- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram (box plot)
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Valószínűségszámítás (15,3 pont)
- Térgeometria (12,5 pont)
- Kombinatorika (11,9 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
- Statisztika (7,3 pont)
- Az integrálás (7,1 pont)
- Szöveges feladatok (6,1 pont)
- Koordinátageometria (5,1 pont)
- Gráfok (4,8 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Síkgeometria (4,1 pont)
- Számelmélet (3,9 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
- Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
- Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Függvények érintője
- Trigonometria
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Függvények határértéke és folytonossága
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Összetett függvény, inverz függvény
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- Számrendszerek
- Elsőfokú függvények
- Feladatok függvényekkel
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Halmazok
- Másodfokú egyenletek
- Százalékszámítás
- Vektorok
Feladatok függvényekkel
Másodfokú függvény
Ha a másodfokú függvény hozzárendelési szabálya: $f_i = a_i \cdot x^2 + b_i$, akkor itt az $a_i$-t főegyütthatónak hívjuk és eléggé lényeges dolgok függnek tőle.
Hogyha $a$ negatív, akkor a függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola, ha pozitív, akkor felfelé nyíló. És minél nagyobb az $a$ szám, a parabola annál keskenyebb.
A $b$ az annyit tud, hogy hol metszi a függvény grafikonja az $y$ tengelyt.
Trigonometrikus függvények
Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.
Van itt ez a függvény: $f(x)=4x^2-23x-6 \; D_f: x>0$
Milyen számot rendel hozzá a 3-hoz?
Melyik az a szám, amihez a függvény a 21-et rendeli?
Mik a függvény zérushelyei?
Egy vasútvonalon az évenkénti utas-szám alakulását az $f(x)$ függvénnyel lehet közelíteni, ahol $x$ a 2010-től eltelt évek számát jelöli. (2011-ben $x=1$, 2012-ben $x=2$ stb.) Mennyivel növekedett 2016-tól 2020-ig az évenkénti utas-szám? Melyik évben lépi át az utasok évenkénti száma az 500 milliót?
\( f(x)=0,05x^2+0,43x+477 \; \text{millió utas} \qquad (x \geq 0) \)
a) Az a három pont, ahol az $f(x)=-x^2-x+12$ függvény grafikonja a koordinátarendszer tengelyeit metszi egy háromszöget határoz meg. Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
b) Egy másodfokú függvény az y tengelyt 4-ben metszi, és ezen kívül azt tudjuk, hogy az 5-höz 4-et rendel, a 6-hoz pedig 10-et. Adjuk meg a függvény zérushelyeit.
Egy magashegyi víztároló vízszintje, ahogy tavasszal olvadni kezd a hegyekben felhalmozódott hó, egyre jobban emelkedik. A vízszint alakulását évről évre jó közelítéssel az $f(x)$ függvény írja le méterben megadva, ahol $x$ az adott évből eltelt napok számát jelöli (január 1-én $x=1$).
\( f(x)=\frac{76}{1+0,96^{x-54} }+24 \qquad D_f: 1 \leq x \leq 200 \)
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=2 \sin{x} \)
b) \( f(x)=\sin{(2x)} \)
c) \( f(x)=\cos{(3x)} \)
d) \( f(x)=2\cos{(3x)} \)
e) \( f(x)=\frac{5}{3} \cos{\frac{x}{2}} \)
Ábrázoljuk az
$f(x)=\frac{5}{2} \cos{(4x)}$,
$f(x)=2\cos{ \left( \frac{x}{2} \right)}$,
$f(x)=\frac{1}{2} \cos{(3x)}+1$,
$f(x)=2\sin{ \frac{x}{2}}$
függvényeket.
Ábrázoljuk az
$f(x)=\frac{5}{2} \sin{(4x)}$,
$f(x)=\frac{3}{2}\sin{(4x)}+1$,
$f(x)=-2\sin{(4x)}$,
$f(x)=-\frac{3}{2}\sin{(-4x)}$,
$f(x)=\frac{1}{2}\cos{(-3x)}$
függvényeket.
Egy kutatás szerint a városokban az influenzával fertőzött betegek száma a
\( B(t)=\frac{L}{1 + \left( \frac{L}{B_0} -1 \right) \cdot 0,75^t } \)
formula szerint alakul. A képletben $t$ az influenzajárvány kezdetétől eltelt idő napokban kifejezve ($ 0 \leq t < 30$), $L$ a város lakóinak száma, $B_0$ pedig a járvány kezdetekor a fertőzött betegek száma a városban ($0<B_0<L$). Egy nagyvárosban $L=1,5$ millió, $B_0=1000$. A modell szerint hány fertőzött betegre lehet számítani ebben a városban a járvány kezdete után 5 nappal?
Van itt ez a függvény:
Milyen számot rendel hozzá a 3-hoz?
Melyik az a szám, amihez a függvény a 21-et rendeli?
Mik a függvény zérushelyei?
Kezdjük az első kérdéssel.
Így a rajz alapján úgy néz ki, hogy valami negatív számot fog hozzárendelni a függvény a 3-hoz.
De a rajz csak dekoráció…
Ha szeretnénk tudni, hogy mit rendel a függvény a 3-hoz…
egyszerűen csak be kell helyettesíteni az x helyére 3-at.
És kész is.
Most nézzük, melyik az a szám, amihez a függvény 21-et rendel.
Ilyenkor az x-et keressük, és a függvény egyenlő 21-gyel.
Megoldjuk itt ezt a kis egyenletet…
A két megoldás közül csak az egyik van benne az értelmezési tartományban.
Végül lássuk a zérushelyeket.
A zérushely azt mondja meg, hogy hol metszi a függvény grafikonja az x tengelyt.
És úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük a függvényt nullával...
Aztán megoldjuk ezt az egyenletet.
A függvény zérushelye a jelek szerint 6-ban van.
Egy vasútvonalon az évenkénti utas-szám alakulását az f(x) függvénnyel lehet közelíteni, ahol x a 2010-től eltelt évek számát jelöli. (2011-ben x=1, 2012-ben x=2 stb.) Mennyivel növekedett 2016-tól 2020-ig az évenkénti utas-szám? Melyik évben lépi át az utasok évenkénti száma az 500 milliót?
Nézzük, mekkora volt az utasok száma 2016-ban…
Ezt úgy kapjuk meg, ha x helyére 6-ot helyettesítünk a függvénybe.
Aztán itt jön 2020 is:
A növekedés pedig…
Most lássuk, hogy melyik évben lépi át az utasok évenkénti száma az 500 milliót.
Megnézzük, milyen x-ekre lesz nagyobb a függvényünk 500-nál…
Az ilyen egyenlőtlenségeknél az első lépés mindig az, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.
Hogyha ezzel megvagyunk, akkor innen már könnyű.
Először megoldjuk, mintha egyenlet lenne…
Ezeken a helyeken lesz nulla.
A kettő között negatív…
Ezt például úgy tudjuk kideríteni, hogy veszünk itt egy számot, mondjuk a nullát és behelyettesítjük.
A két szélén pedig pozitív.
Úgy néz ki, hogy az első olyan év, amikor 500 millió feletti az éves forgalom akkor van, amikor .
Tehát 2028-ban.
Az a három pont, ahol az függvény grafikonja a koordinátarendszer tengelyeit metszi egy háromszöget határoz meg. Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
Kezdjük azzal, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Ezt a legkönnyebb kiszámolni.
Egyszerűen csak be kell helyettesíteni x helyére nullát.
Most nézzük, hol metszi a grafikon az x tengelyt.
Ezt zérushelynek nevezzük, és úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük a függvényt nullával...
Aztán megoldjuk szépen ezt az egyenletet.
Hát, ennek a háromszögnek a területét kellene kiszámolnunk.
Egy másodfokú függvény az y tengelyt 4-ben metszi, és ezen kívül azt tudjuk, hogy az 5-höz 4-et rendel, a 6-hoz pedig 10-et. Adjuk meg a függvény zérushelyeit.
A másodfokú függvények általános alakja ez:
És itt c azt mondja meg, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt.
Most éppen 4-ben…
A függvény az 5-höz 4-et rendel…
A 6-hoz pedig 10-et.
És most jöhet a zérushely.
Ezt úgy kapjuk meg, hogy egyenlővé tesszük a függvényt nullával...
Aztán megoldjuk ezt az egyenletet.
A függvénynek két zérushelye van, 1-ben és 4-ben.
Most pedig nézzük, mire használhatnánk ezeket a lineáris függvényeket, jóra vagy rosszra…
Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, a 4-hez pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
A hozzárendelési szabály ez.
Hát, ezzel megvolnánk.
Itt jön aztán egy újabb izgalmas kérdés. Van ez a lineáris függvény:
És derítsük ki, hogy hol metszi a koordinátatengelyeket a függvény grafikonja.
Ha szeretnénk tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az x tengelyt, akkor y helyére kell nullát írni.
Ha pedig azt szeretnénk tudni, hogy hol metszi az y tengelyt, akkor x helyére.
Úgy tűnik, hogy ezek nem életünk legnehezebb egyenletei…
A metszéspontok x=2 és y=4.
A két pont alapján a függvény grafikonját is be tudjuk rajzolni.
Ezeknél nagyobb izgalmakra ne is számítsunk.
De azért itt jön egy újabb ügy.
Itt egy lineáris függvény, és számoljuk ki a meredekségét, valamint azt, hogy hol metszi a grafikonja a koordinátatengelyeket.
Kezdjük a metszéspontokkal.
Amikor az x tengelyt metszi, akkor y=0:
Amikor az y tengelyt metszi, akkor x=0:
A két pont alapján a grafikont is be tudjuk rajzolni.
És ebből a meredekséget is ki tudjuk deríteni.
De itt jön a meredekség kiszámolására egy rajzmentes módszer is:
Az emelt szintű érettségi sikeres teljesítéséhez ennyit bőven elég tudnod az integrálásról.
Hogyha azonban bővebben érdekel a téma, szeretnéd tudni, hogy mi az a parciális integrálás, hogyan működik a helyettesítéses integrálás, milyen magasabb szintű integrálási módszerek vannak, hogyan számolunk térfogatot és felszínt az integrálás segítségével, akkor az Analízis 1 tantárgyunkban egyetemi szintű feladatokkal folytathatod a tanulást.
Végül nézzünk meg egy utolsó kis történetet.
Van itt ez a lineáris függvény, amiről tudjuk, hogy a zérushelye x = 4 és az x = –2 helyen a függvény 3-at vesz föl.
A zérushely azt jelenti, hogy hol metszi a függvény az x tengelyt.
Hát itt.
Aztán van még ez is.
Ezek alapján be is rajzolhatjuk a függvény grafikonját.
A rajz alapján pedig…
Ha nem rajongunk a rajzokért…
akkor megoldhatjuk máshogy is.
A –2 helyen 3-at vesz föl…
És 4-ben pedig nullát.
Egy magashegyi víztároló vízszintje, ahogy tavasszal olvadni kezd a hegyekben felhalmozódott hó, egyre jobban emelkedik. A vízszint alakulását évről évre jó közelítéssel az f(x) függvény írja le méterben megadva, ahol x az adott évből eltelt napok számát jelöli (január 1-én x=1).
Milyen magasan áll a víz a víztárolóban február 6-án?
Mekkora a vízszint az év hetvenedik napján?
Az év hányadik napján áll 86,7 méter magasan a víz a víztárolóban?
Kezdjük a február 6-tal.
Úgy tűnik, hogy 37 nap telt már el az évből, vagyis x=37.
És a vízszint ezen a napon:
Most nézzük, mekkora a vízszint a hetvenedik napon…
Végül nézzük meg, hogy melyik napon lesz a vízszint 86,7 méter.
Most x-et keressük, és a függvény egyenlő 86,7-tel.
Ezt az egyenletet kell megoldanunk.
A kitevőből egy logaritmus segítségével tudjuk az x-et előcsalogatni…
A számológépeken log és ln biztosan van, így a kettő közül lenne jó valamelyik.
Ha nem tudunk dönteni, dobjunk fel egy érmét...
Ezúttal írás.
És van egy ilyen, hogy
A kilencvenkettedik napon áll 86,7 méter magasan a víz.
gy lineáris függvény a 2-höz 3-at, a 4-hez pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.
A hozzárendelési szabály ez.
Hát, ezzel megvolnánk.
Itt jön aztán egy újabb izgalmas kérdés. Van ez a lineáris függvény:
És derítsük ki, hogy hol metszi a koordinátatengelyeket a függvény grafikonja.
Ha szeretnénk tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az x tengelyt, akkor y helyére kell nullát írni.
Ha pedig azt szeretnénk tudni, hogy hol metszi az y tengelyt, akkor x helyére.
Úgy tűnik, hogy ezek nem életünk legnehezebb egyenletei…
A metszéspontok x=2 és y=4.
A két pont alapján a függvény grafikonját is be tudjuk rajzolni.
Ezeknél nagyobb izgalmakra ne is számítsunk.
De azért itt jön egy újabb ügy.
