- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram (box plot)
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Valószínűségszámítás (15,3 pont)
- Térgeometria (12,5 pont)
- Kombinatorika (11,9 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
- Statisztika (7,3 pont)
- Az integrálás (7,1 pont)
- Szöveges feladatok (6,1 pont)
- Koordinátageometria (5,1 pont)
- Gráfok (4,8 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Síkgeometria (4,1 pont)
- Számelmélet (3,9 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
- Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
- Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Függvények érintője
- Trigonometria
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Függvények határértéke és folytonossága
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Összetett függvény, inverz függvény
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- Számrendszerek
- Elsőfokú függvények
- Feladatok függvényekkel
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Halmazok
- Másodfokú egyenletek
- Százalékszámítás
- Vektorok
Százalékszámítás
Százalékalap
A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú.
A százalékszámítás lényege, hogy
Százalékalap $\cdot $ Százalékláb $=$ Százalékérték
A példánkban a 20 fős ösztály 40%-a lány, vagyis:
20 $\cdot $ 40% $=$ 8
A százaléklábat, vagyis a 16%-ot pedig a számolás közben úgy kell kezelni, mint századrész, tehát 40%=0,4.
Százalékláb
A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.
A százalékszámítás lényege, hogy
Százalékalap $\cdot $ Százalékláb $=$ Százalékérték
Százalékérték
A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.
A százalékszámítás lényege, hogy
Százalékalap $\cdot $ Százalékláb $=$ Százalékérték
A százalékszámítás lényege
A százalékszámítás lényeg nagyon röviden annyi, hogy a százalék valójában azt jelenti, hogy századrész. Például valaminek a 16%-a:
$\frac{16}{100} =$ 16%
Hogyha mondjuk egy osztályba 25-en járnak és közülük 16% lány, akkor az mindössze ezt jelenti, hogy
25 $\cdot $ $\frac{16}{100} =$ Lányok száma
Ezt már nagyon egyszerű kiszámolni, és az jön ki, hogy 4, vagyis a 25-nek a 16%-a 4.
Itt a 25 a százalékalap, a 16% pedig a százalékláb és az eredményül kapott 4 pedig a százalékérték. De igazából nem is az a lényeg, hogy melyiket hogyan hívjuk, hanem az, hogy ilyen egyszerűen tudunk a százalékokkal számolni.
A százalékszmítás feladatok rendszerint úgy működnek, hogy a három szereplőből, vagyis a százalékalapból, a százaléklábból és a százalékértékből kettőt ismerünk és a harmadikat ki kell számolni.
A százalékalap kiszámolása
A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.
Százalékalap $= \frac{\text{Százalékérték}}{\text{Százalékláb}} $
A százalékláb kiszámolása
A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.
Százalékláb $= \frac{\text{Százalékérték}}{\text{Százalékalap}} $
Érdemes megjegyezni, hogy a százalékalap, amivel osztani kell mindig nak/nek birtokos jelzővel van ellátva a feladatokban.
Százalékos emelés és csökkentés
Ha valaminek az értékét 20%-kal csökkentjük, akkor $100\%-20\%=80\%=\frac{80}{100}=0,8$-cal kell szorozni.
Ha valaminek az értékét 20%-kal növeljük, akkor $100\%+20\%=120\%=\frac{120}{100}=1,2$-vel kell szorozni.
a) Egy osztályban a diákok 16%-ának megy a százalékszámítás. Számoljuk ki, hogy hány diáknak megy, ha összesen 25-en vannak.
b) Egy telefon eredetileg 380 ezerbe került, de most akciósan 20%-kal olcsóbb. Számoljuk ki, hogy mennyit spóroltunk.
c) Egy másik telefon 290 ezerbe kerül, de most 30%-kal olcsóbb. Mennyit spóroltunk ezen?
d) Egy tábla csoki csomagolására az van írva, hogy 78%-os kakaótartalom. Hány gramm kakaó van egy 150 grammos táblában?
e) Egy nadrág ára 25ezer, és az árát 16%-kal csökkentették. Mennyivel kerül kevesebbe?
a) Itt egy telefon, ami eredetileg 300 ezerbe kerül, de most akciósan 20%-kal olcsóbb. Számoljuk ki, hogy mennyit spórolunk.
b) Egy másik telefonra 20%-os kedvezményt kapunk, és így 70 ezer forintot spórolunk az eredeti árhoz képest. Mennyi az eredeti ár?
c) Egy nadrág árát 16%-kal csökkentették, és így 3200 forinttal olcsóbb lett. Mennyibe került eredetileg?
d) Egy osztályban a tanulók 56%-a lány. Hányan járnak az osztályba, ha a lányok 14-en vannak?
e) Egy csokigyárban 78%-os kakaótartalmú csokikat gyártanak. 117 kg kakaó hány tábla 100 grammos csoki elkészítéséhez elég?
a) Egy osztályba 12 lány jár, és 18 fiú. Számoljuk ki, hogy az osztálynak hány százaléka lány.
b) Egy osztályba 12 lány jár, és 18 fiú. Számoljuk ki, hogy a fiúk száma hány százaléka a lányok számának.
c) Egy osztályba 12 lány jár, és 18 fiú. A lányok száma hány százaléka a fiúk számának?
d) Németorszában 80 millióan laknak, Olaszországban pedig 60 millióan. Számoljuk ki, hogy Németország népessége hány százaléka Olaszország népességének.
e) Németorszában 80 millióan laknak, Olaszországban 60 millióan, Spanyolországban pedig 48 millióan. Számoljuk ki, hogy a spanyolok népessége hány százaléka a német és az olasz népességnek.
a) Egy vonaton összesen 500 ülőhely van. A vonat hány százaléka foglalt, ha 410-en utaznak rajta? Az ülőhelyek hány százaléka szabad?
b) A vonat öt kocsiból áll és a kocsik zsúfoltságát minden kocsiban egy foglaltságjelző képernyő mutatja. Az egy emberke azt jelenti, hogy a kocsiban maximum a helyek hamara foglalt. A két emberke azt jelzi, hogy egyharmad és kétharmad között van a foglaltság. A három emberke pedig azt jelenti, hogy kétharmadnál is több hely foglalt. A vonat első és utolsó kocsijában 70 férőhely van, a többi kocsiban pedig 120. Mit mutatnak a foglaltságot jelző képernyők, ha az első kocsiban 42-en, a másodikban 48-an, a harmadikban 84-en, a negyedikben 96-an és az ötödikben 21-en utaznak?
c) A vonatra kétféle jegyet árulnak. Az első osztályú jegy 64 euróba, a másodosztályú jegy pedig 40 euróba kerül. Hány százalékkal drágább az első osztályú jegy?
d) Egy osztályba 16 lány jár, és 20 fiú. Számoljuk ki, hogy hány százalékkal több a fiú, mint a lány.
a) Egy telefon eredetileg 380 ezerbe kerül, de most akciósan 20%-kal olcsóbb. Számoljuk ki, hogy mennyibe kerül a telefon akciósan.
b) Egy nadrág ára eredetileg 28 ezer. Az árat 12%-kal emelik, aztán egy héttel később akciósan 20%-kal csökkentik. Mennyi az akciós ár?
c) Egy telefon árát 8%-kal csökkentették, és az új akciós ár 299 ezer forint. Mennyi volt az eredeti ár?
d) Egy nadrág árát 30%-kal csökkentették, majd az új árat 12%-kal emelték és így 15 680 forintba kerül. Mennyi volt az eredeti ár?
a) Egy vonaton 500 férőhely van, és a helyek 15%-a üres. A következő állomáson az utasok 32%-a leszáll. Hányan szállnak le?
b) Egy másik vonatról az utasok 16%-a szállt le egy állomáson, és a leszálló utasok 25%-a utazott tovább busszal. Ez 14 ember. Hány utas volt a vonaton?
c) És itt jön egy harmadik vonat is, amiről az utasok 24%-a szállt le, és a leszálló utasok 25%-a utazik tovább busszal, ami 27 ember. Hányan maradtak a vonaton?
d) Egy futóversenyen a versenyzők legjobb 35%-a bejut a második fordulóba, ahol a leggyorsabb 25% kap jutalmat. Ez 49 ember. Hányan indultak a futóversenyen?
e) Egy másik futóversenyen a versenyzők 85%-a nem jut tovább az első fordulón. Akik továbbjutnak, közülük 8% jut be a döntőbe. Hányan indultak a versenyen, ha a döntőben 12-en versenyeztek?
a) Egy autó ára az egyik hónapban 6%-kal emelkedik, aztán a következő hónapban 15%-kal csökken és így 36 040 dollárba kerül. Mennyi volt az ára eredetileg?
b) Egy lakás értéke három egymást követő évben úgy alakul, hogy az első évben 7%-kal, a második évben 5%-kal nő, a harmadik évben pedig 2%-kal csökken. Hány százalékos volt a változás a három év alatt együttesen?
c) Egy autó 20 000 dollárba kerül ÁFA nélkül. Az egyik országban 12%-os az ÁFA, a másik országban pedig 27%-os. Mennyibe kerül az autó ezekben az országokban az ÁFÁ-val együtt?
d) Egy másik autó 37 800 dollárba kerül és az ár 8% ÁFA-t tartalmaz. Mennyibe kerül ugyanez az autó egy másik országban, ha a nettó ár ugyanakkora, de az ÁFA ott 12%?
a) Egy acélgyár 685 dolláros tonnánkénti áron adja el a hengerelt acélt. Az acél alapanyaga vasérc, melyet az üzem tonnánkénti 76 dolláros áron tud beszerezni és átlagosan 56% acél nyerhető ki belőle. Mekkora nyeresége van az üzemnek 1 tonna hengerelt acélon, ha a tonnánkéntni üzemköltség az eladási ár 60%-a?
b) Az emeletes vonat alsó szintjén 186-an, a felső szinten 240-en utaznak. Hány százalékkal vannak kevesebben az alsó szinten, mint a felsőn?
c) Egy téglalap oldalai 10 és 20 centiméteresek. Mindegyik oldalát 30%-kal növeljük.
i) Hány centiméterrel lesz nagyobb a megnövelt téglalap kerülete?
ii) Hány négyzetcentiméterrel lesz nagyobb a megnövelt téglalap területe?
a) Anna minden reggel futni jár. 10 perc alatt 1,2 km-t tett meg, és ez a szokásos távjának 40%-a. Mennyit szokott futni reggelente Anna?
b) Bence a szüleitől kapott 25 000 Ft-ot. Az első héten elköltötte ennek a 40%-át, majd a második héten a maradék 30%-át. Mennyi pénze maradt Bencének ebből a 25 000 Ft-ból?
c) Egy telefon árát 30%-kal csökkentették, majd 20%-kal megemelték. Hány százalékkal változott a telefon ára az eredeti árhoz képest?
d) Egy koncertjegy ára 5000 Ft, amit az utolsó napokban 30%-kal megemeltek. Mennyibe kerül az emelés után?
Egy osztályban a diákok 12,5%-ának megy a százalékszámítás. Számoljuk ki, hogy hány diáknak megy, ha összesen 32-en vannak.
A százalékszámítás lényege ez:
Bármilyen százalékot lazán át tudunk írni tizedes törtre.
Csak elosztjuk 100-zal, és kész is.
A 32-nek pedig úgy számoljuk ki a 12,5%-át, hogy egyszerűen megszorozzuk vele.
32-en járnak, és 3 emberből 4-nek általában gondjai vannak a százalékszámítással.
Az egész ilyen könnyű…
Ezt a számot itt százalékalapnak nevezzük.
SZÁZALÉKALAP
De hívhatjuk akár Bobnak is, ha ez a név szimpatikusabb…
Úgysem az a lényeg, hogyan hívjuk, hanem az, hogy meg tudjunk oldani feladatokat.
Magát a százalékot úgy hívják, hogy százalékláb…
SZÁZALÉKLÁB
De, hogy miért éppen láb?
Ki tudja…
És a végeredmény a százalékérték.
SZÁZALÉKÉRTÉK
A négy matekzseni.
De az egészből nem ezt kell megjegyezni.
A lényeg most jön.
Itt egy telefon, ami eredetileg 340 ezerbe kerül…
De most akciósan 20%-kal olcsóbb.
Számoljuk ki, hogy mennyit spórolunk.
A teljes árnak kell a 20%-a.
Csak beszorozzuk vele, és kész is.
Úgy tűnik, hogy 76 ezret spórolunk a 20%-os akción.
Itt egy másik telefon is, ami 290 ezerbe kerül, de most 30%-kal olcsóbb? Mennyit spórolunk ezen?
Lássuk, mennyi az ár 30%-a…
Itt úgy néz ki, hogy 87 ezret spórolunk.
Egy tábla csoki csomagolására az van írva, hogy 78%-os kakaótartalom.
Hány gramm kakaó van egy 100 grammos táblában?
A 150 grammnak kell a 78%-a.
A 150 grammos táblában 117 gramm kakaó van.
Egy nadrág ára 25 ezer, és az árát 16%-kal csökkentették. Mennyivel kerül kevesebbe?
Nézzük, mennyi az ár 16%-a…
Úgy tűnik, hogy 4 ezret spórolunk a 16%-os akción.
Az eredeti ár x…
És ennek a 16%-a a 3200
Úgy tűnik, hogy 76 ezret spórolunk a 20%-os akción.
Itt egy telefon, ami eredetileg 350 ezerbe kerül…
De most akciósan 20%-kal olcsóbb.
Számoljuk ki, hogy mennyit spórolunk.
A 350 ezernek kell a 20%-a:
Úgy tűnik, hogy 70 ezret spórolunk a 20%-os akción.
És most lépjünk a következő szintre, ahol az árleszállítások mesterévé válhatunk…
Annyit tudunk, hogy a 20%-os kedvezménnyel 70 ezer forintot spórolhatunk ennek a telefonnak az árából.
Mennyi az eredeti ár?
Itt most valahogy fordítva van a kérdés, mint eddig.
Eddig az volt a kérdés, hogy mennyi kedvezmény…
Most meg az a kérdés, hogy mennyi az eredeti ár.
Ez tényleg fordítva van…
Hát, így hirtelen fogalmunk sincs, hogy mennyi az ár.
Úgyhogy akkor x.
Eredeti ár = x.
És ennek a 20%-a a 70 ezer:
Hát, így kell kiszámolni, hogy melyik számnak a 20%-a a 70 ezer.
A 350 ezernek.
Nézzünk meg még egyet…
Egy nadrág árát 16%-kal csökkentették, és így 3200 forinttal olcsóbb lett. Mennyibe került eredetileg?
Az eredeti ár x…
És ennek a 16%-a a 3200
A kérdés, hogy mennyi az x, vagyis melyik számnak a 16%-a a 3200.
Most fog kiderülni:
A nadrág eredeti ára 20 ezer forint volt.
Egy osztályban a tanulók 56%-a lány. Hányan járnak az osztályba, ha a lányok 14-en vannak?
Hát, így elsőre fogalmunk sincs, hogy hányan járnak az osztályba…
Úgyhogy akkor x.
Ennek az 56%-a a 14 darab lány:
Úgy néz ki, hogy 25-en járnak az osztályba.
És most lássunk valami nehezebbet…
Egy csokigyárban 78%-os kakaótartalmú csokikat gyártanak. 117 kg kakaó hány tábla 100 grammos csoki elkészítéséhez elég?
Ez már egy trükkösebb feladat, mint az eddigiek…
Kezdjük azzal, hogy hány kiló csoki készíthető összesen 120 kg kakaóból.
Hát, ezt nem tudjuk, úgyhogy x kiló…
És ennek az x kiló csokinak a 78%-a a 120 kg.
Eddig ott tartunk, hogy összesen van 150 kiló csokink…
És ebből csinálunk 100 grammos táblákat.
A csokitáblák száma pedig…
100 gramm csokiból 1 tábla csoki lesz…
200 gramm csokiból 2 tábla…
1000 gramm csokiból 10 tábla…
150000 gramm csokiból 1500 tábla.
Egy osztályba 12 lány jár, és 18 fiú.
Számoljuk ki, hogy az osztálynak hány százaléka lány?
Ezzel el is érkeztünk a százalékszámítás legnehezebb részéhez.
Amikor magát a százalékot kell kiszámolni.
Ezt hívják egyébként százaléklábnak.
De lábak nélkül is ugyanúgy kell számolni.
Ha 12 lány van és 18 fiú, akkor az osztályba összesen 30-an járnak.
Eddig jó.
És a kérdés, hogy ennek hány százaléka a 12 darab lány.
A százalékszámítás legfontosabb alapszabálya, hogy nyelvtanból tudni kell, mi az a birtokos jelző…
De a birtokos jelző csak ennyi: nak/nek
És mindig azzal osztunk, ami a nak/nek.
Hogyha az a kérdés, hogy az osztály(nak/nek) hány százaléka lány:
Ha az lenne a kérdés, hogy az osztály(nak/nek) hány százaléka fiú…
De az izgalmak csak most jönnek…
Számoljuk ki, hogy a fiúk száma hány százaléka a lányok számának.
Jön a nyelvtani elemzés…
És most nézzük, a lányok száma hány százaléka a fiúk számának.
Hát igen, ez egy végtelen tizedes tört.
Ilyenkor a vessző után négy számjegyet szokás kiírni…
Az utolsó számjegyet kerekítve.
Ez is megvan.
És végre a nyelvtannak is vesszük valami hasznát…
Németországban 84 millióan laknak.
Olaszországban pedig 60 millióan.
Számoljuk ki, hogy Németország népessége hány százaléka Olaszország népességének.
Ami biztos, hogy az olaszokkal osztunk…
A német népesség az olasz 140%-a.
Nézzük meg azt is, hogy az olasz népesség a németnek hány százaléka.
A spanyolok csak 48 millióan vannak…
Számoljuk ki, hogy a spanyolok népessége hány százaléka a német és az olasz népességnek.
A spanyol népesség a németnek az 57,14%-a és az olasznak a 80%-a.
Egy vonaton összesen 500 ülőhely van. A vonat hány százaléka foglalt, ha 410-en utaznak rajta? Az ülőhelyek hány százaléka szabad?
Újabb nyelvtani zsonglőrködés következik.
Jön a néma „nak”…
Hogyha kicsit átírjuk a kérdést:
Egy vonaton 500 hely van. A vonatnak hány százaléka foglalt, ha 410-en utaznak rajta?
A szabály az volt, hogy mindig azzal osztunk, ami a nak/nek.
A másik kérdés az volt, hogy az ülőhelyek hány százaléka szabad.
Az összes ülőhely a 100%, ezért, ha 82% foglalt…
Az ülőhelyek 18%-a szabad.
A vonat öt kocsiból áll és a kocsik zsúfoltságát minden kocsiban egy foglaltságot jelző képernyő mutatja.
Az egy emberke azt jelenti, hogy a kocsiban a helyek harmada foglalt.
A két emberke azt jelenti, hogy egyharmad és kétharmad között van a foglaltság.
A három emberke pedig azt jelenti, hogy kétharmadnál is több hely foglalt.
A vonat első és utolsó kocsijában 70 férőhely van, a többi kocsiban pedig 120. Mit mutatnak a foglaltságot jelző képernyők, ha az első kocsiban 42-en, a másodikban 54-en, a harmadikban 84-en, a negyedikben 96-an és az ötödikben 21-en utaznak?
Nézzük meg egyesével, hogy hány százalékos a foglaltság a kocsikban.
Elérkezett az idő, hogy a nak/nek-szabály mellett egy új szabályt is megjegyezzünk.
Az új szabály így szól, hogy mindig azzal osztunk, ami a 100%.
Az első kocsiban a 100% a 70 darab férőhely.
A második kocsiban 120 férőhely van, tehát itt ez lesz a 100%.
A jelek szerint az ülőhelyek 82%-a foglalt.
A harmadik kocsiban is 120 férőhely van…
A negyedik kocsiban is 120 férőhely van…
És az utolsó kocsiban csak 70 férőhely van.
Végül számoljuk ki azt is, hogy a teljes vonatnak hány százaléka foglalt.
Most a teljes vonat lesz a 100%, vagyis az 500 férőhely…
És a foglalt helyek száma pedig…
Vagyis az ülőhelyek 58,2%-a foglalt.
A vonatra kétféle jegyet árulnak. Az első osztályú jegy 64 euróba, egy másodosztályú jegy pedig 40 euróba kerül. Hány százalékkal drágább az első osztályú jegy?
Jöhet a nak/nek-szabály…
Nem túl jó hír, hogy az egyetlen nak/nek a szövegben ez.
Hát, ennyit erről. Nézzük akkor ezt a másik szabályt, hogy mindig azzal osztunk ami a 100%.
Ha az a kérdés, hogy…
Akkor nyilván nem ez lesz a 100%...
Hiszen ez majd valahány százalékkal több lesz.
Ha pedig nem az első osztályú jegy a 100%, akkor…
Mindig azzal osztunk, ami a 100%...
Ennyivel drágább az első osztályú jegy.
Vagyis az első osztályú jegy 60%-kal drágább, mint a másodosztályú.
Egy osztályba 16 lány jár, és 20 fiú.
Számoljuk ki, hogy hány százalékkal több a fiú, mint a lány.
Kezdjük a nyelvtani elemzéssel…
Nak/nek az sajna nincsen…
Úgyhogy jön a B-terv…
Mindig azzal osztunk, ami a 100%...
Úgy néz ki, hogy nem a fiúk a 100%-osak.
Hát, akkor a lányok…
25%-kal több a fiú, mint a lány.
Nézzük meg fordítva is.
Hány százalékkal kevesebb a lány, mint a fiú?
Most nem a lányok lesznek a 100%, hanem a fiúk.
És mindig azzal osztunk, ami a 100%.
Úgy néz ki, hogy 20%-kal kevesebb a lány.
Épp a telefonok áránál tartottunk…
És addig jutottunk, hogyha egy telefon ára mondjuk 300 ezer…
És az árat 20%-kal csökkentjük, akkor lazán beszorozzuk ezzel…
És kész is.
Megvan az új ár.
A dolog ugyanilyen egyszerű akkor is, ha az árat például 15%-kal emeljük:
És most nézzünk valami érdekesebbet.
Egy telefon árát 18%-kal csökkentették, és az új ár 290 ezer forint. Mennyi volt az eredeti ár?
Hát így elsőre fogalmunk sincs, úgyhogy jelöljük x-el…
Eredeti ár = x forint.
Most jön az akció:
Az akciós árat úgy kapjuk…
Hogy az eredeti árat beszorozzuk 0,92-vel:
És most jó lenne tudni, hogy mennyi az x…
Egy vonaton 500 férőhely van, és a helyek 15%-a üres. A következő állomáson az utasok 32%-a leszáll. Hányan szállnak le?
Menjünk szépen sorban…
Kezdjük azzal, hogy egyáltalán hányan utaznak a vonaton.
A helyek 15%-a üres:
Az utasok száma:
Ezeknek a 32%-a száll le:
Egy másik vonatról az utasok 16%-a szállt le egy állomáson, és a leszálló utasok 25%-a továbbutazott. Ez 14 ember. Hány utas volt a vonaton?
Hát, így hirtelen fogalmunk sincs, úgyhogy akkor x.
A vonaton x darab utas volt.
Jó lenne tudni, hogy mennyi az x.
Azt tudjuk, hogy az x darab utas 16%-a szállt le:
És a 25%-uk utazott tovább busszal, ami 14 ember.
A vonaton 350-en utaztak.
És itt jön egy harmadik vonat is, amiről az utasok 24%-a száll le, és a leszálló utasok 25%-a utazik tovább busszal, ami 27 ember. Hányan maradtak fönt a vonaton?
Ez egy kicsit trükkösebb feladat, mint az előző…
Fogalmunk sincs, hogy hányan maradtak a vonaton, úgyhogy legyen x.
De ezzel az a baj, hogy a feladatban szereplő százalékok nem a vonaton maradt utasokról szólnak.
Ez a 24% a vonaton utazó összes utas 24%-a.
Így hát jobban járunk, ha a vonaton utazó összes utas az x.
Az összes utas 24%-a száll le…
És ezeknek a 25%-a utazik busszal, ami 27 ember.
Összesen 450-en utaztak a vonaton.
De nem ez volt a kérdés…
A kérdés az volt, hogy hány százalékuk marad fent.
24% száll le, tehát aki fent marad:
342-en maradtak fönt a vonaton.
Egy futóversenyen a versenyzők legjobb 35%-a bejut a második fordulóba, ahol a leggyorsabb 25% kap jutalmat. Ez 49 ember. Hányan indultak a futóversenyen?
Készítsünk egy rajzot, mert az segíteni szokott…
Itt vannak a versenyzők…
És nem tudjuk, mennyien vannak, úgyhogy akkor x.
És közülük a leggyorsabb 25% kap jutalmat…
És ez 49 darab ember.
Úgy tűnik, hogy 560-an indultak a futóversenyen.
Egy másik futóversenyen a versenyzők 85%-a nem jut tovább az első fordulón. Akik továbbjutnak, közülük a 8% jut be a döntőbe. Hányan indultak a versenyen, ha a döntőben 12-en versenyeztek?
A versenyzők 85%-a nem jut tovább…
De a világ a győzteseké…
És közülük 8% jut be a döntőbe…
Azt nem tudjuk, hogy mennyibe került a lakás eredetileg…
Sőt azt se, hogy mennyibe került három évvel később.
És ezeket soha nem is fogjuk megtudni.
A kérdés nem is erről szól, hanem arról, hogy hány százalék volt a változás.
Az első évben a változás 7%-os növekedés:
A második évben a változás 5%-os növekedés:
És a harmadik évben 2%-os csökkenés:
A változás a három év alatt ezeknek a szorzata:
A lakás ára 10,103%-kal nőtt.
Az ÁFA úgy működik, hogy van egy eredeti ár, amennyibe az autó, vagy bármilyen termék kerül, és amikor eladják, az állam is akar a haszonból.
Az eredeti árat nettó árnak nevezzük, ez most a 20 ezer dollár.
Ennyibe kerülne az autó, ha az állam nem követelné a vásárlás után a neki járó jussát.
A nettó árból úgy lesz bruttó ár, hogy a vásárlás után az állam is kéri a maga százalékát.
