Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (9,3 pont)

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^4 - 4x^3 \)

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3 - 3x \)

Határozzuk meg az $a, b, c$ valós paramétereket úgy, hogy az $f(x)=ax^3+bx^2+cx+28$ függvénynek $x=2$-ben zérushelye, $x=-4$-ben lokális maximumhelye, $x=-1$-ben pedig inflexiós pontja legyen!

a) Egy vasúti alagút építése során minél mélyebbre helyezik a nyomvonalat, annál hosszabb alagutat kell fúrni és maga az építkezés is egyre drágább lesz. Az eredetileg kijelölt nyomvonal 340 méteres tengerszintfeletti magasságban halad és az építési költség 5,6 milliárd svájci frank. A nyomvonal $x$ méterrel mélyebbre helyezése az eredeti költséget ennyivel növeli: $a(x)=40x^4+160x^3$ frank.

A mélyebben futó nyomvonalnak az előnye, hogy az áthaladó vonatoknak a hegységben történő átkelés során kisebb szintkülönbséget kell megtenniük. Ennek évenkénti gazdasági haszna: $p(x)=80x^3$ frank.

Hogyha az alagút átadását követő 40 éves periódust vizsgálunk, hány méterrel lenne érdemes mélyebbre helyezni a nyomvonalat, hogy a lehető legnagyobb legyen a megtérülés?

b) Egy termék árbevétel függvénye $R(x)=12400x^2-4000x^3$, a költségfüggvénye pedig $C(x)=400x^2+2000$, ahol $x$ a termék ára dollárban. Milyen egységár esetén maximális a profit és mekkora ez a profit?

Egy termék keresleti függvénye

\( f(x)=20000x^2-1000x^3-72000x \)

ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.

a) Milyen ár esetén maximális az árbevétel?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 5 eurós ár esetén?

Egy másik termék keresleti függvénye

\( f(x)=260x^3-11x^4 \)

ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.

A termék fajlagos költsége (tehát az egy termékre jutó költség) 12 euró.

a) Milyen ár esetén lesz maximális a profit?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 16 eurós és 21 eurós ár mellett?

Egy 33x18 cm-es kartonlapból téglatest alakú dobozt készítünk. A doboz kiterített hálója és méretei itt láthatóak.

a) Mekkora a doboz térfogata, ha $a=7$ cm?

b) Hogyan kell megválasztani az $a, b, c$ élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen?

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3+3x^2 \)

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^4-18x^2+17 \)

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3-5x^2+3x-7 \)

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=2x^6-6x^4+\sqrt{37} \)

a) Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este hat óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer dollárba megadva

\( f(x)=(x-12)^2 e^{ - \frac{x}{2} }+10 \qquad 8 \leq x \leq 18 \)

Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam? A nap melyik órájában volt az árfolyam minimális, illetve maximális?

b) Egy termék keresleti függvénye

\( f(x)=10^6 \frac{1}{100+x^2} \)

ahol x termék egységárát jelöli. Milyen egységár esetén maximális az árbevétel?

c) Egy termék fajlagos nyeresége dollárban megadva

\( \pi (x) = e^{ \frac{-x^2}{2} + 2 } \)

ahol x a hetente eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban.

Milyen eladási szám esetén optimális a heti teljes nyereség?

Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)= x+2+\frac{9}{x-3} \)