Determináns, sajátérték, sajátvektor
Determináns 2x2-es mátrixra
Egy 2x2-es mátrix determinánsa:
\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \det(A)=\det \begin{pmatrix} a& b \\ c &d \end{pmatrix}=a\cdot d - b\cdot c \)
Determináns definíciója
Ha az $A$ egy $n \; x \; n$-es mátrix, akkor determinánsa
\( det(A)=\sum_{\forall p} (-1)^{I(p)} \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{ip(i)} \)
ahol $p$ az oszlopindexek permutációi, $I(p)$ pedig ezen permutációk inverziószáma.
Kifejtési tétel
Ha az $A$ egy nxn-es mátrix, akkor determinánsa
\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\)
\( \det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) \)
Itt $\det(A_{ij})$ az $a_{ij}$ elemhez tartozó aldetermináns.
Sarrus-szabály
A 3x3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály, ami szarrusz szabály néven ismert. A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot és leírjuk saját maga mögé még egyszer, majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat, így
\( \det(A)=-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \)
Determinánsok tulajdonságai
Az $A$ mátrix determinánsa nulla, ha
- van csupa nulla sora
- van két azonos sora
- egyik sora a másik sor számszorosa
- egyik sora más sorok lineáris kombinációja
- mindez sor helyett oszlopra is elmondható
Determinánsok szorzási tétele:
\( \det(A\cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) \)
\( \det(A^k) = \det(A)^k \)
Reguláris mátrix
Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.
Az $A$ mátrix reguláris:
- \( \det(A) \neq 0 \)
- Létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
- RANG=n
- Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan független
- Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek csak egy megoldása van
- Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak egy megoldása van (a triviális megoldás)
Szinguláris mátrix
Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.
Az $A$ mátrix szinguláris:
- \( \det(A) = 0 \)
- Nem létezik $A^{-1}$ inverz mátrix
- RANG<n
- Az $A$ mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer lineárisan összefüggő
- Az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszernek vagy végtelen sok megoldása van vagy nincs megoldása
- Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van
Cramer szabály
A Cramer szabály szerint az $A\cdot \underline{x} = \underline{b}$ egyenletrendszer megoldásai a következőképp állnak elő:
\( x_k = \frac{ \det(A_k)}{ \det(A)} \)
ahol $\det(A_k)$ annak a mátrixnak a determinánsát jelenti, hogy az $A$ mátrix k-adik oszlopát kicseréljük a $\underline{b}$ vektorral.
Karakterisztikus egyenlet
A karakterisztikus egyenlet a sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet:
\( \det(A-\lambda \cdot I) = 0 \)
Karakterisztikus polinom
A karakterisztikus polinom:
\( \det(A- \lambda \cdot I) \)
Sajátérték
Az $A$ nxn-es mátrix sajátértéke egy olyan $\lambda$ valós szám, amelyhez van valami $\underline{v}$ nem nullvektor, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
Sajátvektor
Az $A$ nxn-es mátrix sajátvektora egy olyan $\underline{v}$ nem nullvektor, amelyhez van valami $\lambda$ valós szám, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
Diagonális alak, mátrixok diagonalizálása
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Diagonalizálás
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Mátrixok diagonális alakja
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Főminor
Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
Pl.: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 7 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 4 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}$
első főminora a 2-es
második főminora a bal felső 2x2-es determináns
\( \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = 2\cdot 7 - 3\cdot 4 = 2 \)
és így tovább
Indefinit mátrix
Az $A$ nxn-es mátrix indefinit, ha van $\lambda_1$ és $\lambda_2$ sajátérték, hogy $ \lambda_1 > 0$ és $\lambda_2<0$.
Ha $\det(A) \neq 0$ és nem pozitív vagy negatív definit, akkor indefinit.
Negatív definit mátrix
Az $A$ nxn-es mátrix negatív definit, ha minden $\lambda$ sajátérték: $ \lambda < 0$.
Vagy ha a sarokfőminorok váltakozva $- + - +$ de mínusszal indul.
Negatív szemidefinit mátrix
Az $A$ nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden $\lambda$ sajátérték: $ \lambda \leq 0$.
2x2-es mátrixoknál, ha az első sarokfőminor negatív, a második nulla.
Pozitív definit mátrix
Az $A$ nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden $\lambda$ sajátérték: $ \lambda > 0$.
Vagy ha minden sarokfőminor pozitív.
Pozitív szemidefinit mátrix
Az $A$ nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden $\lambda$ sajátérték: $ \lambda \geq 0$.
2x2-es mátrixoknál, ha az első sarokfőminor pozitív, a második nulla.
Sarok főminor
Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
Pl.: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 7 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 4 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}$
első sarokfőminora a 2-es
második sarokfőminora a bal felső 2x2-es determináns
\( \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = 2\cdot 7 - 3\cdot 4 = 2 \)
és így tovább
Kvadratikus alakok
Ha $A$ nxn-es szimmetrikus mátrix és $\underline{x}$ egy vektor $R^n$-ben, akkor a
\( Q(x)=\underline{x}^{*} \cdot A \cdot \underline{x} \)
kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.
Azért hívjuk kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés.
Kvadratikus alakok definitsége
A $Q(\underline{x}) = \underline{x}^{*} \cdot A \cdot \underline{x} $ kvadratikus alak
pozitív definit, ha minden $\underline{x} \neq \underline{0} $ vektorra $Q(\underline{x})>0$
negatív definit, ha minden $\underline{x} \neq \underline{0} $ vektorra $Q(\underline{x})<0$
pozitív szemidefinit, ha minden $\underline{x} \neq \underline{0} $ vektorra $Q(\underline{x})\geq0$
negatív szemidefinit, ha minden $\underline{x} \neq \underline{0} $ vektorra $Q(\underline{x})\leq0$
indefinit, ha van olyan $\underline{x}\neq \underline{0}$ és $\underline{y}\neq \underline{0}$, hogy $Q(\underline{x}) < 0 $ és $Q(\underline{y}) > 0 $
Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.
a) \( A= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Számítsuk ki az alábbi mátrix determinánsát.
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & -2 & -5 \\ -4 & -1 & 5 & 7 \\ 6 & 6 & 3 & -4 \end{pmatrix} \)
Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.
a) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
c) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)
Az alábbi mátrixnak milyen $p$ paraméter esetén létezik inverze, milyen $p$ paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen $p$ paraméterre lesz az $A \cdot \underline{x}=\underline{0} $ egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & p \end{pmatrix} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével.
\( 3x_1+2x_2-x_3=4 \)
\( x_1+x_2+x_3=7 \)
\( 2x_1+x_2+2x_3=10 \)
a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Számításaink során a bázis transzformációt használjuk.
a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Számításaink során a Gauss eliminációt használjuk.
A bázis transzformáció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A Gauss elimináció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A bázis transzformáció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
A Gauss elimináció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -6 & 1 \end{pmatrix} \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \)
Számoljuk ki az $A$ mátrixhoz és $\underline{x}$ vektorhoz tartozó kvadratikus alakokat.
a) \( A= \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)
c) Adott a $Q(\underline{x})$ kvadratikus alak, határozzuk meg ebből az $A$ mátrixot.
\( Q(\underline{x})=5x^2_1 -2 x^2_2+4x^2_3+8x_1x_2+7x_1x_3-6x_2x_3 \)
Döntsük el az alábbi kvadratikus alakok definitségét.
a) \( Q(\underline{x})= 3x^2_1+4x^2_2+9x^2_3+4x_1x_2+2x_1x_3+10x_2x_3 \)
b) \( Q(\underline{x})= -5x^2_1-2x^2_2-8x^2_3+6x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3 \)
MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
DEFINÍCIÓ: Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.
Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.
Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.
Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon
megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles
szorzatokat összeadjuk.
EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA
Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:
aminek a determinánsa
A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál
egyetlen számot.
Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk
mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!
EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA
A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,
ami szarrusz szabály néven ismert.
A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot
és leírjuk saját maga mögé még egyszer,
majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.
A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,
aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.
Ez a mátrix determinánsa.
A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.
Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,
ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.
Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa
Itt a elemhez tartozó aldetermináns.
Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.
Nézzünk egy példát!
Van itt ez a 3x3-as mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora
szerint fejtjük ki.
Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.
Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.
A harmadik megint plusszal.
Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,
hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.
És kész is.
Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!
Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is
a második sort kell nézni.
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
A KIFEJTÉSI TÉTEL
A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix
determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti
-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.
Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,
de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.
Nézzük a példát!
Van itt ez a 4x4-es mátrix:
Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki
a második sora szerint.
Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,
a végeredmény így is úgy is ugyanaz lesz.
A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos
de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!
A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.
A második elem plusszal van.
Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.
A negyedik elem pedig megint plusszal.
Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig
az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.
És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.
Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.
Megint jön a sakktábla.
Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.
Ezt kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,
de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.
Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!
Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.
Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,
de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.
Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.
Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!
Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!
számolunk…
És tényleg így is 0 jön ki!
AZ MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA
VAN CSUPA NULLA SORA
VAN KÉT AZONOS SORA
EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA
EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA
MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ
HA A MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ MÁTRIXBÓL, HOGY
EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,
KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK
EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK
Néhány nagyon izgalmas dolog fog kiderülni a mátrixok determinánsával kapcsolatban.
Vannak olyan speciális mátrixok, amiknek a determinánsát különösebb szenvedés nélkül ki tudjuk számolni. Ilyenek például az úgynevezett alsó vagy felső háromszögmátrixok.
Ezek determinánsa a főátló elemek szorzata.
Az egységmátrix is háromszögmátrix.
Vannak aztán a determinánsoknak különböző érdekes tulajdonságaik.
Nézzük ezeket meg, egy-egy példával.
Végül itt van egy fontos tétel, a determinánsok szorzási tétele, ami szerint
Ha a tételben a mátrix helyére is az mátrixot írjuk
sőt
Ha pedig az mátrixnak létezik inverze, akkor a szorzási tétel alapján
SZINGULÁRIS ÉS REGULÁRIS MÁTRIXOK
Az -es mátrixokat két nagy csoportba sorolhatjuk. Vannak azok a mátrixok melyeknek a determinánsa nulla és vannak azok, amiknek nem.
Ez a kis eltérés valójában hatalmas szakadékot jelent a kétféle csoport között.
AZ MÁTRIX REGULÁRIS
LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX
RANG=n
AZ MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ
VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN FÜGGETLEN
AZ EGYENLETRENDSZERNEK
CSAK EGY MEGOLDÁSA VAN
AZ HOMOGÉN LINEÁRIS
EGYENLETRENDSZERNEK CSAK EGY
MEGOLDÁSA VAN (A TRIVIÁLIS MEGOLDÁS)
AZ MÁTRIX SZINGULÁRIS
NEM LÉTEZIK INVERZ MÁTRIX
RANG<n
AZ MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ
VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ
AZ EGYENLETRENDSZERNEK
VAGY VÉGTELEN SOK MEGOLDÁSA VAN
VAGY NINCS MEGOLDÁSA
AZ HOMOGÉN LINEÁRIS
EGYENLETRENDSZERNEK VÉGTELEN
SOK MEGOLDÁSA VAN
Itt van például egy mátrix.
Nézzük meg milyen paraméter esetén létezik inverze, milyen paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen paraméterre lesz az
egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.
Az összes kérdésre egyszerre megkapjuk a választ, ha kiszámoljuk a mátrix determinánsát.
Akkor létezik inverz, ha a mátrix reguláris, vagyis a determinánsa nem nulla:
Akkor lesz a determináns éppen nulla, ha
És akkor lesz az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása, ha a mátrix szinguláris, vagyis a determinánsa nulla,
Itt van két izgalmas definíció, amik eléggé hasonlók egymáshoz és az is közös bennük, hogy első ránézésre nehéz lenne megmondani mire jók valójában.
SAJÁTÉRTÉK: Az -es mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, amelyhez van valami valós szám, hogy
SAJÁTVEKTOR: Az -es mátrix sajátértéke egy olyan valós szám, amelyhez van valami nem nullvektor, hogy
De aggodalomra semmi ok, lássunk inkább egy konkrét példát.
Van egy remek -es mátrix
és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek mondjuk az és a vektor.
Elsőként az vektort nézzük meg. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy
Sajnálatos módon azonban ilyen nem létezik.
Ha ugyanis , akkor a 9 nem fog kijönni, ha , akkor pedig a 3 nem jön ki.
Próbálkozhatunk persze még egyéb számokkal is, de akkor pedig se a 3, se a 9 nem jön ki. Vagyis az vektor nem sajátvektora az mátrixnak.
Lássuk mi a helyzet a vektorral. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy
Ilyen létezik, mégpedig . A vektor tehát az mátrixnak sajátvektora,
és a hozzá tartozó sajátérték . A következőkben arról lesz szó, hogyan tudjuk megtalálni egy mátrix összes sajátértékét és sajátvektorát.
Egy általános módszert fogunk kifejleszteni a sajátvektorok és sajátértékek kiszámolására, aminek lényege, hogy
Rendezzük nullára.
És emeljük ki a vektort
Csakhogy van egy kis gond.
Nem sok értelme van ugyanis annak, hogy mert az egyikük egy mátrix, a másik pedig valamilyen szám, ezért a kivonás nem elvégezhető.
Szükség van tehát egy kis trükközésre.
A trükk lényege, hogy segítségül hívjuk az egységmátrixot, ami azt tudja, hogy bármilyen vektorra
odacsempésszük tehát az egységmátrixot
És így már tényleg ki lehet emelni.
Amit ezzel kaptunk, az nem más, mint egy egyenletrendszer.
Ennek biztosan megoldása az , és akkor van más megoldása is, ha .
Nekünk éppen ezek a más megoldások kellenek, azok a megoldások, amikor
tehát azt kell kiderítenünk, mikor lesz .
Vagyis most ugye
Ez egy egyenlet lesz, amit meg kell oldanunk, és az egyenlet megoldásai éppen a sajátértékek.
Az így kapott sajátértékeket visszahelyettesítjük majd ide,
és ebből lesznek a sajátvektorok.
De menjünk szépen lépésről lépésre!
Számoljuk ki az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET
A főátló elemeiből kivonogatunk -kat, majd az így kapott determinánst egyenlővé tesszük nullával. Ez a karakterisztikus egyenlet.
2. A SAJÁTÉRTÉKEK
A karakterisztikus egyenlet megoldásai a sajátértékek.
3. A SAJÁTVEKTOROK
Az egyenletrendszer megoldásai a sajátvektorok.
Egy -es mátrixnak mindig koordinátából álló sajátvektorai
vannak, a megoldandó egyenletrendszer tehát valahogy így néz ki:
Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET
A főátló elemeiből kivonogatunk -kat,
majd az így kapott determinánst
egyenlővé tesszük nullával.
2. A SAJÁTÉRTÉKEK
A karakterisztikus egyen-
let megoldásai a sajátértékek.
3. A SAJÁTVEKTOROK
Az egyenletrendszer
megoldásai a sajátvektorok.
Egy -es mátrixnak mindig
koordinátából álló sajátvektorai vannak.
Ezt az egyenletrendszert kell megoldani:
Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.
A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat
kifejtjük a determinánst:
az így kapott egyenlet a karakterisztikus egyenlet
az egyenlet megoldásai a sajátértékek:
és
Lássuk a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! Mivel az mátrix -es ezért a sajátvektorok két koordinátásak lesznek:
Most pedig megkeressük a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.
A két sajátérték már megvan: és
Most két sajátérték van, ezért két egyenletrendszerünk lesz.
Az egyik, amikor a másik, amikor
Az egyik egyenletrendszer, amikor a másik, amikor
Az egyenletrendszert bázistranszformációval oldjuk meg,
akinek ezzel kapcsolatos emlékei esetleg elhalványultak, nézze meg
az erről szóló nagyon izgalmas témakört.
A sajátvektorok:
A másik sajátvektor hasonlóan izgalmas módon:
A bázistranszformáció itt véget ér, így hát leolvassuk a megoldásokat.
A fönt maradt -et elnevezzük t-nek és s-nek.
Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit
és sajátvektorait.
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.
Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.
És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.
Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.
A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.
Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.
Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:
kiesik a konstans tag
Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.
Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,
de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.
Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.
Emeljünk ki 2-t.
A kettes módszer itt nem működik,
ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.
A másodfokú részt felbontjuk,
aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.
Van egy ilyen, hogy
emlékeztetőül:
A másodfokú izét szorzattá alakítjuk
Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,
aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.
Itt összevonunk:
Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,
mert a kétszeres sajátérték.
Jöhetnek a sajátvektorok!
Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.
Belerakjuk a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
Itt a bázistranszformáció elakad.
Ha két x is fönt mard,
az egyik t, a másik s
Most már itt se folytatható.
Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és
már foglalt, legyen .
A sajátvektor ha
ahol
És a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátvektor ha
Ha egy -es mátrixnak van darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
a főátlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
itt vagyis egyszerűen úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé.
Nézzünk meg erre egy példát!
Állítsuk elő ennek a -as mátrixnak a diagonális alakját.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁSA
A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat, és vesszük a determinánsát:
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
2. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSAI A SAJÁTÉRTÉKEK
Most három sajátérték van, ; és .
Mindhárom sajátértékhez megkeressük a hozzá tartozó sajátvektort.
3. A SAJÁTÉRTÉKEKHEZ TARTOZÓ SAJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE
A sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk az
egyenletrendszert:
Az egyenletrendszereket bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek a bázistranszformációval kapcsolatos emlékei sajnálatos módon
elhalványultak, az nézze meg az erről szóló részt.
A bázistranszformáció elakadt, -et nem tudjuk lehozni, így elnevezzük –nek.
Leolvassuk a megoldást.
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
Most jöhet a többi sajátvektor. Megint az egyenletrendszert kell megoldanunk:
Belerakjuk a -t
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
és a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
Úgy tűnik van három független sajátvektor, tehát a mátrix
diagonalizálható, a diagonalizáló mátrix pedig
A diagonális alakot az eredeti mátrixból a diagonalizáló mátrix
segítségével állítjuk elő:
A szorzásokat elvégezni azonban felesleges, mert a diagonális alak mindig úgy néz ki, hogy a főátlóban vannak a sajátértékek, az összes többi elem pedig nulla.
A sajátértékeket már régóta tudjuk
A diagonális alak tehát:
Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.
Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.
Van itt egy mátrix:
Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es
A második sarokfőminor a
bal felső -es determináns
A harmadik sarokfőminor a
bal felső -as determináns
Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy
A negyedik sarokfőminor pedig
az egész mátrix determinánsa
Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint
A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.
A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.
Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,
a harmadik és negyedik pedig negatív.
Lássuk a definitséget.
Az -es mátrix
pozitív definit,
ha
negatív definit,
ha
pozitív szemidefinit,
ha
negatív szemidefinit,
ha
indefinit,
ha
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
minden sajátérték:
van és sajátérték
és
-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:
mindkét sarokfőminor
pozitív
az első negatív, a
második pozitív
az első pozitív, a
második nulla
az első negatív, a
második nulla
a többi esetben
-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:
minden sarokfőminor
pozitív
váltakozva - + - +
de mínusszal indul
Ha és nem az előző két esettel van dolgunk,
akkor biztosan indefinit.
Ha akkor nem tudni, ilyenkor csak
a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.
Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.
Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.
A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Az mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.
Nézzük mi van a mátrixszal.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15
A mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.
Jöhet a .
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1
A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +
Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.
Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.
A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.
Most ami nem éppen nulla, tehát indefinit.
A mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,
viszont miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.
Végül lássuk mi van -vel.
első sarokfőminor:
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.
Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik
szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,
ha kiszámoljuk a sajátértékeit.
Lássuk tehát a sajátértékeket.
A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki
Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.
Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.
és összevonunk
végül kiemelünk
A sajátértékek:
Kiemelünk 3-at
Mindhárom sajátértékre teljesül, hogy
a mátrix tehát pozitív szemidefinit.
Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig
különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-
vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.
Így hát is diagonalizálható.
Lássuk a hasonló mátrixokat!
így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,
csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.
Ha szimmetrikus mátrix és egy vektor -ben, akkor a
kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.
Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.
Legyen mondjuk
és
A hozzájuk tartozó kvadratikus alak
Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.
Aztán még ezeket is összeszorozzuk.
És felbontjuk a zárójeleket.
Íme itt a kvadratikus alak.
Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,
vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.
Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.
és
Most az mátrix -as, így az vektornak is 3 koordinátája van.
Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.
Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.
A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne aztán lesz és , meg lesznek vegyes tagok.
A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az mátrix.
Hát ez kész.
A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.
ez például jó is:
Van itt egy kvadratikus alak:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyan vektort könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
Olyat már nehezebb, amire negatív,
de azért ilyen is van.
Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyat most is könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
próbáljuk ki ezt:
Olyat viszont nehezebb, amire negatív.
Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.
Ez a kvadratikus alak tehát
tud pozitív és negatív is lenni.
Ez a kvadratikus alak viszont
csak pozitív tud lenni
A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.
A kvadratikus alak
pozitív definit, ha minden
vektorra
negatív definit, ha minden
vektorra
pozitív szemidefinit, ha minden
vektorra
negatív szemidefinit, ha minden
vektorra
indefinit, ha van olyan és ,
hogy és
A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
indefinit
Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.
Lássuk a mátrixot!
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.
első sarokfőminor:
3
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
ez tutira 13
Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez jönnek a sarokfőminorok.
első sarokfőminor:
-5
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.
