!
Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.
A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,
tehát az egész sor marad ahogy van,
meg itt is,
sőt itt is.
Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában
és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.
A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette
lévőben pedig paraméter.
Kezdjünk el kicsit gondolkodni!
1.ESET
nincs megoldás és bármi lehet.
2.ESET
nincs megoldás, és bármi lehet.
3.ESET és
ekkor levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy
Van itt még valami.
Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.
De itt mindegy mi van, ha például ,
ennek akkor is van megoldása.
Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek
a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.
Ez -s sor, tehát itt
tényleg nincs megoldás.
Ebben a sorban viszont már x van,
így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.
Számítsuk ki a
vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az és vektor.
illetve
Akkor állítható elő az vektor, ha léteznek olyan számok, hogy
illetve
Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:
Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.
megoldjuk:
van megoldás,
így az vektor előállítható
Például
Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.
nincs megoldás,
ezért a vektor sajna nem állítható elő
A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.
Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.
Lássuk, hogyan áll elő az vektor!
Az egyenletrendszer megoldását a
szokásos módon olvassuk le.
és tetszőleges
Ha mondjuk és nulla, akkor
A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.
Az független vektorok, és
Mekkora a vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a vektor?
A vektor akkor állítható elő, ha van olyan amire
A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az vektorokból
Mivel független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab van,
akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,
vagy ha a bal oldalon két van, akkor jobb oldalon is.
Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot
rögtön a feladatból is felírhatjuk.
Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab van,
aztán azt, hogy hány darab és végül hány .
A megoldás:
A vektor előáll:
A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,
így a jelek szerint három.
Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.
Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,
akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.
Mindkét mátrixot inverznek nevezzük
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,
hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis
Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.
Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,
és maradjunk ennél a sorrendnél.
Itt van például egy mátrix:
Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.
Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.
Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.
Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.
De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy
miért.
A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .
Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.
Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és
Ehhez végezzük el a szorzást!
A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.
Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.
Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.
Valójában elég egyetlen táblázat.
A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.
A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.
A kapott megoldás éppen az inverz.
Csak annyi dolgunk van, hogy
sorba rakjuk a sorokat:
Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:
Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,
és mellé írjuk az egységmátrixot.
Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.
Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Itt van például egy mátrix
A bal oldali inverz 3x2-es lesz
A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz
Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki
Itt sajnos van egy kis gond.
bal oldali inverz
most nincs
jobb oldali inverz
most épp van
Maradt egy -s sor, amiben nem
mindenki nulla, tehát nincs megoldás.
Itt viszont van megoldás,
a fönt maradt legyen mondjuk .
