- ÚJ! Geometriai valószínűség
- ÚJ! Gráfok izomorfiája
- ÚJ! Kvartilisek és dobozdiagram (box plot)
- ÚJ! Kamatos kamat, törlesztőjáradék, gyűjtőjáradék
- Valószínűségszámítás (15,3 pont)
- Térgeometria (12,5 pont)
- Kombinatorika (11,9 pont)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (11,2 pont)
- Számtani és mértani sorozatok (8,6 pont)
- Statisztika (7,3 pont)
- Az integrálás (7,1 pont)
- Szöveges feladatok (6,1 pont)
- Koordinátageometria (5,1 pont)
- Gráfok (4,8 pont)
- ***Vegyes emelt szintű feladatok***
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek (4,7 pont)
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek
- Síkgeometria (4,1 pont)
- Számelmélet (3,9 pont)
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek (3,5 pont)
- Középpontos hasonlóság (3,1 pont)
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (3,1 pont)
- Szinusztétel és koszinusztétel (2,7 pont)
- A várható érték (2,6 pont)
- Függvények ábrázolása (2,5 pont)
- Deriválás (1,9 pont)
- Függvények érintője
- Trigonometria
- Sorozatok monotonitása és korlátossága
- Sorozatok határértéke
- Függvények határértéke és folytonossága
- Algebra, nevezetes azonosságok
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- A teljes indukció
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Összetett függvény, inverz függvény
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- Számrendszerek
- Elsőfokú függvények
- Feladatok függvényekkel
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Halmazok
- Másodfokú egyenletek
- Százalékszámítás
- Vektorok
Az integrálás (7,1 pont)
Szerezd meg a hiányzó tudást
2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
Primitív függvény és határozatlan integrál
Az $f(x)$ függvény primitív függvényének jele $F(x)$ és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk $f(x)$-et, azaz
\( F'(x)=f(x) \)
Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
Alapintegrálok
\( \int x^n \; dx = \frac{ x^{n+1}}{n+1}+c \qquad n \neq -1 \)
\( \int \frac{1}{x} \; dx = \ln{ \mid x \mid} + c \)
\( \int e^x \; dx = e^x + c \)
\( \int a^x \; dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + c \)
\( \int \cos{x} \; dx = \sin{x} + c \)
\( \int \sin{x} \; dx = -\cos{x} + c \)
\( \int \frac{1}{\cos^2{x} } \; dx = \tan{x} + c \)
\( \int \frac{1}{\sin^2{x} } \; dx = - \cot{x} + c \)
\( \int \frac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan{x} + c \)
Alapintegrálok lineáris helyettesítései
\( \int (ax+b)^n \; dx = \frac{ (ax+b)^{n+1}}{n+1} \frac{1}{a}+c \)
\( \int \frac{1}{ax+b} \; dx = \ln{ \mid ax+b \mid}\frac{1}{a} + c \)
\( \int e^{ax+b} \; dx = e^{ax+b}\frac{1}{a} + c \)
\( \int A^{ax+b} \; dx = \frac{A^{ax+b}}{\ln{A}}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \cos{(ax+b)} \; dx = \sin{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \sin{(ax+b)} \; dx = -\cos{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{\cos^2{(ax+b)} } \; dx = \tan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{\sin^2{(ax+b)} } \; dx = - \cot{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
\( \int \frac{1}{1+(ax+b)^2} \; dx = \arctan{(ax+b)}\frac{1}{a} + c \)
Newton Leibniz formula
Ha $f(x)$ integrálható az $[a,b]$ intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a Newton Leibniz formula szerint a határozott integrálját a következőképp számolhatjuk ki:
\( \int_{a}^{b} f(x) \; dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b)-F(a) \)
Integrálási szabályok | S1
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
Integrálási szabályok | T1
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
\( \int \frac{ax+b}{cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d) + b - \frac{ad}{c} }{ cx+d} \; dx = \int \frac{ \frac{a}{c} (cx+d)}{cx+d} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \)
\( = \int \frac{a}{c} + \frac{E}{cx+d} \; dx = \frac{a}{c}x + E \ln{ \mid cx + d \mid} \frac{1}{c} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( f(x)=2x \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)
b) \( f(x)=x^2 \qquad F(x)=\int f(x) \; dx = \; ? \)
c) \( \int_{0}^{1} x^2 \; dx = ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int (4x+3)^7 \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{1}{6x+5} \; dx = \; ? \)
c) \( \int e^{-3x+7} \; dx = \; ? \)
d) \( \int 5^{2x+4} \; dx = \; ? \)
e) \( \int \cos{(12x+5)} \; dx = \; ? \)
f) \( \int \sin{(5x+9)} \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)
b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.
a) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.
b) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.
Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int \left(x^2+x\right) \left( x^3+x^2+1 \right) \; dx = \; ? \)
b) \( \int \sqrt{x^7} \left( x^3 + \frac{1}{x} \right) \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int \frac{x^3+x^2+1}{x} \; dx = \; ? \)
b) \( \int \frac{e^{-x}+x^3}{x^3 e^{-x}} \; dx = \; ? \)
c) \( \int \frac{x+6}{x+2} \; dx = \; ? \)
d) \( \int \frac{4x+5}{2x+3} \; dx = \; ? \)
e) \( \int \frac{x+4}{\sqrt{x+3}} \; dx = \; ? \)
f) \( \int \tan^2{x} \; dx = \; ? \)
Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:
\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)
Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx = 0$ teljesüljön!
Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény
aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.
Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:
f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.
A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.
Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.
Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.
Lássunk néhány példát.
Itt van mondjuk ez:
Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.
Ilyen függvény van, mégpedig az
Itt jön egy másik:
Olyan függvény is van, aminek deriváltja
Ha még emlékszünk rá
Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az
függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.
lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,
de elég annyit megjegyezni, hogy
Végül lássunk még egyet:
Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?
Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.
És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de
Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.
Sőt itt is, meg itt is.
Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.
A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.
Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor
ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t
Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.
Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.
Számoljuk ki például az
görbe alatti területét 0 és 1 között.
Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.
Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.
A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.
Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.
Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.
A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.
A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.
A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.
Itt van mindjárt az xn
Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.
Kis probléma van ugyan, ha
De éppen itt jön a megoldás.
Aztán végre egy biztos pont az életünkben.
A lista elég hosszú lesz.
És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.
Itt az egyik:
de
És itt a másik:
Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon
Logikusnak tűnik, hogy
De sajnos van egy kis gond:
Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.
Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.
Mondjuk ezen lehet segíteni.
Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel
akkor az integrálásnál szorozni kell -val
Vegyük például ezt:
Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.
Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.
Most pedig jöjjenek az izgalmak!
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk
Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.
És valószínűleg ez sem az lesz:
Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.
De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.
Vannak aztán egészen trükkös esetek is.
Na ennyit a feldarabolásról.