a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{(x+3)^x } = 4x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{x}+\log_{3}{16} = 4 \)
b) \( \log_{4}{x}+\log_{4}{(x-4)} = \log_{4}{5} \)
c) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)} = 4 \)
d) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)} = \log_{2}{5} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)} +2 \)
b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)
c) \( \lg{ (x-2) } + \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)
Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenlőtlenségeket.
a) \( \log_{\sqrt{5}}{(x+4)} - \log_{\sqrt{5}}{12} \geq \log_{\sqrt{5}}{x-1)} \)
b) \( \log_2{(x-5)}-\log_2{(x+4)} \geq 3 \)
c) \( \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{\left( x^2 + 16 \right) } \leq \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{ \left( 9x-4 \right) } \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( x \ln{x} - 3x = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \ln^2{x} + \ln{x} - 2 = 0 \)
a) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.
Ez a csinos kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében ($t$ = évek száma):
\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?
A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)
b) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{2}{(x+11)} - \log_{2}{(x-2)} = 3 + \log_{2}{5} \)
b) \( \log_{3}^2{x} - 7\cdot \log_{3}{x} +12 = 0 \)
c) \( \log_{5}{ \frac{x}{25} } + \log_{5}^2{x} = 4 \)
