Síkidomok kerülete, területe, testek térfogata és felszíne
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Síkidom
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
A zárt vonal azt jelenti, hogy fogjuk a ceruzát, elindulunk valahonnan... és hopp, visszaérünk ugyanoda, ahonnan indultunk. Síkodom például egy háromszög, vagy egy négyzet, de síkidom egy kör is, vagy éppen a kölönböző emojik. Egy síkidomot több különböző zárt vonal is atárolhat. Olyankor, amikor csak egy zárt vonal határolja, egyszerű síkidomnak nevezzük. Mindez sokkal könnyebben elképzelhető, ha megnézed az ehhez kapcsolódó epizódot.
Sokszög
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Vagyis azok a síkidomok sokszögek, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszokból állnak.
Konkáv síkidom
A konkáv síkidom az, amelyikben ki tudunk választani két olyan pontot, hogy az ezeket összekötő szakasznak egy része a síkidomon kívül halad. Egy kör vagy egy téglalap például nem konkáv, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már konkáv, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Konvex síkidom
A konvex síkidom az, amelyikben akárhogy veszünk két belső pontot, az őket összekötő szakasz minden pontja a síkidom belsejében lesz.
Egy kör vagy egy téglalap például konvex, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már nem konvex, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Szabályos sokszög
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
SOKSZÖG OLDALA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak.
SOKSZÖG CSÚCSA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.
SOKSZÖG ÁTLÓI
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van $90°$-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Hegyesszögű háromszög
A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög, azaz $0°$-nál nagyobbak, de $90°$-nál kisebbek.
Tompaszögű háromszögek
A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge, azaz egy olyan szöge, ami $90°$-nál nagyobb, de $180°$-nál kisebb.
Háromszög egyenlőtlenség
A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
$a+b>c \qquad a+c>b \qquad b+c>a$
Háromszög magasságvonala és a magasságpont
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.
Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Háromszög súlyvonala és a súlypont
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.
Továbbá a súlyvonal felezi a háromszög területét.
Háromszög köré írható kör
A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.
Háromszögbe írható kör
A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Háromszög középvonala
Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.
A középvonalak párhuzamosak a háromszög oldalaival és éppen fele olyan hosszúak.
Képletek háromszög területére
A jól ismert képlet háromszögek területére:
\( T = \frac{ a \cdot m_a}{2} = \frac{ b \cdot m_b}{2} = \frac{ c \cdot m_c}{2} \)
És it jön egy kevésbé ismert háromszög-területképlet:
\( T = \frac{abc}{4R} \)
Itt $R$ a háromszög köré írható körének sugara.
Ez pedig egy még kevésbé ismert képlet háromszögek területére:
\( T=r\cdot s \)
Itt $r$ a beírható kör sugara, $s$ pedig a kerület fele.
Hérón-képlet
A Hérón-képlet a háromszögek területképletei közül egy kevésbé ismert, de elég jól használható képlet. Akkor érdemes használni, ha ismert a háromszög mindhárom oldala.
$s=\frac{a+b+c}{2} \qquad T=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} $
Négyzet
A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög. Egy sokszöget akkor nevezünk szabályos sokszögnek, ha minden oldala és minden szöge egyforma. Így tehát az egyetlen szabályos négyszög a négyzet. Ezen kívül a négyzetek mége egy fontos dolgot tudnak: az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzet területe:
\( T = a^2 \)
A négyzet kerülete:
\( K = 4a \)
Téglalap
Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak. Olyankor, amikor az oldalai is egyenlő hosszúak, egy négyzetet kapunk. A téglalapok egyik fontos tulajdosága, hogy a szemközti oldalai egyforma hosszúak, vagyis két darab a hosszúságú és két darab b hosszúságú oldala van. A téglalapoknak egy másik fontos tulajdonsága pedig, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak egymással. Ez pedig azt jelenti, hogy a téglalapok mindig paralelogrammák is egyben (ugyanis a paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek van két párhuamos oldalpárjuk).
Területe:
\( T = a \cdot b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Rombusz
Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük. Amikor a rombusz szögei derékszögek, egy négyzetet kapunk. Vagyis a négyzet is rombusz. A rombuszok másik fontos tulajdonsága, hogy a szemközti oldalaik mindig párhuzamosak egymással, vagyis a rombuszok paralelogrammák. is. Ez elvezet minket a rombusz egy másik definíciójához: a rombusz egyenlő oldalú paralelogramma.
A rombusz magasságát m-mel jelöljük, az átlóit pedig e-nek és f-nek szokás nevezni. Ezeknek a segítségével tudjuk kiszámolni egy rombusz területét.
Területe:
\( T = a \cdot m = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Kerülete:
\( K = 4a \)
Paralelogramma
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok. Vagyis minden négyzet, minden téglalap és minden qrombusz egyben paralelogramma is. A paralelogramma magasságát m-mel szokás jelölni.
Területe:
\( T = a \cdot m_a = b \cdot m_b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Trapéz
A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja. Ezeket az oldalakat a trapéz alapjainak nevezzük és a-val meg c-vel jelöljük. Általában a nagyobbik alapot szokás a-val jelölni és a kisebbik alapot pedig c-vel. Olyankor, amikor a trapéz alapjai egyforma hosszúak, paralelogrammát kapunk. Vagyis minden paralelogramma egyben trapéz is. Sőt, ha meggondoljuk, akkor a trapéz definíciója nagyon sok négyszögre ráillik. Egy darab párhuzamos oldalpárja ugyanis van a négyzetnek, a téglalapnak, a rombusznak és a paralelogrammáknak is. Vagyis minden négyzet, minden téglalap, minden rombusz és minden paralelogramma egyben trapéz is.
Mivel azonban ezeknek van külön neve, amikor egy feladatban trapézról van szó, általában olyan trapézra gondoljunk, aminek két különböző hosszúságú párhuzamos oldala van, az egyik "alul" a másik "felül" és ezek a trapéz a-val és c-vel jelölt alapjai.
Területe:
\( T = \frac{a+c}{2} \cdot m \)
Szimmetrikus trapéz
Ha a trapéz alapján fekvő két szög ugyanakkora, olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt még szokás egyenlő szárú trapéznak is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
Deltoid
Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.
Egy kicsit precízebben: deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
A deltoidok közül kétféle speciális deltoidot érdemes megjegyezni, az egyik a rombusz, a másik a négyzet. Vagyis minden négyzet és minden rombusz deltoid. A deltoidok átlóit e-vel és f-fel jelöljük, és ezek csak akkor egyforma hosszúak, ha négyzetről van szó. A deltoidok területét általában az átlóik segítségével érdemes kiszámolni.
Területe:
\( T = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Kör kerülete és területe
Az $r$ sugarú kör kerülete:
\( K = 2r \cdot \pi \)
Területe:
\( T = r^2 \cdot \pi \)
Körcikk ívhossza és területe
A körcikk ívhossza és területe úgy aránylik a kör kerületéhez és területéhez, mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360°-hoz:
\( I_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot 2r \cdot \pi \)
\( T_{\alpha} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi \)
Gúla
Vegyünk egy síkbeli sokszöget és a sík felett egy pontot. Ha a pontot összekötjük a síkbeli alakzat csúcsaival, akkor egy térbeli alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
A gúla felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a gúla magassága.
Forgáskúp
A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.
A kúp felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a kúp magassága.
Hasáb
A hasáb egy olyan test, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma.
A hasábok felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot m \)
ahol $m$ a hasáb magassága.
Kocka térfogata
A kocka térfogata:
\( V=a^3 \)
ahol $a$ az oldalélének hosszát jelenti.
Kocka felszíne
Kocka felszíne:
\( A = 6a^2 \)
ahol $a$ a kocka élének hossza.
Henger
A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.
A hengerek felszíne:
\( A = 2r^2 \pi+ 2r \pi \cdot m \)
Térfogata:
\( V=r^2 \pi \cdot m \)
ahol $m$ a henger magassága, $r$ az alapkörének sugara.
Hasábok térfogata
Hasábok térfogatát a következőképp számolhatjuk ki:
\( V=T\cdot m \)
ahol $m$ a hasáb magassága, $T$ pedig az alaplap területe.
Hasábok felszíne
Hasábok felszínéta következőképp számolhatjuk ki:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap (vagy fedőlap) területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Henger térfogata
\( V=r^2\pi \cdot m \)
ahol $m$ a henger magassága, $r$ az alapkörének sugara.
Henger felszíne
\( A = 2r^2\pi + 2r\pi \cdot m \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $m$ a henger magassága.
Gúlák térfogata
Gúlák térfogatát a következőképp számolhatjuk ki:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a gúla magassága, $T$ pedig az alaplap területe.
Gúlák felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Kúp térfogata
\( V=\frac{r^2 \pi \cdot m}{3} \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $m$ a kúp magassága.
Kúp felszíne
\( A = r^2\pi + a \cdot r \cdot \pi \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $a$ az alkotó.
Továbbá $a^2=r^2+m^2$
Gúla (négyzet alapú) terfogata
Négyzetalapú gúla térfogata könnyebben kiszámolható így:
\( V = \frac{a^2 \cdot m}{3} \)
ahol $a$ a gúla alapélének hossza, $m$ a gúla magassága.
Gúla (négyzet alapú) felszíne
Négyzetalapú gúla felszíne könnyebben kiszámolható így:
\( A = a^2 + 2 \cdot \sqrt{m^2 + \frac{a^2}{4}} \cdot a \)
ahol $a$ a gúla alapélének hossza, $m$ a gúla magassága.
Gömb
A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
A gömb felszíne:
\( A = 4 r^2 \pi \)
Térfogata pedig:
\( V=\frac{4r^3 \pi}{3} \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Gömb térfogata
A gömb térfogata:
\( V=\frac{4r^3 \pi}{3} \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Gömb felszíne
A gömb felszíne:
\( A = 4 r^2 \pi \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Főkör
Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.
Gömb sugara
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.
A sugarat $r$-el jelöljük.
Gömb átmérője
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk
Az átmérő jele $d$, és mindig sugár kétszerese.
Csonkakúp
Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.
A csonkakúp felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( R^2\pi + R\cdot r \cdot \pi + r^2\pi \right) \cdot m}{3} \)
ahol $R$ az alapkör, $r$ a fedőkör sugara, $m$ pedig a csonkakúp magassága.
Csonkakúp térfogata
\( V = \frac{ \left( R^2\pi + R\cdot r \cdot \pi + r^2\pi \right) \cdot m}{3} \)
ahol $R$ az alapkör, $r$ a fedőkör sugara, $m$ pedig a csonkakúp magassága.
Csonkakúp felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ pedig a fedőlap területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Csonkagúla
Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.
A csonkagúla felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot m}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla térfogata
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot m}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Csonkagúla (négyzet alapú) térfogata
A négyzet alapú csonkagúla térfogata egyszerűbben is kiszámolható így:
\( V=\frac{\left(a^2+a\cdot b + b^2\right) \cdot m}{3} \)
Ahol $a$ az alaplap oldalélének, $b$ a fedőlap oldalének hossza, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla (négyzet alapú) felszíne
A csonkagúla felszíne könnyebben kiszámolható, ha négyzetalapú:
\( A=a^2+b^2+2\cdot (a+b) \cdot h \)
ahol $a$ az alaplap oldalélének, $b$ a fedőlap oldalélének hossza, $h$ pedig az oldallap (trapéz) magassága.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Mit nevezünk a háromszög magasságvonalának, súlyvonalának?
b) Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalakat?
c) Mit nevezünk a háromszög középvonalának?
d) Mi a háromszög köré és a háromszögbe írható kör középpontja?
Osztályozzuk a négyszögeket, készítsünk egy halmazábrát a különböző tulajdonságaik szerint.
a) Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?
b) Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögéről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Itt van aztán ez a paralelogramma, aminek az egyik szöge 42°-os. Mekkora a többi szöge?
d) Végül itt jön még egy trapéz, amiben annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögei?
a) Egy paralelogramma $a$ oldala 16 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 9 cm. Mekkora a területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 7 cm és 9 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma területe $60\; cm^2$, és az oldalaihoz tartozó magasságok 6 cm és 4 cm. Mekkora a kerülete?
d) Egy templom függőleges homlokzata felül háromszögalakban végződik. A homlokzat nem szimmetrikus, az egyik oldalon 23 méter magasan indul a ferde rész, a másik oldalon pedig 14 méter magasan. A homlokzat legmagasabb pontja, ami a háromszögszerű rész csúcsa 36 méter magasan van. Ha ezt a csúcsot merőlegesen összekötjük a talajjal, akkor ez a vonal a homlokzatot egy 10 méter széles és egy 15 méter széles részre osztja ketté. Mekkora a homlokzat területe?
a) Bob őrülten rajong a papírsárkányokért. Egy 12 cm hosszú és egy 32 cm hosszú vékony bambusz rudat felhasználva épít magának egy deltoid alakú sárkányt, ahol a bambusz rudak a deltoid átlói. Mekkora a sárkány teljes felülete?
b) Bob egy még nagyobb papírsárkányt szeretne készíteni, amihez egy 112 centiméter hosszú bambusz rudat használ. A rudat 4:3 arányban kettévágja, és ezek lesznek a deltoid alakú sárkány merevítői, vagyis a deltoid átlói. Hány négyzetcentiméternyi papírból áll a sárkány?
c) Egy deltoid rövidebbik oldala 12 centiméter hosszú, és 90 fokos szöget zár be a deltoid hosszabbik, 16 centiméteres oldalával. A deltoid hosszabbik átlója 20 centiméter. Mekkora a rövidebbik átló?
a) Egy rombusz átlói 16 és 12 cm hosszúak, a rombusz magassága pedig 9,6 cm. Mekkora a rombusz kerülete?
b) Egy paralelogramma átlói merőlegesek egymásra. Az átlók hossza 10 cm és 24 cm. Mekkora a paralelogramma területe?
c) Egy másik paralelogramma rövidebbik átlója 78 cm és 60 fokos szöget zár be a paralelogramma oldalaival. A hosszabbik átló 135,1 cm. Mekkora a paralelogramma kerülete és területe?
d) Egy paralelogramma átlói merőlegesek egymásra. A hosszabbik átló 8 centiméteres. A paralelogramma egyik oldala 5 cm hosszú és az ehhez tartozó magasság 1,2 cm-rel rövidebb a rövidebbik átlónál. Mekkora a paralelogramma területe?
Egy 32 cm átmérőjű pizza szélén, egy 4 cm-es sávon általában már nincs semmi. Mekkora ennek az "üres" résznek a területe?
a) Van egy 32 cm átmérőjű pizza. Vágjuk 6 egyenlő részre, aztán vegyünk ki egy szeletet. Mekkora ennek a pizzaszeletnek a területe?
b) Egy templomtorony órája 6 méter átmérőjű körlap. Az óra mutatói délután 4 órakor egy körcikket határoznak meg. Mekkora ennek a körcikknek a területe?
a) Mekkora egy szabályos hétszög belső szögeinek összege?
b) Mekkora egy szabályos 100-szög egy belső szöge?
a) Hány átlója van egy szabályos nyolcszögnek?
b) Hány átlója van egy szabályos 100-szögnek?
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Hogyha átpakolnánk a piramist egy kockába, akkor milyen magas lenne a kocka?
a) Van egy 2 literes üdítős palack, ami 32 cm magas. Az 1 literes változat ugyanolyan alakú, csak arányosan kisebb palackban van. Milyen magas ez a palack?
b) Egy $a$ élhosszúságú kocka felszíne $253,5 cm^2$. Mekkora a felszíne egy $2a$ élhosszúságú kockának?
Háromféle hasáb alakú gyertyát készítünk: négyzet alapút, kör alapút és szabályos háromszög alapút. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk pedig 20 centi.
a) Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
b) Számoljuk ki a felszínüket is.
Háromféle gúla alakú gyertyát készítünk: négyzet alapút, kör alapút és szabályos háromszög alapút. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk pedig 20 centi.
a) Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
b) Számoljuk ki a felszínüket is.
a) A Föld sugara 6378 km, a Mars sugara pedig 3397 km. Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
b) Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként $44 m^2$-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
c) Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne $cm^2$-ben megadva?
Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 20 cm fedőéle 8 cm, magassága 12 cm. Egy csonkakúp alapkörének átmérője 26 cm, a fedőkörének átmérője 16 cm és a magassága 12 cm. Számoljuk ki a térfogatukat és felszínüket!
Itt az ideje rendet tenni egy kicsit…
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
Bob tehát nem tekinthető síkidomnak, mert kiállnak belőle ezek a vonalak.
Az összes többi viszont síkidom.
A síkidomok közül most csak azokkal foglalkozunk, amikben nincsenek belül lukak.
A luk nélküli síkidomokat egyszerű síkidomoknak nevezzük.
Hogyha megszüntetjük itt a lukakat…
Hopp, akkor már ezek is egyszerű síkidomok lesznek.
Mivel csak egyszerű síkidomokkal foglalkozunk, hívjuk őket simán síkidomnak.
A síkidomok között vannak olyanok, ahol a határoló vonalak csak egyenes szakaszokból állnak.
Ezeket hívjuk sokszögeknek.
Vagyis mindegyik sokszög síkidom.
És itt jön még egy dolog…
Ez itt egy vár, felülről nézve.
Ami végülis szintén egy síkidom.
Ráadásul egy sokszög.
A várakat egy nagyon ravasz trükkel építették meg…
Amikor jön az ostromló tömeg…
És odaérnek a várfal tövébe…
A vár védői, a vár belsejéből is rálátnak a várfalra.
És így a várból tudják támadni az ostromlókat.
A dolog lényege ez.
Tudunk találni olyan pontokat, amik a váron belül vannak, de ha összekötjük őket, az összekötő szakasz mégis a váron kívül halad.
Egy háromszögben ez lehetetlen volna.
Ezért nem építenek háromszög alaprajzú várakat.
A vár-típusú sokszögeket konkáv sokszögeknek nevezzük.
A másik pedig a konvex.
Remek, újabb definíciók, ahol lehetetlen megjegyezni, hogy melyik az egyik és melyik a másik…
De csak mostanáig.
Itt jön ugyanis egy trükk.
Mindez nem csak sokszögekre, hanem bármilyen síkidomra is működik.
A konvex és konkáv szemléltetésére van egy unalomig ismert példa.
Várak nélkül…
A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni…
A konvex pedig, amiben nem lehet elbújni.
De hát miért akarna bárki is egy síkidomban elbújni?
És azon kívül, hogy ennek az elbújásnak semmi értelme, még simán összekeverhetjük, hogy most akkor a konkáv vagy a konvex az elbújós…
Úgyhogy maradjunk inkább a váraknál.
Most pedig folytassuk a sokszögekkel…
A sokszögeknél tartottunk…
És addig jutottunk, hogy vannak köztük konvexek és konkávok.
Most pedig nézzük meg, hogy mit tudnak még a sokszögek…
Vannak csúcsaik…
Oldalaik…
És szögeik.
Ráadásul mindegyikből ugyanannyi.
Ez itt például egy hatszög.
Vagyis hat darab csúcsa van, hat darab oldala és hat darab szöge.
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
Ez például egy szabályos hatszög.
Mint ahogyan ez is hatszög…
Csak éppen ez a másik hatszög nem szabályos.
Ennek is minden oldala egyforma hosszú…
De a szögei, azok nem ugyanakkorák.
Aztán itt van egy szabályos ötszög.
Ez egy szabályos négyszög…
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.
És ez itt egy szabályos háromszög.
Végül nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy sokszögnek kiválasztjuk két csúcsát…
És összekötjük őket.
Olyankor, amikor szomszédos csúcsokat választunk…
A sokszögnek az egyik oldalát kapjuk.
Amikor viszont a csúcsok nem szomszédosak…
Az így kapott szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlónak nevezzük.
Egy háromszögben minden csúcs szomszédos egymással…
Úgyhogy a háromszögeknek nincsenek átlóik.
A négyszögeknek két darab átlójuk van.
A többi sokszögnek pedig…
Hát, azoknak már jó sok.
És most elérkezett az idő, hogy egy kicsit jobban megismerjük a háromszögeket.
És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.
Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.
És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.
Ja, nem.
A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.
Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…
Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.
Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.
És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.
Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.
A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…
A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.
A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.
Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.
A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.
Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.
A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.
És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.
Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…
Akkor ez a szög itt éppen 180o.
Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.
Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.
A belső szögek összege mindig 180 fok.
És van itt még valami…
A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.
Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…
Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.
Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.
HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség
Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.
A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.
Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.
És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.
Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.
A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.
Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.
Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.
És minden szöge is ugyanakkora.
Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.
A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.
átfogó
A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.
befogó
És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.
A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.
A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.
Kezdetnek ennyit a háromszögekről.
Íme, ez egy négyszög.
A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…
Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.
És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…
Vannak átlóik.
Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.
És az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.
Vagy az oldalait rontjuk el…
vagy a szögeit.
Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.
TÉGLALAP
A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.
ROMBUSZ
De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.
A helyzet egy kicsit izgalmasabb.
Ez itt mind téglalap…
Ez pedig itt mind rombusz.
Tehát a négyzet is téglalap.
Sőt a négyzet rombusz is.
Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.
Mindjárt kitisztul.
Csak előbb itt jön még egy dolog.
Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.
És íme, itt is van.
Ez egy oldalba lökött téglalap.
Vagy hivatalos nevén paralelogramma.
Rossz hír: újabb osztály…
És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
Egy darab oldalpár…
és még egy.
A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.
A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.
De van ám itt még más is.
Jönnek a trapézok.
A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
Persze ettől még lehet neki több is…
Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.
Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.
De még mindig van újabb típus…
Ehhez most az átlókat kell nézni.
Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.
A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.
Ez deltoid…
Ez nem deltoid.
És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.
Ez tehát a teljes kollekció.
A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.
Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.
Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.
A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.
Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.
Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…
akkor mindig 360 fokot kapunk.
És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.
A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…
A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.
A teljesen általános négyszögekkel nem igazán tudunk mit kezdeni…
Általában ilyenkor azt csináljuk, hogy az egyik átlója mentén kettévágjuk két darab háromszögre.
És a háromszögekre már egy tonna területképletünk meg mindenféle egyéb képletünk van.
Így hát most csak a speciális négyszögekkel fogunk foglalkozni.
A speciális négyszögek két nagy osztályba sorolhatók.
Az egyik csoport a trapézok, a másik pedig a deltoidok.
Most a trapézokkal fogunk foglalkozni.
Jönnek is a trapézok...
Trapézok
A trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora, olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van köré írható köre.
Egy téglalap területét kiszámolni őrülten egyszerű.
Csak összeszorozzuk a két oldalát, és kész is.
A dolog akkor válik egy kicsit érdekesebbé…
Ha a téglalapot egy kicsit oldalba lökjük.
Ezt úgy hívjuk, hogy paralelogramma.
A paralelogramma területét egy trükk segítségével tudjuk kiszámolni.
Átdaraboljuk téglalappá.
Ezt a vonalat itt a paralelogramma magasságának nevezzük.
Legalábbis az a oldalhoz tartozó magasságnak.
Mert tartozik magasság a b oldalhoz is.
De most maradjunk inkább az a oldalnál.
Hogyha veszünk egy ollót, és a magasságvonalnál szétvágjuk a paralelogrammát…
És aztán a levágott darabot átrakjuk ide…
Hopp, akkor éppen egy téglalapot kapunk.
Aminek az egyik oldala a a másik pedig ma.
És így a területe…
Most nagyon óvatosan visszatesszük ezt a kis háromszöget…
És meg is van a paralelogramma területe.
Ezt gyorsan írjuk is föl magunknak ide.
elrontjuk.
A trapézoknál tartottunk…
Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.
Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak.
A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.
háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla
Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.
forgáskúp
gúla forgáskúp
Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb.
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger
Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora
szöget zárnak be az alap síkjával.
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága.
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges.
És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe
És itt jön a térfogat:
A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe
Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.
Kezdjük a térfogattal.
A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:
És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.
Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek.
Végül itt jön még egy dolog.
A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.
Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.
Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.
Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség.
Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik.
Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora
piramis térfogata 23-szor akkora.
Vagyis 8-szor akkora.
Háromféle hasáb alakú gyertyát készítünk. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk 20 centi. A háromféle gyertya négyzet alapú, kör alapú és szabályos háromszög alapú. Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
Az élet egyik újabb fontos problémáját fogjuk megoldani...
Számoljuk ki mindhárom gyertya térfogatát.
A térfogat kiszámolásához két dolog kell.
Az alapterület és a magasság.
A magasságot már tudjuk.
A négyzet területét még lazán ki tudjuk számolni...
Aztán lássuk, mi van ezzel a körrel...
Végül itt jön a szabályos háromszög területe...
Az igazán profik tudják fejből is a képletét...
De ha épp nincs kedvünk megjegyezni fölösleges szabályokat...
Akkor itt van a jó öreg általános iskolás képlet.
A magasság pedig…
Hát igen, azt még ki kell számolni.
Egyenlő oldalú háromszögekben a magasság felezi az alapot.
Egy Pitagorasz-tétellel a magasság ki is jön.
És most jöhetnek a térfogatok.
Úgy néz ki, érdemes rámenni a háromszögletű gyertyák gyártására.
Egy négyzetes gyertyából több mint két háromszögletű is kijön.
Hogyha már ennyi időt töltöttünk ezekkel a gyertyákkal, számoljuk ki a felszínüket is.
Próbáljuk meg elképzelni, hogy fogunk egy ollót, és papírból kivágunk köröket, háromszögeket és téglalapokat, aztán összeragasztjuk belőle ezt a három térbeli alakzatot.
Ezeket hívjuk palástnak…
És van még itt az alaplap kétszer.
Így áll össze a felszín.
A felszín tehát úgy jön ki, hogy kétszer az alaplap területe…
Plusz a palást területe.
A palást mindhárom esetben egy téglalap.
A palást mindhárom esetben egy téglalap.
A téglalap egyik oldala a hasáb magassága. Ez most éppen 20 centi.
A másik oldal pedig éppen az alaplap kerülete.
A hengernél is ugyanez a helyzet. Vesszük az alapot kétszer…
Aztán jön a palást.
A téglalap egyik oldala a henger magassága. Ez még mindig 20 centi.
A másik oldal pedig az alaplap kerülete.
Ami most egy kör, tehát a kör kerülete fog kelleni.
Hopp, azt még ki kell számolni.
A gyertyáknál tartottunk.
És addig jutottunk, hogy a háromszögletű gyertyához fele annyi viasz is elég, mint a négyszögleteshez.
Ez úgy derült ki, hogy kiszámoltuk a térfogatukat.
És a háromszögletű gyertya térfogata feleakkora, mint a négyszögletűé.
De az igazi áttörést a gyertya-bizniszben a gúlák és a kúpok fogják elhozni nekünk.
Ezeknek a térfogata ugyanis…
Harmadannyi.
Most, hogy lelepleztük a nagy gyertya-konspirációt, számoljuk ki ezeknek a gyertyáknak a felszínét is.
A felszín sajnos nem úgy jön ki, hogy egyszerűen csak osztanunk kell hárommal…
Sőt, az a helyzet, hogy túl sok jóra ne számítsunk…
Mindhárom esetben úgy kapjuk meg a felszínt, hogy vesszük az alaplap területét…
Aztán hozzáadjuk a palást területét.
A palást területének a kiszámolásához pedig szükség lesz az oldallapok magasságára.
Ezeket h-val fogjuk jelölni.
Ahhoz, hogy ezt a h-t ki tudjuk számolni erős idegekre és nyugodt körülményekre van szükség.
Ja, és kelleni fog még egy dolog…
Be kell rajzolni a testek magasságát is. Ami a 20 centi.
És így ezeket a derékszögű háromszögeket kapjuk.
Olyan túl sokat egyik derékszögű háromszögből sem látni…
De a legrosszabb a helyzet egyértelműen a harmadik gyertyánál van.
A harmadik gyertyát inkább égessük el, a másik kettőnél pedig nézzük meg egy kicsit jobban ezeket a derékszögű háromszögeket.
Az első esetben a palást négy darab háromszögből áll.
A második esetben valamilyen körcikk lesz a palást…
A harmadik meg már egész jól ég.
Kezdjük a számolást az első esettel.
Elég az egyik háromszögnek kiszámolni a területét…
Aztán megszorozzuk 4-gyel.
Lássuk, mekkora lesz a kúp palástjának területe…
Erre van is egy remek képlet.
Ekkora:
Itt ez a bizonyos a a kúp alkotója.
Az alkotó itt látható, ez most a 20,4.
És r pedig a kúp alapkörének a sugara.
Ezt már párszor kiszámoltuk, hogy most éppen 4.
És a palást területe…
A dolog általánosan valahogy így néz ki…
Ez itt a négyzet alapú gúla térfogata és felszíne.
Itt h az oldallap magassága.
És, ha van kedvünk, akkor lecserélhetjük…
Erre.
Most nézzük, mi a helyzet a kúppal…
Ez a kúp térfogata…
És ez pedig a felszíne.
Itt a a kúp alkotója.
Hogyha pedig a gúla alapja egy szabályos n-szög…
nem négyzet alapú gúlával van dolgunk…
Akkor a térfogathoz először ki kell valahogyan számolni az alaplap területét.
A felszín pedig az alap területének és az n darab oldallap területének összege.
Itt h az oldallapok magassága.
Hát, ennyit a gúlák és kúpok térfogatáról és felszínéről…
Itt jön egy újabb izgalmas térbeli alakzat, a gömb.
Hogyha a gömb középpontját…
…összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával…
az így keletkező szakaszok hossza állandó, és ez a hosszúság a gömb sugara.
A sugarat r-el jelöljük.
Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is…
Akkor egy átmérőt kapunk.
Az átmérő jele d, és mindig a sugár kétszerese.
Az r sugarú gömb felszíne és térfogata:
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket, jóra vagy rosszra…
A Föld sugara 6378 km.
A Mars sugara pedig 3397 km.
Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
A Föld felszíne:
Legalábbis ennyi lenne akkor, hogyha a Föld gömb alakú lenne.
Csak hát a Föld nem gömb alakú…
De még mielőtt a lapos-Föld-hívők csillogó szemekkel néznék tovább ezt az epizódot …
Nem erről van szó.
A Föld szinte tökéletesen gömb alakú, néhol picike eltérésekkel, így a felülete valójában kicsit kisebb, úgy kb. 510 millió km2.
De most nem csillagásznak készülünk, úgyhogy maradunk ennél az 511 milliónál…
Nézzük, mekkora a felszíne a Marsnak.
Hát ez is jó nagy…
A Föld felszíne viszont sokkal nagyobb.
Ha elosztjuk a Föld felszínét a Mars felszínével:
Akkor azt kapjuk, hogy a Föld felszíne 3,5-ször nagyobb, mint a Marsé.
Most nézzük a térfogatokat.
A Föld térfogata:
A Mars térfogata pedig:
Nézzük, hányszorosa a Föld térfogata a Mars térfogatának.
A Mars majdnem hétszer beleférne a Földbe.
A Jupiter pedig még ennél is nagyob…
Hogyha elosztjuk ezt a Föld térfogatával…
A Jupiterbe 1408-szor férne bele a Föld.
Hogyha a gömböt egy síkkal elvágjuk…
Akkor két gömbszelet keletkezik.
Egy nagyobb meg egy kisebb.
Ha a sík éppen áthalad a gömb középpontján…
Akkor két egyforma méretű félgömbre vágja a gömböt.
Az így keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával.
Ezt a kört főkörnek nevezzük.
A Földön az egyenlítő például egy főkör.
És a hosszúsági körök is főkörök.
Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként 44 m2-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
Itt egy gömbkétszög.
De ez végülis mindegy is, hiszen a 14 darab 44 m2-es gömbkétszög éppen kiadja a teljes gömbfelületet:
A hőlégballon szélessége pedig…
A ballon átmérője.
Vagyis a sugár kétszerese.
A ballon térfogatát is könnyedén ki tudjuk számolni:
Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne cm2-ben megadva?
Íme, a mérőedény vasgolyó nélkül…
És vasgolyóval.
A golyó térfogata éppen annyi, amennyivel többet mutat a mérce.
A jelek szerint egy 1,5 literes vasgolyóval van dolgunk.
Ezt most megpróbáljuk átváltani köbcentire.
Egy 10 cm x 10 cm x 10 cm méretű kocka éppen 1 liter.
A felszín pedig:
Hát, ennyit a gömbökről…
Van itt ez az r sugarú kör.
A kör kerületének a kiszámolására már több ezer éve ez a kis képlet van forgalomban:
A kör területe pedig:
Hogyha például a kör sugara 16 cm…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
Számoljuk ki, hogy egy 10 cm sugarú körben milyen hosszú körív és mekkora területű körcikk tartozik az 50o-os középponti szöghöz.
Itt jön aztán egy másik ügy.
Egy körben 10 cm hosszú körív tartozik a 30 fokos középponti szöghöz. Mekkora a 30 fokos középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
Itt vannak ezek a szokásos testek...
Hogyha egy vízszintes síkkal levágjuk a tetejüket...
A hasábokkal olyan túl sok dolog nem történik.
Egy kicsit alacsonyabbak lesznek.
A gúlákat és a kúpokat viszont jobban megviseli a dolog.
Az így keletkező testeket a csonkagúlának és csonkakúpnak nevezzük.
Most pedig lássuk a felszínüket és a térfogatukat.
Az alaplap területét T-vel, a fedőlap területét pedig t-vel jelöljük.
A felszínt úgy kapjuk meg, hogy ezeket összeadjuk, és még hozzáadjuk a palást területét.
Éppen itt is van egy csonkagúla és egy csonkakúp…
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
A négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 20 cm fedőéle 8 cm, magassága 12 cm.
A csonkakúp alapkörének átmérője 26 cm a fedőkör átmérője 16 cm és a magassága 12 cm.
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
Kezdjük a térfogattal.
csonkagúla alapéle
És most jöhet a felszín.
A csonkagúla felszínét úgy kapjuk meg, hogy vesszük az alaplapot, meg a fedőlapot…
És hozzáadjuk a palást területét.
Ami négy darab trapézból áll.
Éppen itt is van az egyik.
A trapéz alapjai a és b…
A trapéz területe pedig…
De sajnos van itt egy kis gond…
Az eredeti csonkagúla magasságát jelöltük m-mel.
A trapéz magassága pedig nem ugyanakkora, mint a csonkagúla magassága.
Jelöljük a trapéz magasságát, mondjuk h-val.
át így kénytelenek vagyunk egy másik betűvel jelölni.
És most nézzük, mekkora egy ilyen trapéz magassága…
Egy Pitagorasz-tétel fog tudni nekünk ebben segíteni.
Végül nézzük a csonkakúp felszínét is…
Vesszük az alaplapot meg a fedőlapot…
És még hozzáadjuk a palást területét.
A csonkagúlák palástjának területére szerencsére van egy remek kis képlet:
Itt ez a bizonyos a a csonkakúp alkotója.
Lássuk, mekkora vajon ez az alkotó…
Ebben ismét Pitagorasz fog tudni nekünk segíteni…
Két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
Számoljuk ki a térfogatát és felszínét.
Egy 95 méter magas rakéta két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
A nagyobbik henger magassága 65 méter, átmérője 8 méter. Erre illeszkedik a csonkakúp, amely 12 méter magas, majd felette található a másik henger, melynek magassága 13 méter és átmérője 6 méter. A rakéta csúcsa egy 5 méter magas kúp.
Számoljuk ki a térfogatát és a felszínét.
De van még itt egy kis gubanc…
Ezek ugyanis egymáson vannak…
A henger teteje és a csonkakúp alja tehát a rakéta belsejében van.
A rakéta felszínébe ezeket nem számoljuk bele.
Ezek szerint a henger felül nyitott, és a felszíne pedig…
És most jöhet a csonkakúp.
És ennek az alaplapja meg a fedőlapja sem fog kelleni.
A csonkakúp alapkörének sugara ugyanakkora, mint az alatta lévő hengeré…
A fedőkörének sugara pedig akkora, mint a felette lévő hengeré.
És most lássuk a csonkakúp felszínét.
Az alaplap és a fedőlap most nem kell…
Mert alulról az egyik henger csatlakozik a kúphoz, felülről pedig a másik.
Így aztán elég csak a csonkakúp palástjának a területét kiszámolni.
Itt az a a csonkakúp alkotója.
Itt jön aztán a másik henger…
A felszínnél itt sem kell az alaplap és a fedőlap…
És végül jön még ez a kúp.
A kúp alapkörének a sugara ugyanúgy 3 méter, mint az előbb a hengeré.
És a kúp alaplapja ugyanúgy nem fog kelleni a felszínhez.
