Határozott Integrálás
Newton Leibniz formula
Ha $f(x)$ integrálható az $[a,b]$ intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a Newton Leibniz formula szerint a határozott integrálját a következőképp számolhatjuk ki:
\( \int_{a}^{b} f(x) \; dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b)-F(a) \)
Riemann integrálhatóság
Az $f$ $[a,b]$ intervallumon korlátos függvény Riemann integrálható az $[a,b]$ intervallumon, ha egyetlen olyan $I$ szám létezik, hogy bármely felosztásra:
\( s \leq I \leq S \)
ahol $s$ az alsó közelítő összeg: $ s= \sum_{i=1}^{n}{ m_i (x_i - x_{i-1}) } \qquad m_i = \inf{ \left\{ f(x), \; x \in \left[ x_{i-1}, x_i \right] \right\} }$
ahol $S$ a felső közelítő összeg: $ S= \sum_{i=1}^{n}{ M_i (x_i - x_{i-1} )} \qquad M_i= \sup{ \left\{ f(x), \; x \in \left[ x_{i-1}, x_i \right] \right\}}$
Egy fontos függvény improprius integrálja
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
\( f(x) = \frac{1}{x^{\alpha} } \)
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk és 1-től végtelenig is.
Ha 0-tól 1-ig integrálunk:
\( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{-\alpha + 1} \; \text{ha} \; \alpha < 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \geq 1 \end{cases} \)
Ha 1 és végtelen között integrálunk:
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} \; \text{ha} \; \alpha > 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
Forgástest térfogata és felszíne integrállal
Forgástest térfogata:
\( V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \; dx \)
Forgástest felszíne:
\( A = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)
b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.
Integrálható-e az alábbi függvény:
\( f(x) = \begin{cases} 0 & \text{ha x irracionális} \\ 1 & \text{ha} \; x=\frac{p}{q} \; \text{ahol a tört tovább nem egyszerűsíthető} \end{cases} \)
a) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.
b) Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.
Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.
a) \( \int_1^\infty \frac{5}{x^4} \; dx = \; ? \)
b) \( \int_{-\infty}^1 e^{2x-2} \; dx = \; ? \)
c) \( \int_{-\infty}^\infty \frac{4x^3}{ \left( x^4+1 \right)^4} \; dx = \; ? \)
d) \( \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} } \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi improprius integrálásokat
a) \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \; dx \)
b) \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx \)
Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az x tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 1-ig.
Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az y tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 3-ig.
Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:
\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)
Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx = 0$ teljesüljön!
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=2\sqrt{x} \quad g(x)=\frac{x^2}{4} \)
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=(x-1)^2 \quad g(x)=2-(x-1)^2 \)
Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.
\( f(x)=-x^2+18 \quad g(x)=x^2 \)
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=\sqrt{x+5}$ függény grafikonja, az $x=-1$ pontban húzott érintő és az $x$ tengely határol!
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=-x^2-6x-5$ függény grafikonja az $x$ tengellyel bezár.
Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amelyet az $f(x)=\ln{x}$ függvény grafikonja, az $x_0=e$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $x$ tengely határol!
Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=x^2-7x+14$ függvény grafikonja, a függvény grafikonjához az $x_0=4$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $y$ tengely határol!
Mekkora az a terület, amit az $f$ függvény és a koordinátatengelyek határolnak?
\( f(x)=\frac{x}{e^{x^2}} \)
Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=\sqrt{x+2}$ és $g(x)=\sqrt{3x-12}$ függvények grafikonjai és az $x$ tengely határol.
A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.
Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.
Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.
Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.
Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.
A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.
Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.
Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:
Itt jön a primitív függvény:
És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.
Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
A terv a következő:
Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,
aztán a sárga függvény területét is,
végül a kettőt egymásból kivonjuk.
Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.
Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.
Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.
Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.
A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,
oldalai pedig x=a és x=b.
Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,
sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.
Az ilyen normáltartományok területe:
vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,
akkor fordítva.
Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.
Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.
Először kiszámoljuk a metszéspontokat,
aztán jöhet az integrálás.
Van itt egy függvény,
amihez érintőt húzunk az x=3-nál.
Így keletkezik két tartomány.
Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,
a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.
Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.
Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.
Szerencsére éppen itt jön:
Most pedig térjünk a tárgyra.
A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.
Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:
A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.
Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.
Most pedig lássuk a területeket.
A keresett terület:
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
