Logaritmus, logaritmus használata szöveges feladatokban
Válaszd ki, hogy melyik év középszintű érettségi feladataival szeretnél gyakorolni.
- 2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
Logaritmus
$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.
Logaritmus azonosságok
\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)
a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
a) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.
Ez a csinos kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében ($t$ = évek száma):
\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?
A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)
b) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
