Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy vonaton 400-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy utazik rajta két olyan utas, akiknek ugyanazon a napon van a születésnapja.
b) Mi történik, ha felszáll újabb 333 utas?
c) És ha 1200-an utaznak a vonaton?
a) Egy 5 kocsiból álló vonaton 460-an utaznak. Bizonyítsuk be, hogy van olyan kocsi, amiben legalább 80 utas van.
b) Egy másik vonat szintén 5 kocsiból áll. Legalább hányan utaznak a vonaton, ha tudjuk, hogy biztosan van olyan kocsi, amiben legalább 40-en utaznak?
c) Az egyik kocsiban egy 10 tagú társaság utazik. Mindenki a társaságból legalább 7 másik embert ismer. Bizonyítsuk be, hogy bármely 3 embernek van közös ismerőse.
Van itt ez az állítás: "Minden mamut sárga."
Válasszuk ki innen azokat, amik az állítás tagadása:
Egyik mamut sem sárga.
Van olyan mamut, ami sárga.
Van olyan mamut, ami nem sárga.
A legtöbb mamut nem sárga.
Nem minden mamut sárga.
Dontsük el az alábbi állításokról, hogy igazak, vagy hamisak.
a) Esik az eső és a mamut piros.
b) Esik az eső vagy a mamut piros.
c) Ha esik az eső, akkor a mamut piros.
Készítsük el az alábbi állítások igazságtábláit.
a) \( \neg A \wedge \neg B \)
b) \( A \wedge \neg B \)
c) \( \left( A \lor B \right) \Rightarrow \left( A \wedge B \right) \)
d) \( \neg A \Rightarrow \left( A \wedge B \right) \)
e) \( \neg A \wedge \left( A \lor B \right) \)
a) Van itt két láda. Az egyikben arany van, a másik üres, a ládákon lévő feliratok pedig lehetnek igazak vagy hamisak is. Anélkül, hogy hozzárénénk a ládákhoz, meg tudjuk-e mondani, hogy melyikben van az arany?
A ládák feliratai: "Ha a másik ládában van az arany, akkor mindkét ládában hamis felirat van." és "Az arany nem ebben a ládában van."
b) Ezúttal már három láda van. Az egyikben arany van, a másik kettő üres, a ládákon lévő feliratok pedig lehetnek igazak vagy hamisak is.
A ládák feliratai:
"A másodikon ládán a felirat igaz."
"Az arany ebben a ládában van és az első ládán a felirat hamis."
"Az arany olyan ládában van, amin a felirat hamis."
c) Most pedig tegyünk egy kört a lovagok és lókötők szigetén. Ezen a szigeten kétféle ember él, akik külsejük alapján teljesen egyformák. Csak éppen a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők pedig mindig hazudnak. Találkozunk két szigetlakóval.
X azt mondja: "Ha Y lovag, akkor én lókötő vagyok.". Y nem mond semmit. Milyen típusú X és Y?
d) Egy másik alkalommal három szigetlakóval találkozunk, akik ezt mondják:
X: "Y lókötő és Z lovag."
Y: "Lókötő vagyok és Z lovag."
Milyen típusú X, Y és Z?
e) Végü legy újabb esetben ismét három szigetlakóval találkozunk, akik ezt mondják:
X: Y lovag.
Y: X lókötő és Z lovag.
Milyen típusú X, Y és Z?
Bizonyítsuk be, hogy a $\sqrt{2}$ irracionális szám.
