Halmazok
Halmaz (5. osztály)
Halmazokat úgy kapunk, hogy valamilyen elemeket különböző tulajdonságaik szerint csoportosítunk.
Üres halmaz (5. osztály)
Azt a halmazt, amiben egyetlen elem sincs, üreshalmaznak nevezzük.
És egy ilyen áthúzott nullával jelöljük: $\emptyset$.
Halmazok metszete (5. osztály)
Két halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
Jele: $A \cap B$
Halmazok uniója (5. osztály)
Két halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
Jele: $A \cup B$
Halmazok különbsége (5. osztály)
Az $A$ és $B$ halmazok különbsége azon elemek halmaza, amelyek az $A$ halmazba benne vannak, de a $B$ halmazba nem.
Jele: $A \setminus B$
Halmaz komplementere (5. osztály)
Az $A$ halmaz komplementere a $H$ alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az $A$-ban.
Jele: $ \overline{A}$
a) Csoportosítsuk a számjegyek szerint.
b) Csoportosítsuk kék számok és egyjegyű számok szerint.
Itt van ez a két halmaz:
\( A=\{1, 2, 3, 4, 7, 8\} \quad B=\{1, 3, 4, 5, 6 \} \)
Határozzuk meg...
a) a két halmaz metszetét.
b) a két halmaz unióját.
c) a $B\setminus A$-t.
d) a $B$ halmaz komplementerét.
a) Bobnak épp nincs programja, ezért elhatározza, hogy ábrázolja ezeket a halmazokat:
b) Bobnak még mindig nincs jobb programja, mint ábrázolni ezekt a halmazokat is:
c) Bob még mindig unatkozik, és elszundít egy kicsit. Fura rémálmai vannak egy alaphalmazról, ami az egyjegyű természetes számok halmaza. Aztán bevillan neki egy \(A\) és \(B\) halmaz, ami ennek az alaphalmaznak két részhalmaza.
\(A=\{ \text{páros számok} \} \)
\(B=\{ \text{3-mal osztható számok} \} \)
d) Bob közben elmegy focizni, mi pedig oldjunk meg még egy feladatot. Az alaphalmaz legyen a \(H\) halmaz és ábrázoljuk Venn-diagrammal az \(A\) és \(B\) halmazokat:
\(H=\{ \text{20-nál nem nagyobb pozitív páros számok} \} \)
\(A=\{ \text{3-mal osztható számok} \} \)
\(B=\{ \text{4-gyel osztható számok} \} \)
Egy 24 fős osztályban 12-en szeretik a matekot (M-halmaz), 20-an szeretik Bobot (B halmaz) és 10 tanuló mindkettőt szereti.
a) Rajzoljunk a szöveghez Venn-diagramot, ahova minden részbe beírjuk a halmaz elemeinek a számát.
b) Hányan szeretik csak a matekot?
c) Hányan szeretik csak Bobot?
d) Hányan szeretik legalább az egyiket?
e) Hány tanuló nem szereti se a matekot, se Bobot az osztályból?
Van itt ez a két halmaz:
\(A=\{\text{12 pozitív osztói} \} \)
\(B=\{\text{a 3 nem-negatív többszörösei, amelyek 21-nél kisebbek} \} \)
a) Soroljuk fel az \(A\) és \(B\) halmaz elemeit.
b) Melyek az \(A\cap B\) elemei?
c) Melyek azok a számok, amelyek pontosan csak az egyik halmazban szerepelnek?
d) Mely számok szerepelnek legalább az egyik halmazban?
e) Melyek azok a számok, amik az \(A\) halmazban benne vannak, de a \(B\)-ben nem?
Egy osztályban 14 tanuló sportol, 12 tanuló zenél, 6 tanuló sportol és zenél. Az osztályba 25 tanuló jár.
a) Készítsünk Venn-diagramot.
b) Hányan sportolnak, de nem zenélnek?
c) Hányan nem sportolnak és nem is zenélnek?
d) Hányan zenélnek, de nem sportolnak?
Egy halmaz elemeire a következők egyszerre igazak:
– Nemnegatív páros számok
– Kisebbek, mint 30
– Nem oszthatók 4-gyel
Mely számok lehetnek ebben a halmazban? Soroljuk fel őket.
Egy másik halmaz elemeire a következők egyszerre igazak:
– Pozitív osztója a 48-nak
– Nem prímszám
– Nem osztható 3-mal
Mely számok lehetnek ebben a halmazban? Soroljuk fel őket.
Végül döntsük el, hogy az alábbi állítások igazak vagy hamisak!
a) \( 6 \notin \{\text{a 3-mal osztható pozitív számok}\}\)
b) \( 3 \notin \{\text{a 6 többszörösei}\}\)
c) \( 0 \in \{\text{a 3-mal osztható számok}\}\)
d) \( 15 \in \{10 \text{ és } 20 \text{ közötti prímszámok}\}\)
e) \( 18 \in \{\text{a 36 pozitív osztói}\}\)
f) Bob szereti a zserbót.
