Teljes valószínűség tétele és Bayes tétel
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Teljes valószínűség tétele
Ha $B_1$, $B_2$ és így tovább $B_n$ teljes eseményrendszer, valamint $A$ tetszőleges esemény, akkor
\( P(A) = P(A \mid B_1 )P(B_1) + P(A \mid B_2) P(B_2)+ \dots + P(A \mid B_n) P(B_n) \)
Bayes tétel
A Bayes tételt akkor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett ($B_k$) esemény valószínűségét akarjuk kiszámolni egy később bekövetkezett ($A$) tükrében.
Ha $B_1, B_2$ és így tovább $B_n$ teljes eseményrendszer, valamint $A$ tetszőleges esemény, akkor bármely $B_k$ eseményre
\( P(B_k \mid A ) = \frac{ P(A \mid B_k) P(B_k) }{ P(A \mid B_1) P(B_1) + P(A \mid B_2)P(B_2) + \dots + P(A \mid B_n)P(B_n) } \)
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Egy király úgy szeretné izgalmasabbá tenni az elítéltjeinek kivégzését, hogy három ládikába helyez 25 arany és 25 ezüst érmét. A kivégzésre szánt rabnak bekötött szemmel húznia kell valamelyik ládából egy érmét. Ha aranyat húz, akkor nem végzik ki, de ha ezüstöt, akkor igen. A király a nagyobb izgalom kedvéért mindig máshogy osztja szét az érméket a ládákban. Egyik alkalommal éppen így:
A kérdés, hogy mekkora esélye van az elítéltnek a megmenkülésre.
b) Egy zöldséges három helyről szerez be almákat. Az első helyről a készlet 20%-át szerzi be, ezek mind jók. A második helyről a 30%-át és itt 5% romlott, de nem baj mert ezt is el tudja adni néhány vak öregasszonynak. A harmadik helyről a maradék 50%-ot szerzi be, és itt 15% romlott. Kiválasztunk egy almát, amiről kiderül, hogy romlott. Mekkora valószínűséggel származik a hármas termelőtől?
c) Egy alkatrészt három különböző helyről szerzünk be. Az első helyről, ahol a selejtek aránya 3% 12 darab származik. A második helyről 5 darab, és itt 4% selejt, míg a harmadik helyről 3 darab és itt 95% nem selejt. Kiválasztunk egy alkatrészt.
Mi a valószínűsége, hogy selejtes?
Ha selejtes, mekkora valószínűséggel származik az első helyről?
a) Egy TV-s vetélkedőben a játékosnak három színpad közül kell választania egyet. Az egyik színpad nyer, és ebben egy autó van a másik kettő üres.
A játékos egy kis gondolkodás után az 1-es színpadot választja.
Aztán az őrületes izgalmak fokozása érdekében megmutatnak egyet a két üres színpad közül. A játékvezető megmutatja, hogy a 3-as színpad üres.
Végül megkérdezi a játékost, hogy marad-e az 1-es színpadnál, vagy inkább váltana-e a 2-esre.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy a 2-es színpad lesz a nyerő?
b) Egy biztosító kétféle autóbiztosítást forgalmaz, normált és sportautóra köthetőt. Normál biztosítást négyszer annyian kötnek, mint sportautóra köthetőt. A normál biztosítást kötők 2%-a balesetezik egy éven belül, míg a sportautósoknál 97% nem balesetezik.
Egy biztosítottat kiválasztva mekkora a valószínűsége, hogy balesetezik?
Ha belesetezik, mekkora a valószínűsége, hogy sportautóra kötött biztosítása volt?
Egy betegség kimutatásához szűrővizsgálatot végeznek. A vizsgálat a betegséget az esetek 90%-ában képes kimutatni. Ugyanakkor megesik, hogy tévesen betegnek diagnosztizál olyanokat is, aki egészséges. Ez az esetek 3%-ban fordul elő. A betegség a lakosság 35%-át érinti. Egy lakosról a teszt elvégzése során kiderül, hogy egészséges. Mi a valószínűsége, hogy valóban az?
Egy kereskedő 3 termelőtől szerez be almákat. A vásárolt mennyiség 45%-a az első termelőtől származik, ennek fele első osztályú. A második termelőtől az összes mennyiség 35%-át szerzi be, ennek 70%-a első osztályú, míg a harmadik termelő csak első osztályú árút szállított.
Kiválasztunk egy almát és az nem első osztályú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a második termelőtől származik?
Egy biztosító három irodájában autóbiztosítással rendelkező ügyfelek száma 100, 150 és 250, közülük rendre 70%, 60% és 55% a következő évre megújítja biztosítását.
a) Egy ügyfelet véletlenszerűen kiválasztva mekkora valószínűséggel újítja meg a biztosítást?
b) Ha egy ügyfél megújítja a biztosítását mekkroa valószínűséggel tartozik az első irodához?
