Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak

Amikor elkezdünk a hatványozással foglalkozni, a legfontosabb amit tehetünk, hogy ne essünk pánikba...

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy...

Ezt a számot a hatvány alapjának nevezzük...
De hívhatnánk akár Bobnak is...
Teljesen mindegy, úgysem ez a lényeg, hanem az,  hogyan tudunk feladatokat megoldani.
Ezt a másik számot pedig itt úgy hívjuk, hogy a hatvány kitevője.
És van itt még valami…
Ha kiszámoljuk, hogy ez az egész mennyi, az a hatvány értéke.

Nézzünk meg még egyet…
És itt van még ez is:

De az izgalmak csak most jönnek…
Írjuk föl hatvány-alakban ezt:

Megszámoljuk, hogy hány darab 3-as van…
És kész is.

Most nézzük, mit kezdhetnénk ezzel:

Hát, ez már érdekesebb…
És itt jön még ez is:
 

És előfordulhat az is, hogy előbb még rendet is kell tenni…

Nézzük meg például ezeket:

Vagy ezt a másikat:
 

Ez a hatványozás idáig nem néz ki túl nehéznek…
Úgyhogy lássunk végre valami érdekesebb ügyet.

Itt jön az első buktató, ahol sokan el szoktak vérezni…
Próbáljuk meg kideríteni, hogy ez a két hatvány miben különbözik egymástól.

Kezdjük az elsővel…
Ha egy pillanatra ezt a mínuszjelet elfelejtjük…
Akkor ebben nincsen semmi érdekes.

Az eredmény 81 lesz.

És mínuszjellel pedig…

Ez a második viszont egészen más…
Itt ugyanis a –3 az, amit hatványozunk.

Tehát belőle van 4 darab.
És mivel két negatív szám szorzata pozitív…

A végeredmény +81 lesz.

Hasonló a helyzet ezeknél is:

Itt az elsőnél csak a 4-et hatványozzuk…
A másodiknál viszont mindent hatványozunk, ami a zárójelen belül van.

A hatványozásnál tartottunk…
És addig jutottunk, hogy 63 egyszerűen csak ezt jelenti.

Egy olyan szorzat, amiben három darab 6-ost szorzunk össze egymással.

Itt jön most egy másik hatvány is:

És nézzük meg, mi történik akkor, ha ezeket összeszorozzuk.

Ilyenkor a kitevők összeadódnak.
A dolog általánosan is igaz…

Hát igen, ilyenkor a kitevőket nem összeadjuk, hanem kivonjuk.
Ezt jó tudni, írjuk föl ezt is…

Próbáljuk is ki mondjuk ezen:
 

És nézzünk meg egy másikat is:

Úgy tűnik, hogy a kitevő lehet nulla is…

Egyébként meg, ha egy tört számlálója és nevezője ugyanaz…

Akkor annak egészen pontosan 1-nek kell lennie.
Így kapjuk, hogy 3-nak a nulladik hatványa éppen 1.
A dolog 5-re is működik…
Sőt, 6-ra is.

Igazából bármilyen számra működik, kivéve a nullát.

Eddig olyan jól alakult minden, hogy most már jönnie kell valami nehezebb dolognak is…

Hát jó, nézzünk valami nehezebbet.

Hopp, itt a kitevő negatív lett…

Ez olyankor van, amikor a nevező kitevője nagyobb…
És ilyenkor…
Az eredmény egy tört.

Hát, ez remek, írjuk föl magunknak ezt is.
Ja, mondjuk ne a 6-tal…
Hanem inkább így általánosan.

És végül még egy dolog…
Nézzük meg, hogyan kell hatványt hatványozni.

Hát, így…
A kitevőket össze kell szorozni és kész is.

Újabb azonosság…

Ezt rögtön ki kell próbálni:

A 10 hatványai egészen különleges helyet foglalnak el az életünkben.
Nézzünk is meg néhányat:

A szabály nagyon egyszerű.
Az 1-es után mindig annyi darab nullát kell írni, ami 10-nek a kitevője.

És most lássuk, hogyan kell az 1-es mögé mínusz egy darab nullát írni…

Hát igen, ezt így kell. Hogy elé írjuk.

És mindjárt az is kiderül, hogy miért…

Van itt nekünk ez a hatványazonosság…
És ez alapján a negatív kitevő törtet jelent.

Most pedig jöjjön néhány újabb hatványazonosság.

Újabb hatványazonosságok jönnek…

Itt is van az első:

És már jön is egy tipikus hiba…

Nézzük meg, hogy mi a különbség ezek között:

Számoljuk ki az elsőt…
3*5 az 15…
Tehát ez 15 a négyzeten.
Csak, hát az a baj…
Hogy ez így nem jó.

Akkor lenne jó, ha a 3 is négyzetre lenne emelve.

Éppen úgy, ahogyan itt.

A legújabb azonosságunk szerint…
Ez tényleg 15 a négyzeten.

De akkor mi volt a baj ezzel a másikkal?

Az volt a gond, hogy itt csak az 5 van a négyzeten.

5 a négyzeten az 25…
És az van még megszorozva 3-mal.

És ez egyben azt is jelenti, hogy a hatványozás magasabb rendű művelet, mint a szorzás.

A hatványazonosságot írjuk föl ide…
Ezt a műveleti sorrendet meg nézzük meg egy kicsit jobban.

Itt jönnek például ezek:

7*3 az 21…
De mindegy is…
Mert úgysem ezzel kell kezdeni.

Hanem ezzel.
És aztán még megszorozzuk 7-tel.

Ez nem is olyan vészes…

Nézzük meg ezt a másikat is:

Itt is csak a 3 van a négyzeten…
A 7-tel nem történi semmi.

Hogyha lenne itt egy zárójel…

Na, akkor már mindkettőt négyzetre kell emelni.

Éppen erről szól ez a legújabb azonosság:
Megy is a többi közé…

A Jupiter tömege 318-szor nagyobb a Föld tömegénél.
Ekkora a Jupiter…
És csak ekkora a Föld.

De mégis hány kiló a Föld?

Egy vonat például…

Úgy durván .

De hát a Föld sokkal nehezebb, mint egy vonat…

A föld tömege vonatokkal meg városokkal meg hegyekkel együtt…
Ekkora:

Az ilyen nagy számokat már ki sem tudjuk mondani.
És leírni is túl hosszú…
Erre már korábban másik is rájöttek, és kitaláltak valamit.
Egy olyan módszert találtak ki, amivel ezeket a nagyon nagy számokat könnyebben le lehet írni.

Úgy hívják, hogy normálalak.

A normálalakot úgy kapjuk, hogy vesszük a legelső számjegyet…
Azt leírjuk, teszünk utána egy vesszőt…
 
Aztán még a vessző után írjuk a többi számjegyet, ami nem nulla…

Végül megszámoljuk, hogy hány számjegy van a legelső számjegy után…

És beszorozzuk ezt 10-nek ennyiedik hatványával.

Meg is van a normálalak.
A Föld tömege .

Most számoljuk ki a Jupiter tömegét…

A Jupiter tömege 318-szor akkora, mint a Föld tömege:

Meg is van a Jupiter tömege.
Csak sajnos van egy kis gond…
Ez nem normálalak.

A normálalak ugyanis mindig így kell, hogy kinézzen:
 

A gondot ez okozza.

Ez ugyanis nem 0 és 10 közti szám…

Szerencsére lazán átírhatjuk ezt is normálalakra…

Jöhet a normálalak…
Most jön a többi számjegy…

Ilyenkor ezzel a tizedesvesszővel nem kell foglalkozni.

Végül jön a 10-nek valamilyen hatványa…
Megszámoljuk a számjegyeket…

És itt egy tipikus hiba…
Ennél a lépésnél, amikor a 10-nek a kitevőjét keressük, csak a vessző előtti számjegyek számítanak.

Húha, ez kezd bonyolodni…

Meg is van a normálalak.
 

A normálalaknál tartottunk.

És addig jutottunk, hogy egy szám normálalakja:
 

A Föld tömege például

Hogyha mindezt ki szeretnénk írni sima helyiértékes alakban…

Hát, az jó hosszú lenne.

A normálalak egyszerűbbé teszi az életünket.

Nézzük meg, hogy a Föld tömege hányszorosa a Merkúr tömegének.

Számoljuk ki azt is, hogy a Föld tömege hányszor akkora, mint a Mars tömege.

A Föld tömege 9,3-szor akkora, mint a Marsé.

De ez még mind semmi…
A Nap tömege:

Hát, ez jó sok…
Számoljuk ki, hogy hányszor akkora a nap tömege, mint a többi 8 bolygó tömege együttvéve.

Ehhez össze kell adnunk a bolygók tömegeit:

 
Azokat, ahol a 10-hatványok kitevői egyformák, simán össze tudjuk adni.

Ezeket már nem tudjuk csak úgy összeadni…
Megkeressük a legkisebb 10-hatványt…
És a többit is ehhez igazítjuk.

Most pedig lássuk, hányszor ekkora a Nap.

A Nap tömege 745,69-szer annyi, mint az összes bolygóé együtt.

Most, hogy ez is kiderült, írjuk még át ezeket a számokat normálalakra.

A normálalakot nem csak akkor tudjuk használni, amikor valami nagyon nagy…
Hanem olyankor is, amikor nagyon kicsi.

Erre való a negatív kitevő:
 
A szabály nagyon egyszerű…

Ha a 10-nek a kitevője negatív, olyankor mindig tizedestörtet kapunk, ami valami 0,0…1 lesz, és annyi darab nullát kell írni, ami a kitevőben a mínuszjel után jön.

Ezt írjuk is föl magunknak…

Írjuk át normálalakba ezeket: