Számelmélet (2,6 pont)

MÁSODIK RÉSZ

2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK

ELSŐ RÉSZ

MÁSODIK RÉSZ

Oszthatóság

Az $a$ egész számnak a $b$ egész szám osztója, ha létezik olyan $q$ egész szám, hogy $a=b \cdot q$.

Maradékos osztás

Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. Ekkor felírhatók

$a=q \cdot b + r \qquad 0<r<b$

Ahol $q$ és $r$ is természetes számok és $q$ az osztás hányadosa, $r$ pedig a maradék.

2-vel oszthatóság

Egy szám akkor osztható 2-vel, ha páros, azaz 0, 2, 4, 6, vagy 8-ra végződik.

3-mal oszthatóság

Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal.

4-gyel oszthatóság

Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két jegyéből alkottot szám osztható 4-gyel.

5-tel oszthatóság

Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.

6-tal oszthatóság

6-tal azok a számok oszthatók, amik 2-vel és 3-mal is oszthatók.

Ezek éppen a 3-mal osztható páros számok.

9-cel oszthatóság

Egy szám akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.

10-zel oszthatóság

10-zel azok a számok oszthatók, amik 0-ra végződnek.

11-gyel oszthatóság

11-gyel akkor osztható egy szám, ha hátulról kezdve $+-+- \dots$ előjelekkel összeadjuk a számjegyeket, akkor az így kapott szám osztható 11-gyel.

Legnagyobb közös osztó

Az $a$ és $b$ szám legnagyobb közös osztója az a $d$ pozitív szám, amire $ d \mid a$ és $d\mid b$, és e közös osztók közül ez a legnagyobb.

Jelölés: $d=(a,b)$

Relatív prímek

$a$ és $b$ relatív prímek, ha $(a,b)=1$

Néhány oszthatósági szabály

Ha $ a \mid c$ és $ b \mid c$ és $(a,b)=1$ akkor $ab \mid c$

Ha $c \mid ab$ és $(a,c)=1$ akkor $c \mid b$

Prímek

Azokat az 1-től különböző pozitív egész számokat, amelyeknek az 1-en és önmagukon kívül nincsen más pozitív egész osztója, prímeknek nevezzük.

Szemléletesen a prímek az egész számok építőkockái. Vagyis a prímek segítségével tudjuk felépíteni az egész számokat. A 60 például így épül föl, hogy:

$ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $

Itt a 2, a 3 és az 5 is prím, mert ezek már nem bonthatók kisebb építőkockákra. Az 1-et pedig azért nem tekintjük prímnek, mert a számok felépítésében nem sok hasznát vesszük, hiszen $ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $

A legkisebb prím tehát a 2, és ez az egyetlen páros szám amelyik prím, hiszen az összes többi páros szám már osztható 2-vel. A 2 után következő prím a 3, aztán az 5, és a 7. A prímeket egy speciális módszerrel nagyon könnyű kiválogatni az egész számok közül. Ezt a módszert úgy hívják, hogy Eratoszthenész szitája és meg tudod nézni itt a kapcsolódó epizódban.

Számelmélet alaptétele

A nullától és az egytől különböző összes $n$ pozitív egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől eltekintve egyértelműen.

$ n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k}$ ahol $k\in Z^{+}$

Itt $k$ a felbontásban szereplő különböző prímek száma.

Legkisebb közös többszörös (LKKT)

A legkisebb közös többszörös megtalálásának lépései:

Elkészítjük a prímtényezős felbontást
Vesszük az összes prímet a két prímtényezős felbontásból
Mindegyik prím a nagyobbik kitevőt kapja.

a) Osztható-e 3-mal az 5728 és a 4758?

b) Osztható-e 4-gyel az 52742 és a 61524?

c) Osztható-e 6-tal a 3714?

d) Osztható-e 9-cel a 4326 és a 4257?

e) Osztható-e 11-gyel a 3718

Mennyi a 36 és 25 legnagyobb közös osztója?

Mit nevezünk prímszámoknak?

Adjuk meg az 1960 prímtényezős felbontását.

a) Számoljuk ki a 108 és a 360 legnagyobb közös osztóját.

b) Számoljuk ki a 37 800 és 39 600 számok legnagyobb közös osztóját.

a) Számoljuk ki a 108 és 360 legkisebb közös többszörösét.

b) Számoljuk ki a 37 800 és a 39 600 számok legkisebb közös többszörösét.