- Vektorok bevezetése
- Vektoriális szorzat, sík egyenlete, egyenes egyenletrendszere
- Szögfüggvények, trigonometrikus azonosságok
- Algebra, betűs kifejezések használata
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Komplex számok
- Halmazok
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény és inverz függvény
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek
- Elsőfokú egyenletek
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Másodfokú egyenletek
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Parabola
- Polinomok
Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
Hatványozás
A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.
Pl.: $6^3=6\cdot 6\cdot 6=216$
Itt a $6$-ot a hatvány alapjának nevezzük, a $3$-at kitevőnek, az eredményt pedig a hatvány értékének.
Hatványazonosság I.
Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.
$ a^n \cdot a^k = a^{n+k} $
Hatványazonosság II.
Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.
$\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}$
Hatványazonosság III.
Hatvány hatványa a kitevők szorzata.
$\left( a^n \right)^k = a^{n\cdot k} $
Nulladik hatvány
Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.
$a^0=1$, ha $a \neq 0$.
Negatív egész kitevőjű hatványozás
Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Hatványazonosság IV.
Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.
$a^n \cdot b^n = \left( a \cdot b \right)^n$
Ez az azonosság visszafele irányba hasznosabb, ha egy zárójeles szorzat hatványozva van, akkor azt szét lehet szedni és mindkét tényezőt hatványozni kell.
Pl.: $(2\cdot 3)^2=2^2 \cdot 3^2 = 4\cdot 9 = 36$
Hatványazonosság V.
Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.
$\frac{a^n}{b^n}=\left( \frac{a}{b} \right)^n$
Ez az azonosság visszafele irányba hasznosabb, ha egy zárójeles tört hatványozva van, akkor azt szét lehet szedni és a számlálót és nevezőt is hatványozni kell.
Pl.: $\left( \frac{2}{3} \right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$
Normálalak
A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.
A normálalak mindig egy szorzat, az első tényezője egy abszolútértékben 1-nél nagyobb vagy egyenlő, 10-nél kisebb szám. A másik tényezője pedig egy 10 hatvány.
Pl.: $35 000=3,5\cdot 10^4$
Írjuk föl hatványalakban ezeket:
a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = $
b) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = $
c) $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = $
d) $2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 = $
e) $7 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 = $
Számoljuk ki ezeket:
a) $-3^4 = $
b) $(-3)^4 = $
c) $\frac{4^3}{5} = $
d) $\left( \frac{4}{5} \right)^3 = $
Írjuk fel egy szám hatványaként:
a) $6^3 \cdot 6^2= $
b) $\frac{6^3}{6^2}=$
c) $\frac{6^3}{6^5}=$
d) $\left( 6^5 \right)^3 = $
e) $\left( \frac{5^3}{5^7}\cdot 5^6 \right)^3= $
Számoljuk ki a következő $10$ hatványokat:
a) $10^6 = $
b) $10^5= $
c) $10^4= $
d) $10^3 = $
e) $10^2 = $
f) $10^1 = $
g) $10^0 = $
h) $10^{-1}=$
i) $10^{-2}=$
j) $10^{-3}=$
k) $10^{-4}=$
l) $10^{-5}=$
m) $10^{-6}=$
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) $7\cdot 3^2=$
b) $\frac{3^2}{7}=$
c) $\left( \frac{3}{7} \right)^2 = $
a) Írjuk fel normálalakba a Föld tömegét: 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg
b) Írjuk fel normálalakba aJupiter tömegét, ha az 318-szor akkora, mint a Föld tömege.
c) Írjuk fel normálalakba aSzaturnusz tömegét, ha az 95-ször akkora, mint a Föld tömege.
d) Írjuk át sima helyiértékes alakba a Merkúr tömegét, ha az $3,301\cdot10^{23} \; kg$.
A Föld tömege $5,972\cdot 10^{24}$ kg,
A Merkúr tömege $3,301\cdot10^{23}$ kg,
A Mars tömege: $6,417\cdot 10^{23}$ kg
a) Hányszorosa a Föld tömege a Merkúr tömegének?
b) A Föld tömege hányszor akkora, mint a Mars tömege?
c) Írjuk át ezeket a számokat normálalakba:
$23756=$
$-56425,31=$
$9576,44=$
$64897000=$
Írjuk át normálalakba ezeket:
a) $0,000471 = $
b) $0,000089=$
c) $-0,00065=$
d) $0,0053 \cdot 10^{-4} = $
e) $\frac{23}{456671} = $
f) $\frac{56}{1,4\cdot10^{4}} = $
g) $ \frac{0,003}{12\cdot 10^{6}} = $
Amikor elkezdünk a hatványozással foglalkozni, a legfontosabb amit tehetünk, hogy ne essünk pánikba...
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy...
Ezt a számot a hatvány alapjának nevezzük...
De hívhatnánk akár Bobnak is...
Teljesen mindegy, úgysem ez a lényeg, hanem az, hogyan tudunk feladatokat megoldani.
Ezt a másik számot pedig itt úgy hívjuk, hogy a hatvány kitevője.
És van itt még valami…
Ha kiszámoljuk, hogy ez az egész mennyi, az a hatvány értéke.
Nézzünk meg még egyet…
És itt van még ez is:
De az izgalmak csak most jönnek…
Írjuk föl hatvány-alakban ezt:
Megszámoljuk, hogy hány darab 3-as van…
És kész is.
Most nézzük, mit kezdhetnénk ezzel:
Hát, ez már érdekesebb…
És itt jön még ez is:
És előfordulhat az is, hogy előbb még rendet is kell tenni…
Nézzük meg például ezeket:
Vagy ezt a másikat:
Ez a hatványozás idáig nem néz ki túl nehéznek…
Úgyhogy lássunk végre valami érdekesebb ügyet.
Itt jön az első buktató, ahol sokan el szoktak vérezni…
Próbáljuk meg kideríteni, hogy ez a két hatvány miben különbözik egymástól.
Kezdjük az elsővel…
Ha egy pillanatra ezt a mínuszjelet elfelejtjük…
Akkor ebben nincsen semmi érdekes.
Az eredmény 81 lesz.
És mínuszjellel pedig…
Ez a második viszont egészen más…
Itt ugyanis a –3 az, amit hatványozunk.
Tehát belőle van 4 darab.
És mivel két negatív szám szorzata pozitív…
A végeredmény +81 lesz.
Hasonló a helyzet ezeknél is:
Itt az elsőnél csak a 4-et hatványozzuk…
A másodiknál viszont mindent hatványozunk, ami a zárójelen belül van.
A hatványozásnál tartottunk…
És addig jutottunk, hogy 63 egyszerűen csak ezt jelenti.
Egy olyan szorzat, amiben három darab 6-ost szorzunk össze egymással.
Itt jön most egy másik hatvány is:
És nézzük meg, mi történik akkor, ha ezeket összeszorozzuk.
Ilyenkor a kitevők összeadódnak.
A dolog általánosan is igaz…
Hát igen, ilyenkor a kitevőket nem összeadjuk, hanem kivonjuk.
Ezt jó tudni, írjuk föl ezt is…
Próbáljuk is ki mondjuk ezen:
És nézzünk meg egy másikat is:
Úgy tűnik, hogy a kitevő lehet nulla is…
Egyébként meg, ha egy tört számlálója és nevezője ugyanaz…
Akkor annak egészen pontosan 1-nek kell lennie.
Így kapjuk, hogy 3-nak a nulladik hatványa éppen 1.
A dolog 5-re is működik…
Sőt, 6-ra is.
Igazából bármilyen számra működik, kivéve a nullát.
Eddig olyan jól alakult minden, hogy most már jönnie kell valami nehezebb dolognak is…
Hát jó, nézzünk valami nehezebbet.
Hopp, itt a kitevő negatív lett…
Ez olyankor van, amikor a nevező kitevője nagyobb…
És ilyenkor…
Az eredmény egy tört.
Hát, ez remek, írjuk föl magunknak ezt is.
Ja, mondjuk ne a 6-tal…
Hanem inkább így általánosan.
És végül még egy dolog…
Nézzük meg, hogyan kell hatványt hatványozni.
Hát, így…
A kitevőket össze kell szorozni és kész is.
Újabb azonosság…
Ezt rögtön ki kell próbálni:
A 10 hatványai egészen különleges helyet foglalnak el az életünkben.
Nézzünk is meg néhányat:
A szabály nagyon egyszerű.
Az 1-es után mindig annyi darab nullát kell írni, ami 10-nek a kitevője.
És most lássuk, hogyan kell az 1-es mögé mínusz egy darab nullát írni…
Hát igen, ezt így kell. Hogy elé írjuk.
És mindjárt az is kiderül, hogy miért…
Van itt nekünk ez a hatványazonosság…
És ez alapján a negatív kitevő törtet jelent.
Most pedig jöjjön néhány újabb hatványazonosság.
Újabb hatványazonosságok jönnek…
Itt is van az első:
És már jön is egy tipikus hiba…
Nézzük meg, hogy mi a különbség ezek között:
Számoljuk ki az elsőt…
3*5 az 15…
Tehát ez 15 a négyzeten.
Csak, hát az a baj…
Hogy ez így nem jó.
Akkor lenne jó, ha a 3 is négyzetre lenne emelve.
Éppen úgy, ahogyan itt.
A legújabb azonosságunk szerint…
Ez tényleg 15 a négyzeten.
De akkor mi volt a baj ezzel a másikkal?
Az volt a gond, hogy itt csak az 5 van a négyzeten.
5 a négyzeten az 25…
És az van még megszorozva 3-mal.
És ez egyben azt is jelenti, hogy a hatványozás magasabb rendű művelet, mint a szorzás.
A hatványazonosságot írjuk föl ide…
Ezt a műveleti sorrendet meg nézzük meg egy kicsit jobban.
Itt jönnek például ezek:
7*3 az 21…
De mindegy is…
Mert úgysem ezzel kell kezdeni.
Hanem ezzel.
És aztán még megszorozzuk 7-tel.
Ez nem is olyan vészes…
Nézzük meg ezt a másikat is:
Itt is csak a 3 van a négyzeten…
A 7-tel nem történi semmi.
Hogyha lenne itt egy zárójel…
Na, akkor már mindkettőt négyzetre kell emelni.
Éppen erről szól ez a legújabb azonosság:
Megy is a többi közé…
A Jupiter tömege 318-szor nagyobb a Föld tömegénél.
Ekkora a Jupiter…
És csak ekkora a Föld.
De mégis hány kiló a Föld?
Egy vonat például…
Úgy durván .
De hát a Föld sokkal nehezebb, mint egy vonat…
A föld tömege vonatokkal meg városokkal meg hegyekkel együtt…
Ekkora:
Az ilyen nagy számokat már ki sem tudjuk mondani.
És leírni is túl hosszú…
Erre már korábban másik is rájöttek, és kitaláltak valamit.
Egy olyan módszert találtak ki, amivel ezeket a nagyon nagy számokat könnyebben le lehet írni.
Úgy hívják, hogy normálalak.
A normálalakot úgy kapjuk, hogy vesszük a legelső számjegyet…
Azt leírjuk, teszünk utána egy vesszőt…
Aztán még a vessző után írjuk a többi számjegyet, ami nem nulla…
Végül megszámoljuk, hogy hány számjegy van a legelső számjegy után…
És beszorozzuk ezt 10-nek ennyiedik hatványával.
Meg is van a normálalak.
A Föld tömege .
Most számoljuk ki a Jupiter tömegét…
A Jupiter tömege 318-szor akkora, mint a Föld tömege:
Meg is van a Jupiter tömege.
Csak sajnos van egy kis gond…
Ez nem normálalak.
A normálalak ugyanis mindig így kell, hogy kinézzen:
A gondot ez okozza.
Ez ugyanis nem 0 és 10 közti szám…
Szerencsére lazán átírhatjuk ezt is normálalakra…
Jöhet a normálalak…
Most jön a többi számjegy…
Ilyenkor ezzel a tizedesvesszővel nem kell foglalkozni.
Végül jön a 10-nek valamilyen hatványa…
Megszámoljuk a számjegyeket…
És itt egy tipikus hiba…
Ennél a lépésnél, amikor a 10-nek a kitevőjét keressük, csak a vessző előtti számjegyek számítanak.
Húha, ez kezd bonyolodni…
Meg is van a normálalak.
A normálalaknál tartottunk.
És addig jutottunk, hogy egy szám normálalakja:
A Föld tömege például
Hogyha mindezt ki szeretnénk írni sima helyiértékes alakban…
Hát, az jó hosszú lenne.
A normálalak egyszerűbbé teszi az életünket.
Nézzük meg, hogy a Föld tömege hányszorosa a Merkúr tömegének.
Számoljuk ki azt is, hogy a Föld tömege hányszor akkora, mint a Mars tömege.
A Föld tömege 9,3-szor akkora, mint a Marsé.
De ez még mind semmi…
A Nap tömege:
Hát, ez jó sok…
Számoljuk ki, hogy hányszor akkora a nap tömege, mint a többi 8 bolygó tömege együttvéve.
Ehhez össze kell adnunk a bolygók tömegeit:
Azokat, ahol a 10-hatványok kitevői egyformák, simán össze tudjuk adni.
Ezeket már nem tudjuk csak úgy összeadni…
Megkeressük a legkisebb 10-hatványt…
És a többit is ehhez igazítjuk.
Most pedig lássuk, hányszor ekkora a Nap.
A Nap tömege 745,69-szer annyi, mint az összes bolygóé együtt.
Most, hogy ez is kiderült, írjuk még át ezeket a számokat normálalakra.
A normálalakot nem csak akkor tudjuk használni, amikor valami nagyon nagy…
Hanem olyankor is, amikor nagyon kicsi.
Erre való a negatív kitevő:
A szabály nagyon egyszerű…
Ha a 10-nek a kitevője negatív, olyankor mindig tizedestörtet kapunk, ami valami 0,0…1 lesz, és annyi darab nullát kell írni, ami a kitevőben a mínuszjel után jön.
Ezt írjuk is föl magunknak…
Írjuk át normálalakba ezeket:
