Vektoriális szorzat, sík egyenlete, egyenes egyenletrendszere

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.

c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:

\( e_1: 3x+4y=10 \)

\( e_2: 6x+y=13 \)

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy az $A(1,2)$ és $B(6,5)$ pontokon.

a) Van két egyenes: $y=\frac{2}{3}x+1$ és $x+2y=6$. Számoljuk ki az egyenes $P$ metszéspontját.

b) Van két egyenes: $y=2x+4$ és $y=2x-2$. Számoljuk ki az egyenes $P$ metszéspontját.

c) Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az $y=4x+5$ egyenletű egyenessel, és átmegy a $P(3,1)$ ponton.

a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.

b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.

d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

Számítsuk ki az alábbi vektorok vektoriális szorzatát.

a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \underline{a} \times\underline{b}=\; ? \)

b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

a) Adjuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját.

\( e_1: \frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{5} = \frac{z-4}{3} \)

\( e_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+2}{3} \)

b) Adjuk meg a $7x-4y+2z=7$ és a $16-7y+z=21$ egyenletű síkok metszésvonalának egyenletrendszerét.

A $2x+y-3z=2$ egyenletű $S_1$ és az $x+7y+3z=21$ egyenletű $S_2$ síkokról döntsük el, hogy

a) rajta van-e a $P(5; 1; 3)$ pont az $S_1$ és az $S_2$ metszésvonalán,

b) merőleges-e egymásra $S_1$ és $S_2$?

Átmegy-e az origón az $S$ sík, amely tartalmazza a $P(2;-1;4)$ pontot és az $\frac{x-1}{4}=\frac{1-y}{5}=\frac{z-3}{6}$ egyenletrendszerű $e$ egyenest?

Tartalmazza-e az $R(1;3;4)$ pontot az a sík, amelyet a $P(1;7;-1)$ és a $Q(11;9;-5)$ pontokat összekötő egyenes a $P$-ben merőlegesen döf?

Az $e$ egyenesről tudjuk, hogy merőlegesen döfi az $x+2y+3z=6$ egyenletű síkot az $(1;1;1)$ pontban, az $f$ egyenesről pedig, hogy átmegy az $(5;2;-1)$ ponton és a $(13;4;-5)$ ponton. Döntsük el, hogy $e$-nek és $f$-nek van-e közös pontja.

Van-e az $A(-1;-2;1)$, $B(3;1;3)$, és $C(7;6;3)$ pontokat tartalmazó síknak olyan pontja, amely az $y$-tengelyre esik? Ha igen, melyik?

Az $e$ egyenes egyenletrendszere $x=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, az $f$ egyenes egyenletrendszere pedig $\frac{x}{-2}=\frac{3-y}{6}=\frac{2-z}{10}$. Döntsük el, hogy $e$ és $f$ párhuzamosak-e. Ha igen, akkor határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely mindkettőt tartalmazza.

Határozzuk meg az $x-4=\frac{y+5}{4}=\frac{2-z}{3}$ egyenletrendszerű $e$ egyenes minden olyan $P$ pontját, amelyre a $P$-t a $Q(7;12;4)$ ponttal összekötő $f$ egyenes merőleges $e$-re.

A $p$ paraméter milyen értékére esnek egy síkba az $A(2;3;3)$, $B(3;4;1)$, $C(4;6;2)$, és $D(p;2;5)$ pontok?

Párhuzamos-e az $\frac{5x+3}{10}=\frac{4-y}{5}=\frac{5-2z}{2}$ egyenletrendszerű egyenes a $6x+y+7z=91$, illetve az $5x+2y=79$ egyenletű síkok metszésvonalával?

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a $P(12;1;7)$ ponton és merőlegesen metszi az $x-3=\frac{y-2}{3}=\frac{-z-1}{4}$ egyenletrendszerű egyenest.

Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, amelyik átmegy az $AC$ szakasz felezőpontján, és merőleges az $ABC$ síkra, hogyha adott $A(1,0,7), B(2,-4,4)$ és $C(3,-2,-1)$.

Határozzuk meg az $A(1,-2,3)$ és $B(4,1,0)$ pontok által adott szakasz felezőpontján átmenő és az $\underline{a} = (-1,2,4)$ vektorral párhuzamos egyenes egyenletét. Adjuk meg az $\vec{AB}$ és $\underline{a}$ vektor szögét.