- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Várható érték és szórás
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Kétváltozós eloszlások
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
- Interpolációs polinomok
- Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
- Differenciálegyenletek
- Differenciálegyenletek, izoklinák
- Fourier sorok
- Laplace transzformáció
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
Laplace transzformáció
Laplace transzformált
Az $f(x)$ függvény Laplace transzformáltja a következő integrálás:
\( f(x) \rightarrow F(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} \; dx \)
Laplace transzformáltak
Néhány függvény Laplace transzformáltja:
\( f(x)=C \rightarrow F(s)=\frac{C}{s} \)
\( f(x)=x^n \rightarrow F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} \)
\( f(x)=e^{ax} \rightarrow F(s)=\frac{1}{s-a} \)
\( f(x)=\sin{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{a}{s^2+a^2} \)
\( f(x)=\cos{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{s}{s^2+a^2} \)
\( f(x)=x^n e^{ax} \rightarrow F(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \)
\( f(x)=e^{ax} \sin{ (bx)} \rightarrow F(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2} \)
\( f(x)=e^{ax} \cos{ (bx) } \rightarrow F(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \)
\( f(x)=x \sin{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{2as}{\left(s^2+a^2\right)^2} \)
\( f(x)=x \cos{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{s^2-a^2}{\left(s^2+a^2\right)^2} \)
Inverz Laplace transzformáltak
Néhány függvény inverz Laplace transzformáltja:
\( F(s)=\frac{C}{s} \rightarrow f(x)=C\)
\( F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} \rightarrow f(x)=x^n \)
\( F(s)=\frac{1}{s-a} \rightarrow f(x)=e^{ax} \)
\( F(s)=\frac{a}{s^2+a^2} \rightarrow f(x)=\sin{(ax)} \)
\( F(s)=\frac{s}{s^2+a^2} \rightarrow f(x)=\cos{(ax)} \)
\( F(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \rightarrow f(x)=x^n e^{ax} \)
\( F(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2} \rightarrow f(x)=e^{ax} \sin{ (bx)} \)
\( F(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \rightarrow f(x)=e^{ax} \cos{ (bx) } \)
\( F(s)=\frac{2as}{\left(s^2+a^2\right)^2} \rightarrow f(x)=x \sin{(ax)} \)
\( F(s)=\frac{s^2-a^2}{\left(s^2+a^2\right)^2} \rightarrow f(x)=x \cos{(ax)} \)
Mi a Laplace transzformáltja az alábbi függvényeknek?
a) \( f(x)=4\sin{(3x)}+e^{5x}-7x^4 \)
b) \( g(x)=\sin{(3x)}e^{5x} \)
c) \( f(x)=\frac{ \sin^2{x}}{e^{3x}} \)
d) \( g(x)=2x \cos{x} \left( \sin{x} + 5 \right) \)
Adottak az alábbi Laplace transzformáltak, mik lehettek az eredeti függvények?
a) \( F(s)= \frac{s}{s^2+16} \)
b) \( F(s)=\frac{1}{ (s-7)^4 } \)
c) \( F(s)=\frac{7s}{s^2-6s+13} \)
d) \( G(s)=\frac{7s}{s^2-6s+8} \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y'+2y=5e^{3x}+4 \quad y(0)=3 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y'+y=12\cos{(3x)}e^{2x} \quad y(0)=4 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''-7y'+12y=2e^{2x} \quad y(0)=3 \quad y'(0)=9 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''-4y'+5y=2e^{3x} \quad y(0)=2 \quad y'(0)=6 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=x+4y \quad x(0)=2 \)
\( y'=2x-y \quad y(0)=-2 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=2y+3x \quad x(0)=1 \)
\( y'=-2x+3y+4e^t \quad y(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''-7y'+12y=2\sin{2x} \quad y(0)=0 \quad y'(0)=1 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=5x-y \quad x(0)=-1 \)
\( y'=3x+y \quad y(0)=2 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=-8y \quad x(0)=1 \)
\( y'=2x \quad \;\; y(0)=-2 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''-2y'+y=x \quad y(0)=0 \quad y'(0)=-1 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''+2y'+2y=0 \quad y(0)=0 \quad y'(0)=1 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=-3x+4y \quad x(0)=1 \)
\( y'=-x+y \quad \;\; y(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''+2y'+5y=0 \quad y(0)=1 \quad y'(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y''=-y \quad y(0)=1 \quad y'(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.
\( x'=-8y \quad x(0)=1 \)
\( y'=2x \quad \;\; y(0)=-2 \)
Végezzük el az inverz Laplace-transzformációt.
\( F(s)=\frac{3s+2}{s^2-2s} \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a nagyszerű Laplace transzformáció segítségével.
\( y''+y'-2y=30\cos{x} \qquad y(0)=0 \quad y'(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y' -y = 5 \sin{2x} \qquad y(0)=0 \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.
\( y' -5y = e^{5x}-5x+6 \qquad y(0)=1 \)
A Laplace transzformációnál csak egy rosszabb dolog létezik…
az inverz Laplace transzformáció.
Van nekünk itt egy Laplace transzformáltunk,
és ebből kéne valahogyan kideríteni azt, hogy mi volt az eredeti függvény.
Nos ez.
Itt jön egy nehezebb.
Még talán erre hasonlít a legjobban…
Kéne viszont az n! a számlálóba.
De az igazi rémtörténetek csak most jönnek.
Lássuk, mi történik ezzel:
Nos, ez attól függ, hogy a nevezőt szorzattá lehet-e alakítani.
Most úgy tűnik nem, ugyanis negatív van a gyök alatt.
Ilyenkor egy másik nagyon remek dolgot csinálunk: teljes négyzetté egészítünk ki.
Most nézzük mi van a másikkal:
És most elkezdünk nézelődni, hátha megtaláljuk ezeket valahol a Laplace transzformáltak között.
Nos, lássuk csak…
Ez majdnem jó.
De csak majdnem, a számlálóban ugyanis van még nekünk egy .
Ez a másik viszont jó lesz…
egy kis rásegítéssel.
Azokban az esetekben, amikor a nevező szorzattá alakítható egy másik nagyon izgalmas tevékenységbe vágunk bele…
amit parciális törtekre bontásnak hívnak.
Most pedig tényleg jó lenne végre megtudni, hogy mire használhatnánk ezt az egészet.
Nos, ezzel fogjuk folytatni…
És most lássuk, mire jó a Laplace transzformáció.
A Laplace transzformált segítségével megszüntethető a globális felmelegedés.
Ja, mégse...
viszont meg tudunk oldani vele differenciálegyenleteket.
Itt egy egyenlet, és most megoldjuk a Laplace transzformálás segítségével.
Vesszük mindkét oldal Laplace transzformáltját.
Az y Laplace transzformáltja legyen Y.
A kérdés, hogy mi lesz Laplace transzformáltja.
Nos ez:
Ha most valahogyan vissza tudnánk Laplace transzformálni Y-t, akkor meg is lenne a megoldás.
Ehhez inverz Laplace transzformációra lesz szükségünk, amit parciális törtekre bontás segítségével fogunk csinálni.
Kétféle típusú parciális tört van:
Most mindegyik tényező elsőfokú, így mindegyik parciális tört az első típusú.
