- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram (box plot)
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Valószínűségszámítás (15,3 pont)
- Térgeometria (12,5 pont)
- Kombinatorika (11,9 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
- Statisztika (7,3 pont)
- Az integrálás (7,1 pont)
- Szöveges feladatok (6,1 pont)
- Koordinátageometria (5,1 pont)
- Gráfok (4,8 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Síkgeometria (4,1 pont)
- Számelmélet (3,9 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
- Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
- Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Függvények érintője
- Trigonometria
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Függvények határértéke és folytonossága
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Összetett függvény, inverz függvény
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- Számrendszerek
- Elsőfokú függvények
- Feladatok függvényekkel
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Halmazok
- Másodfokú egyenletek
- Százalékszámítás
- Vektorok
Koordinátageometria (5,1 pont)
Szerezd meg a hiányzó tudást
2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
Egyenes normálvektora
A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.
Egyenes irányvektora
Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.
Az egyenes egyenlete
Az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú és a $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő $e$ egyenes egyenlete:
\( e: A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 \)
Pont és egyenes távolsága a koordinátarendszerben
Egy $P$ pontnak az $\underline{n}(A,B)$ normálvektorú $e$ egyenestől mért távolsága:
\( d(P, e) = \bigm| \frac{ e(P)}{ \sqrt{A^2+B^2} } \bigm| \)
Itt $e(P)$ azt jelenti, hogy a $P$ pont koordinátáit behelyettesítjük az $e$ egyenes egyenletébe.
Kör egyenlete
$C(u,v)$ középpontú és $r$ sugarú kör egyenlete:
\( (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 \)
Parabola
A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy $v$ egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő $F$ ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.
A fókusz és a vezéregyenes távolságát hívjuk a parabola paraméterének.
Parabola egyenlete
A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy $v$ egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő $F$ ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak. A fókusz és a vezéregyenes távolságát hívjuk a parabola paraméterének. A fókuszbúl a vezéregyenesre bocsátott merőleges felezőpontja a parabola "csúcspontja" amit tegelypontnak szokás nevezni.
A $T(u,v)$ tengelypontú és $p$ paraméterű parabola egyenlete:
\( y = \frac{1}{2p} (x-u)^2 + v \)
Elforgatott parabola egyenletek
A parabola egyenlete, ha $p$ a paramétere...
és tengelye az $y$ tengely:
\( y = \frac{1}{2p} x^2 \qquad y= -\frac{1}{2p} x^2 \)
és tengelye az $x$ tengely:
\( x = \frac{1}{2p}y^2 \qquad x= -\frac{1}{2p} y^2 \)
Van két pont a koordináta-rendszerben: $A(2,4)$ és $B(5,2)$.
a) Mik az $\vec{AB}$ vektor koordinátái?
b) $\underline{a}+\underline{b}=?$
c) Mi az $AB$ szakasz felezőpontja?
d) $\underline{a}$ vektor hossza?
e) $\vec{AB}$ vektor hossza?
f) $AB$ szakasz hossza?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.
c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:
\( e_1: 3x+4y=10 \)
\( e_2: 6x+y=13 \)
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.
b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.
a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 $
b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x+1)^2+(y-2)^2=9$ és döntsük el, hogy a $P(1,5)$ és a $Q(2,2)$ pontok a körhöz képest hol helyezkednek el.
a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelye az \( y \) tengely, tengelypontja az origó és fókusza az \( F(0,3) \) pont.
b) Írjuk fel annak a parabolának az egyenletét, melynek paramétere 2, és tengelypontja T(3,-1). Adjuk meg a fókuszpontjának koordinátáit és vezéregyenesének egyenletét.
Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.
Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.
Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?
Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?
Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.
Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.
Adott az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.
a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!
b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!
c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!
Adott az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.
c) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.
d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?
b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.
c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.
Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.
Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.
Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,0)$, valamint a $Q(-1,2)$ ponton és középpontja az $x-y+2=0$ egyenletű egyenesen van.
Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.
Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.
Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.
Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.
Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.
Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.
a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye vízszintes, és \( x=3 \) a vezéregyenese.
b) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye függőleges, és átmegy a \( P(4,-2) \) ponton.
a) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja a \( T(3,4) \) pont, és átmegy a \( P(9,10) \) ponton.
b) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű, felfelé nyitott parabolának az egyenletét, melynek fókuszpontja \( F(3,1) \), és átmegy a \( P(-1,4) \) ponton.
c) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=2 \), és fókuszpontja \( F(1,8) \).
d) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=1 \), és tengelypontja \( T(3,5) \).
Az \( f(x)=x^2-12x+27 \) függvény grafikonja a derékszögű koordinátarendszerben parabola.
a) Számítsuk ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit.
b) Írjuk fel a parabolához az \( E(5,-8) \) pontjában húzott érintő egyenletét!
Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek egy pontja a \( P(1,-1) \), vezéregyenese \( y=-3 \) és a fókuszpontja rajta van az \( y=2x+1 \) egyenletű egyenesen.
Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy az \( A(-2,3) \), \( B(4,0) \) és \( C(8,8) \) pontokon, és tengelye az \( y \) tengellyel párhuzamos.
Egy felújításra váró függőhíd két támpillérének távolsága PV=200 m. A fő tartókábel alakja egy olyan parabolának az íve, melynek a tengelypontja a PV felezőpontja, tengelye pedig a PV felezőmerőlegese. A kábel tartópillérének legnagyobb magassága PQ=16 m, a felújításhoz PS=50 m széles védőhálót feszítenek ki. A tervek szerint a háló a QR íven felfüggesztett PQRS területet fedi majd be. Hány \(m^2 \) területű háló kell, ha a rögzítések miatt 8% veszteséggel kell számolnunk?
Számítsuk ki az alább látható, két egybevágó parabolaív alatti területet. A parabolák tengelye párhuzamos az \( AB \) szakasz szakaszfelezőmerőlegesével. Az \(AB= 8 m\), \(FC=6 m \), \(DE=2,5 m \).
