- Hatványozás, polinomok, egyenletek, egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek, abszolútérték, gyökös kifejezések
- Exponeciális egyenletek, logaritmus, számtani és mértani sorozat
- Vektorok, koordinátageometria, szögfüggvények
- Függvények
- Összetett függvények és inverz függvények
- Sorozatok
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hôpital szabály
- Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
Egyenlőtlenségek, abszolútérték, gyökös kifejezések
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Egyenlőtlenségek megoldása
Egyenlőtlenséget ugyanúgy kell megoldani, mint egyenletet. Amire figyelnünk kell, hogy ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul.
Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása
Az egyik megoldás az, hogy szorzattá alakítjuk, aztán pedig számegyenesen ábrázoljuk a tényezők előjelét.
A második megoldás, hogy ábrázoljuk vázlatosan a másodfokú függvényt, amit az egyenlőtlenségből alkotunk, majd leolvassuk a megoldást.
Abszolútérték
Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.
Precizebben egy $x$ szám abszolútértékén ezt értjük:
\( \mid x \mid = \begin{cases} x \; \text{ha} \; 0 \leq x \\ -x \; \text{ha} \; x<0 \end{cases} \)
Négyzetgyök
Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.
\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)
Gyökös azonosságok
\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)
\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)
Köbgyök
Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.
\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)
Köbgyökös azonosságok
\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)
\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)
n-edik gyök
A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.
Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)
Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)
Gyökös egyenletek megoldása
A gyökös egyenletek megoldását mindig ezzel kell kezdeni:
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } \Rightarrow \text{IZÉ} \geq 0 \)
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } = \text{VALAMI} \Rightarrow \text{VALAMI} \geq 0 \)
Ezt követően az elsőszámú célunk, hogy megszabaduljunk a gyökjeltől, amit négyzetreemeléssel végezhetünk. Ilyenkor az a lehető legjobb, ha a gyökös izé magányosan álldogál.
Ha megszabadultunk a gyökjeltől, minden úgy megy tovább, ahogy azt már megszokhattuk az egyenleteknél.
A végén viszont fontos, hogy ellenőriznünk kell, a megoldásunk megfelel-e a feladat elején felírt kritériumnak.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 5x-4 \leq 3x+2 \)
b) \( 4x-9 < 7x+3 \)
c) \( \frac{x-2}{3} > x+5 \)
d) \( \frac{2x-1}{5} \leq \frac{3x+2}{7} \)
e) \( x- \frac{x-1}{2} > \frac{x-3}{4} - \frac{x-2}{3} \)
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( \frac{4x-5}{x-1}<3 \)
b) \( x \geq \frac{9}{x} \)
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( x^2-25 \leq 0 \)
b) \( 3x^2-12>0 \)
c) \( 3x^2-16x-12<0 \)
Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 2x^2-12x+16>0 \)
b) \( x^2+6x+13>0 \)
c) \( \frac{x^2-4x+5}{9-x^2}>0 \)
a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = ? \)
b) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
c) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
d) \( \sqrt{112}-\sqrt{28}+\sqrt{63} = ? \)
e) \( \sqrt{96} - \sqrt{54} + \sqrt{24} = ? \)
f) \( \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right)^2 = ? \)
Gyöktelenítsük a törteket.
a) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
b) \( \frac{5}{\sqrt{5}} \)
c) \( \frac{2}{\sqrt{x}} \)
d) \( \frac{3}{\sqrt{3}-1} \)
e) \( \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
f) \( \frac{6}{\sqrt{x}+3} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x-4}=3 \)
b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)
c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)
d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x+3}+2=4x \)
b) \( \sqrt{4x+1}-\sqrt{x+3}=2 \)
Most pedig lássuk mi az a négyzetgyök.
Ép itt jön rá egy példa:
Ez egy olyan szám, amit ha négyzetre emelünk,
Akkor 9-et kapunk.
Hát ilyen éppen van…
Nézzünk még néhány példát:
Nos, ezzel viszont lesz egy kis gond…
√a-nak ugyanis azt kell tudnia, hogy 〖 √a〗^2 = a
És ez alapján〖 √(-3)〗^2= -3
Csak hát ez sajnos lehetetlen. Nem tudunk olyan számot
mondani, aminek a négyzete negatív.
A pozitív számok négyzete pozitív…
És a negatív számok négyzete is pozitív.
Így aztán nem létezik olyan szám, aminek a négyzete -3.
A gyökjel alatt tehát nem állhat negatív szám.
Ezek alapján a négyzetgyök definíciója valahogy így szól.
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
szám, aminek a négyzete a.
De sajnos van itt még egy kis gond.
Próbáljuk meg például megmondani ez alapján a definíció alapján,
hogy mennyi 9-nek a négyzetgyöke
Lássuk, megfelel-e ez a definíciónak:
*******
Nos, úgy néz ki, igen.
Mi ezzel a baj?
Nos, az a baj, hogy √9 nem lehet egyszerre +3 és -3 is.
A kettő közül csak az egyik lehet, annak ellenére, hogy
egyébként mindkét szám négyzete 9.
El kell döntenünk, hogy a kettő közül melyik legyen és ezt a
négyzetgyök definíciójába is bele kell építenünk.
Jegyezzük meg, hogy mindig a pluszosat tekintjük egy szám
négyzetgyökének.
…. nem negatív…
Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a
nem negatív szám, aminek a négyzete a.
És most lássuk, miket tud ez a négyzetgyök.
Na, ezt például nem…
A gyökvonás nem nagyon szereti az összeadást és a kivonást.
Vagyis nem létezik olyan azonosság, hogy mivel egyenlő
Hát ez nagy kár...
A szorzásra és osztásra viszont működik a dolog:
Itt jön aztán a köbgyök.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Lássunk néhány példát:
*** mert ***
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat,
de köbgyök alatt bármi.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Ez azt tudja, hogy ha köbre emeljük, akkor a-t kapunk.
Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.
Lássunk néhány példát:
mert
mert
mert
mert
Négyzetgyöknél nem lehetett negatív a gyökjel alatt.
De most igen…
A négyzetgyök alatt tehát csak nem negatív szám állhat, de köbgyök alatt bármi.
a
És most oszlassunk el egy téveszmét.
Itt jön ez az egyenlet…
és lássuk, mi történik, ha mindkét oldalból gyököt vonunk.
Nos, az történik, hogy
Ha egy egyenletből gyököt vonunk…
akkor az x mindig lesz.
Mert két olyan szám is van, aminek a négyzete 9.
Az egyik a 3 a másik a -3.
Ha viszont itt van ez, hogy
akkor csak egy megoldás van, mégpedig a 2.
A -2 azért nem jó, mert .
Na persze, ha éppen ezt kell megoldani…
Akkor pedig a -2 lesz a megoldás.
Végül nézzük mi a helyzet a negyedik gyökkel, ötödik gyökkel és társaival.
A negyedik gyök, hatodik gyök, sőt bármilyen páros kitevős gyök pontosan úgy viselkedik, mint a négyzetgyök.
Egy a nem negatív szám 2k-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
A páratlan kitevős gyök pedig úgy viselkedik, mint a köbgyök.
Egy tetszőleges a szám 2k+1-edik gyöke az a szám, amire:
