Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
Válaszd ki, hogy melyik év középszintű érettségi feladataival szeretnél gyakorolni.
- 2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
Gyökös azonosságok
\( \sqrt{ a \cdot b } = \sqrt{a} \cdot \sqrt{ b } \qquad a \geq 0, \; b \geq 0 \)
\( \sqrt{ \frac{a}{b} }= \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \qquad a \geq 0, \; b > 0 \)
Köbgyök
Egy $a$ szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe $a$.
\( a \in R \qquad \left( \sqrt[3]{a} \right)^3 = a \)
Köbgyökös azonosságok
\( \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad a \in R, \; b \in R \)
\( \sqrt[3]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt[3]{b} } \qquad a \in R, \; b \in R \)
n-edik gyök
A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.
Egy $a$ nem negatív szám $n=2k$-adik gyöke az a nem negatív szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k]{a} \right)^{2k} = a \)
Egy tetszőleges $a$ szám $n=2k+1$-edik gyöke az a szám, amire:
\( \left( \sqrt[2k+1]{a} \right)^{2k+1} = a \)
Négyzetgyök
Egy $a$ nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete $a$.
\( a \geq 0 \qquad \sqrt{a}\geq 0 \qquad \sqrt{a}^2 = a \)
Gyökös egyenletek megoldása
A gyökös egyenletek megoldását mindig ezzel kell kezdeni:
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } \Rightarrow \text{IZÉ} \geq 0 \)
\( \sqrt{ \text{IZÉ} } = \text{VALAMI} \Rightarrow \text{VALAMI} \geq 0 \)
Ezt követően az elsőszámú célunk, hogy megszabaduljunk a gyökjeltől, amit négyzetreemeléssel végezhetünk. Ilyenkor az a lehető legjobb, ha a gyökös izé magányosan álldogál.
Ha megszabadultunk a gyökjeltől, minden úgy megy tovább, ahogy azt már megszokhattuk az egyenleteknél.
A végén viszont fontos, hogy ellenőriznünk kell, a megoldásunk megfelel-e a feladat elején felírt kritériumnak.
a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = ? \)
b) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
c) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = ? \)
d) \( \sqrt{112}-\sqrt{28}+\sqrt{63} = ? \)
e) \( \sqrt{96} - \sqrt{54} + \sqrt{24} = ? \)
f) \( \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right)^2 = ? \)
Gyöktelenítsük a törteket.
a) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
b) \( \frac{5}{\sqrt{5}} \)
c) \( \frac{2}{\sqrt{x}} \)
d) \( \frac{3}{\sqrt{3}-1} \)
e) \( \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
f) \( \frac{6}{\sqrt{x}+3} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x-4}=3 \)
b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)
c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)
d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \sqrt{x+3}+2=4x \)
b) \( \sqrt{4x+1}-\sqrt{x+3}=2 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{x+5}=3 \)
\( \sqrt{x+5}=1-x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{x^2+8x+16}+3=\sqrt{x^2-6x+9} \)
