Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.
a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)
b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt[3]{4^x} = \sqrt{2^{3x+1}} \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8 <0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -24=4\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( 2\cdot 9^x +2 =20\cdot 3^{x-1} \)
b) \( 16^x +16-4^{x+2}=4^x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -56=3\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 3^{x+1}+3^{2-x}=28 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( 2^{x+1}+3\cdot 2^{1-x}=5+2^x \)
b) \( \frac{2^x}{2^x+4} = \frac{32}{4^x-16} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{ 9^x -8 \cdot 3^x } = 3^{x+1} - 24 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)
b) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)
c) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
d) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
e) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radiaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
\( N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?$ \; \lambda=0,0277 $
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 4^{5-x}=16^{3x-1} \)
b) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x-4} = \sqrt[3]{ \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} } \)
c) \( \sqrt[3]{16^x} = 4^{3x-14} \)
d) \( \sqrt[3]{144^x} = \sqrt{ \frac{1}{12^{10-3x} } } \)
e) \( 2^{x+5}+7=7\cdot 2^{x+3} +1 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56 \)
b) \( 3^x 3^4 +5 = 4\cdot 3^{x+2} +3^x +49 \)
c) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
d) \( 9^x-7\cdot 3^{x+2} = 19 \cdot 3^x -81 \)
e) \( 4^{x+1}-13\cdot 6^x + 9^{x+1}=0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 16^{x-3}\leq 8^{x+2} \)
b) \( 3^x+4\cdot 3^{x+1} \leq 117 \)
c) \( \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)^{2x+5} \leq \left( \frac{4}{7} \right)^{3x-2} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( (0,125)^{3-4x}=\frac{1}{32} \)
b) \( 3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} = 120 \)
c) \( 4^x + 4^{x+1} + 4^{x+2} = 336 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
b) \( 4^{x-3} \cdot 144 = 12^{x-3} \cdot 16 \)
c) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 3^x +3^{x+2} \)
Oldjuk meg ezeket az exponenciális egyenlőtlenségeket.
a) \( 27^{x+2} \leq 9^{x-3} \)
b) \( 2^{x+2}+6\cdot 2^x > 40 \)
c) \( \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2x-1} \geq \left( \frac{1}{5} \right)^{5x+4} \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8 <0 \)
Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenletet.
\( 2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 +2^{ \sqrt{x}-1} \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 9^{x+1} -28 \cdot 3^x + 3 \leq 0 \)
