Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy háromszögben \( a=12 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a körülírt kör sugara?

b) Egy másik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \) és \( \alpha = 50° \). Mekkora a \( c \) oldal?

c) Egy harmadik háromszögben \( a=8 \), \( b=13 \) és \( \beta= 60° \). Mekkora a \( c \) oldal?

d) És végül egy negyedik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \), \( c= 8 \) és \( \gamma = 37° \). Mekkorák a háromszög szögei?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkorák az \( AB \) oldal és a háromszög területe?

b) Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a szemben levő szög 60°. A másik két oldal összege 8 cm. Mekkora a másik két oldal és a háromszög területe?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=16 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkora az \( AB \) oldal és a háromszög területe?

b) Egy másik háromszögben \( a=16 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a háromszög területe?

c) És itt jön végül ez a harmadik háromszög, amiben a három oldal \( a=10 \), \( b=12 \) és \( c=16 \). Mekkorák a háromszög szögei és a háromszög területe?

Egy háromszög egyik oldala 6 cm, a másik két oldal különbsége 4 cm, és a 6 cm-es oldallal szemközti szög 75°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?

Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \). Az \( AB \) oldal hossza 36, a \( CC_1 \) szakaszé 24, továbbá a \( C_1CB \) szög 40°-os

a) Mekkora a háromszög \( B \) csúcsnál lévő belső szög?

b) Mekkora a \( BC \) oldal hossza?

c) Mekkora a háromszög területe?

Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú. Az ezzel az oldallal szemközti szög 28,96°. A másik két oldal négyzetének összege 625 \( cm^2 \). Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?

a) Egy háromszög három oldala $a=5$, $b=6$ és $c=10$.

Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

b) Egy háromszög három oldala $a=6$, $b=8$ és $c=12$.

Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

Egy háromszög szögei: ABC szög 50°-os, BCA szög 60°-os, CAB szög 70°-os, és BC=5.

a) Mekkora a háromszög területe?

b) Mekkora a köré írható kör sugara?

Egy toronyantennához 230 m egyenes út vezet, melynek emelkedése 21°. Az út elejéről az út síkjához képest az antenna csúcsa 39° szögben látszik. Milyen magas az antenna?

Egy hegymászó a hegyoldal valamely pontjából a tőle 1657 m távolságban levő hegycsúcsot 23° emelkedési szögben s ugyanennek a hegycsúcsnak a tükörképét az alatta elterülő tó tükrében 49°-os depressziószög alatt látja. Milyen magasan van a hegymászó, s milyen magasan van a hegycsúcs a tenger színe felett, ha a tó felszíne 608 m-nyire van a tenger színe felett?

Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és a \( BCA \) szög 40°-os. Mekkora az \( AB \) oldal? Legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \) és a \( BC \) oldal felezőpontja \( A_1 \). Mekkora az \( AC_1A_1C \) négyszög területe?

Egy derékszögű háromszögben \( \tan{\alpha}=\frac{3}{4} \), a háromszög területe pedig \( 24 cm^2 \).

a) Mekkorák a háromszög oldalai?

b) Mekkora a köré írható kör sugara?

Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( BC=5 \), \( CD=4 \), \( DA=5 \).

a) Számítsa ki a trapéz szögeit!

b) Határozza meg az \( ABC \) és \( ACD \) háromszögek területének arányát!

c) A trapéz belső szögeit egy-egy 5mm sugarú körívvel jelöljük be. Számítsa ki a négy körív hosszának összegét!

Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( CD=6 \), \( AD=7 \). Az \( A \) csúcsnál fekvő belső szög 70°-os.

a) Mekkora távolságra van a \( D \) pont az \( AB \) oldaltól?

b) Számítsa ki a négyszög \( AC \) átlójának hosszát!

Az \( E \) pont az \( AD \) és \( BC \) szárak egyenesének metszéspontja.

c) Számítsa ki az \( ED \) szakasz hosszát!

Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a másik két oldal összege 8 cm, és az 5 cm-es oldallal szemben lévő szög 60°. Mekkora a másik két szög, és a másik két ismeretlen oldal?

Az $ABCD$ húrnégyszögben $AB=20$, $BC=18$, az $ABC$ szög 70°-os, a $CAD$ szög 50°-os. Milyen hosszú a $CD$ oldal és mekkora a húrnégyszög területe?

Egy háromszög kerülete $598 \; cm$, $a=258 \; cm$, $\alpha = 98°33'$. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?