Független és összefüggő vektorok
Vektortér axiómák
A $V$ nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha a $V$ halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ és $\underline{v}_2$ vektorhoz hozzárendelünk egy $\underline{v}_1 + \underline{v}_2$ vektort, ami szintén eleme $V$-nek.
1. Az összeadás kommutatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra
\( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 = \underline{v}_2 + \underline{v}_1 \)
2. Az összeadás asszociatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3$ $V$-beli vektorra
\( (\underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) + \underline{v}_3 = \underline{v}_1 + ( \underline{v}_2 + \underline{v}_3 ) \)
3. Létezik nullelem: van olyan $\underline{0}$ $V$-beli vektor, hogy bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra
\( \underline{v}_1 + \underline{0} = \underline{0} + \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)
4. Létezik ellentett: bármely $\underline{v}_1$ $V$ beli vektorra létezik olyan $-\underline{v}_1$ $V$-beli vektor, hogy
\( \underline{v}_1 + (-\underline{v}_1) = - \underline{v}_1 + \underline{v}_1 = \underline{0} \)
Értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet is úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy $\lambda \cdot \underline{v}_1 $ vektort, ami szintén $V$-beli.
5. A skalárszoros asszociatív: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra
\( ( \lambda \cdot \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot ( \mu \cdot \underline{v}_1 ) \)
6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra és $\lambda$ skalárra
\( \lambda \cdot ( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \lambda \cdot \underline{v}_2 \)
7. A skalárszoros disztributív a skalárokra: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra
\( ( \lambda + \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \mu \cdot \underline{v}_1 \)
8. Egységszeres: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és az 1 valós számra
\( 1 \cdot \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)
Lineárisan független vektorok
A $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3, \dots , \underline{v}_n$ vektorok lineárisan függetlenek, ha
\( \lambda_1 \cdot \underline{v}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{v}_2 + \lambda_3 \cdot \underline{v}_3 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{v}_n = \underline{0} \)
csak úgy teljesül, ha minden $\lambda_i = 0$
Lineárisan összefüggő vektorok
A $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3, \dots , \underline{v}_n$ vektorok lineárisan összefüggők, ha
\( \lambda_1 \cdot \underline{v}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{v}_2 + \lambda_3 \cdot \underline{v}_3 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{v}_n = \underline{0} \)
úgy is teljesül, hogy van olyan $\lambda_i \neq 0$
Bázis
A bázis független generátorrendszer.
A bázis minden vektort egyértelműen előállít, míg $R^{*}$-ben azok a generátor-rendszerek pedig, amelyek $n$-nél több vektorból állnak, minden vektort végtelensokféleképpen.
Független rendszer
A $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3, \dots , \underline{v}_n$ vektorok független rendszert alkotnak, ha
\( \lambda_1 \cdot \underline{v}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{v}_2 + \lambda_3 \cdot \underline{v}_3 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{v}_n = \underline{0} \)
csak úgy teljesül, ha minden $\lambda_i = 0$
Generátorrendszer
Egy $V$ vektortérben a $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3, \dots, \underline{v}_n$ vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden $\underline{w}$ vektor a $V$ vektortérben előáll $\underline{w} = \lambda_1 \cdot \underline{v}_1 + \lambda_2 \cdot \underline{v}_2 + \lambda_3 \cdot \underline{v}_3 + \dots + \lambda_n \cdot \underline{v}_n $ alakban.
Vektorrendszer rangja
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma. $R^3$-ban a rang például maximum három lehet.
Altér
A $V$ vektortérnek $W$ altere, ha $W \subset V$ és $W$ maga is vektortér a $V$-beli műveletekre.
Vektor kompatibilitása vektorrendszerrel = vektorok előállíthatósága
Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.
Vektorteret alkotnak-e?
a) Komplex számok
b) Másodfokú polinomok
c) Legfeljebb másodfokú polinomok
Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.
\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Döntsük el, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetelenek vagy összefüggőek.
\( \underline{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)
Töltsük ki az alábbi táblázatot.
| vektorok száma | megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen $R^3$-ban | megadható-e ennyi vektor, hogy generátor-rendszer legyen $R^3$-ban |
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 |
Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c} \in R^n$ vektorok. Az alábbi állítások közül melyik igaz?
a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.
b) Ha $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
c) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{c}-\underline{a}$ is lineárisan független.
d) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ is lineárisan független.
e) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is lineárisan független.
f) Ha $\underline{a}-\underline{b}$, $\underline{b}-\underline{c}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
a) Bontsuk fel a $\underline{v}$ vektort az $\underline{a}, \underline{b}$ és $\underline{c}$ vektorokkal párhuzamos komponensekre.
\( \underline{v}= \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)
\( \underline{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
b) Egy síkban vannak-e az $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ vektorok?
\( \underline{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \)
a) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^3$-nak, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a+1 \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)
b) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^4$-nek, ha igen, adjunk meg egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \; \Bigg| \; \begin{matrix} a,b,c,d \in R \\ a=b \\ \text{és} \\ c=3d \end{matrix} \right\} \)
Legyen $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ $R^n$-beli vektorok. Az alábbi állítások közül melyek igazak?
a) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan független.
b) Ha $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ lineárisan összefüggő, akkor $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ is lineárisan összefüggő.
c) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ generátor-rendszer, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
d) Ha $\underline{a}+\underline{b}$, $\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{c}+\underline{a}$ lineárisan független, akkor $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ is az.
Vizsgáljuk meg, hogy $W \subset V$ halmaz altére-e $V$-ben. Ha igen, adjunk meg a dimenzióját és egy bázisát.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a-b \end{pmatrix} \Bigg| \; a,b \in R \right\} \)
Az alábbi bázist alakítsuk át ortogonális bázissá a Gram-Schmidt-ortogonalizáció segítségével.
\( \underline{b_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{b_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b_3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
a) Vizsgáljuk meg, hogy $V$ altere-e $R^3$-nak, ha igen, adjuk meg a dimenziószámát és egy bázist $V$-ben.
\( V= \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3: 3x-7y+4z=0 \right\} \)
b) Vizsgáljuk meg, hogy $W$ altere-e $R^4$-nek, ha igen, adjuk meg a dimenziószámát és egy bázist $W$-ben.
\( W= \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in R^4: 5x_1-8x_2+4x_3-x_4=0 \right\} \)
Legyenek $\underline{u}$, $\underline{v}$ és $\underline{w}$ lineárisan független vektorok $R^n$-ben. A $p$ valós paraméter milyen értékeire teljesül, hogy az $\underline{a}=\underline{u}-\underline{v}$, $\underline{b}=\underline{u}+\underline{w}$, $\underline{c}=\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}$, $\underline{d}=p\cdot \underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$ vektorok szintén lineárisan függetlenek?
Döntsük el, hogy az $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ vektorokból álló vektorrendszer bázis-e $R^3$-ban, és ha igen, akkor határozzuk meg a $\underline{d}$ vektor koordinátavektorát eszerint a bázis szerint.
\( \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
\( \underline{c}=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Határozzuk meg az alábbi, $R^3$-beli vektorok generált alterét. Amennyiben ez az eltér egyenes vagy sík, adjuk meg az egyenletét vagy egyenletrendszerét.
a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 13 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \)
b) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -12 \end{pmatrix} \quad \underline{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} \)
Az $R^n$-beli $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ vektorok lineárisan függetlenek. Igaz-e, hogy ekkor az $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{a}+\underline{b}+3\underline{c}$, $3\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$ vektorok is biztosan lineárisan függetlenek?
a) Alteret akot-e $R^2$-ben azon $(x,y)$ vektorok halmaza, melyekre teljesül, hogy $x^2=y^2$?
b) Alteret akot-e $R^3$-ban azon $(x,y,z)$ vektorok halmaza, melyekre teljesül, hogy $xy=yz$?
Adjunk meg $R^4$-ben egy, az $\underline{u}$, $\underline{v}$, és $\underline{w}$ vektorokat tartalmazó bázist, majd írjunk fel ebben a bázisban az $\underline{a}$ koordinátavektorát.
\( \underline{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)
\( \underline{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 11 \\ -1 \end{pmatrix} \)
VEKTORTEREK
Elérkezett az idő, hogy tisztázzunk néhány fontos fogalmat.
Az első és legfontosabb fogalom a vektortér fogalma, ami tulajdonképpen vektoroknak egy olyan halmaza, amely teljesít néhány speciális tulajdonságot.
Kétféle műveletet értelmezünk, egy összeadást és egy számmal való szorzást.
Az összeadás művelet szereplői vektorok, míg a számmal való szorzásnál egy vektort szorzunk meg egy számmal.
Ezek a bizonyos számok lehetnek valós számok, ilyenkor a vektorteret valós számok feletti vektortérnek nevezzük, de lehetnek például komplex számok is, és akkor a vektortér komplex feletti.
A kétféle műveleten kívül a vektortérben egyéb művelet nincsen, tehát nem értelmezzük a vektorok egymással való összeszorzását, sem a skaláris szorzatot sem pedig a diadikus szorzatot.
A kétféle művelettel kapcsolatban teljesülnie kell további tulajdonságoknak, amiket vektortér-axiómáknak nevezünk. Ezek jönnek most.
A nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha
a halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli és vektorhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén eleme -nek.
1. Az összeadás kommutatív: bármely ; -beli vektorra
2. Az összeadás asszociatív: bármely ; ; -beli vektorra
3. Létezik nullelem: van olyan -beli vektor, hogy bármely -beli vektorra
4. Létezik ellentett: bármely -beli vektorra létezik olyan -bel vektor, hogy
és értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén -beli.
5. A skalárszoros asszociatív: bármely -beli vektorra és ; skalárra
6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely ; -beli vektorra és skalárra
7. A skalárszoros disztributív a skalárokra bármely -beli vektorra és ; skalárra
8. Egységszeres: bármely -beli vektorra és az 1 valós számra
A valós számok feletti vektorteret -el szokás jelölni, ahol ez a bizonyos n a vektorok koordinátáinak a számára utal.
Egy síkban elhelyezkedő vektorok két koordinátával is megadhatók, ezért minden sík egy vektortér.
A térbeli vektoroknak már három koordinátájuk van, így a tér .
Vannak persze háromnál több koordinátával rendelkező vektorok is, ezek geometriai megfelelői azonban a mi kis háromdimenziós világunkban nehezen elképzelhetők.
Érdemes azonban elgondolkodni azon, hogy egy sík vektorainak nem szükségszerűen csak két koordinátájuk lehet.
Megadhatjuk őket három vagy akár négy koordinátával is legfeljebb bizonyos koordináták nullák. A koordináták száma tehát csak a lehetőséget teremti meg az új irányok számára.
Ez elvezet bennünket két nagyon fontos fogalomhoz is, az egyik a dimenzió a másik az altér.
Az altér arról szól, hogy nem használjuk ki a vektorok összes koordinátáját, míg a dimenzió éppen a maximálisan kihasználható koordináták száma.
Például azok a vektorok -ban, amelyek harmadik koordinátája nulla egy altér, ráadásul kétdimenziós altér, mert két koordinátát használunk.
Mindezt jóval precízebben és matematikailag
megfogható módon is képesek leszünk meg-
fogalmazni, de ehhez előbb szükségünk
van néhány alapvető fontosságú
fogalom tisztázására.
Ezek jönnek most.
LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK
Kezdjük két izgalmas definícióval. Először lássuk mit is akarnak ezek pontosan, aztán rögtön nézünk is rájuk példákat, hogy mindez érthető is legyen.
A vektorok lineárisan függetlenek, ha
csak úgy teljesül, ha minden
A vektorok lineárisan összefüggők, ha
úgy is teljesül, hogy van olyan
Nézzünk ezekre példákat! Itt vannak mondjuk ezek a vektorok:
Nézzük meg, hogy ezek a vektorok melyik típusba tartoznak, vagyis hogyan lesz
Ha mindegyik akkor persze a nullvektort kapjuk.
Az már érdekesebb, hogy ha akkor
nos akkor is a nullvektort kapjuk.
Tehát úgy is ki tud jönni a nullvektor, ha nem minden , sőt most éppen egyik se. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ezek a vektorok lineárisan összefüggők.
Ennek az a nagyon egyszerű magyarázata, hogy a harmadik vektor az első kettő összege.
Vagyis a harmadik vektor a másik két vektor segítségével előállítható, összefügg velük.
Ezt a tényt nevezzük úgy, hogy a vektorok lineárisan összefüggők és ezért kaphatunk nullvektort úgy, hogy nem mindegyik .
Vannak aztán olyan vektorok is, amik nem függnek össze.
Nézzük meg, mi a helyzet ezekkel:
Az, hogy ha mindegyik vektorból nullát veszünk, most is nullvektort kapunk nem túl meglepő.
Ami érdekesebb, hogy ezúttal semmilyen más esetben nem kaphatunk nullvektort.
Ha például az első vektorból nem nullát veszünk, biztosan nem kaphatunk nullvektort.
Nézzük meg! Vegyünk belőle mondjuk 6-ot.
A második és harmadik vektor első koordinátája nulla, ők tehát nincsenek hatással az első koordináta alakulására. A második és harmadik vektorból így vehetünk bármennyit, az első koordináta így is úgy is az lesz, hogy 6.
Ha tehát nullvektort szeretnénk, az első vektorból mindenképpen nullát kell vennünk.
Aztán jön a második vektor. Ha nem nullát veszünk belőle, akkor a második koordinátával adódnak problémák.
Az első és harmadik vektorok ugyanis nincsenek hatással a második koordináta alakulására.
És hasonló a helyzet a harmadik vektorral is. Ezek a vektorok tehát lineárisan függetlenek.
Csak úgy kaphatunk nullvektort, ha mindegyikből nullát veszünk.
Megkérdezhetjük persze, hogy tulajdonképpen miért ennyire fontos ez, hogy mindenféle vektorokból miként állítható elő a nullvektor. A válasz hamarosan kiderül. Nézzük meg a következő képsort!
Egy V vektortérben a vektorok generátor-rendszert alkotnak,ha minden
vektor a V vektortérben előáll alakban.
Vegyük például az vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret.
Ebben a vektortérben generátor-rendszert alkot a
mert segítségükkel minden vektor előáll.
Nézzük meg! Van itt mondjuk egy vektor
ami valóban előállítható a vektorokkal.
Bármilyen vektor előállítható. Ha mondjuk
Akkor íme, már meg is van:
Ha ezekhez a vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk.
Vegyük hozzá mondjuk ezt:
Ha a vektort eddig elő tudtuk előállítani, akkor ezután is elő tudjuk:
Egyszerűen nullát veszünk az új vektorból, így olyan,mintha az új vektor ott se volna.
Ha viszont az eredeti generátorrendszerből egy vektort elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.
Próbáljuk csak meg a vektort a megmaradt két vektorból előállítani. Nem fog menni.
Érdemes tehát megjegyezni, hogy egy generátor-rendszerhez újabb vektorokat hozzávéve ismét generátor-rendszert kapunk, ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor már nem biztos.
A kérdés az, hogy -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátor-rendszer. Erről szól a következő remek táblázat.
vektorok
száma
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen
-ban
megadható-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer legyen -ban
1
2
3
4
5
Egy darab vektor biztosan megadható úgy, hogy független legyen, viszont nem elegendő ahhoz, hogy generáljon.
Ő egymaga, csak egy egyenest képes előállítani.
Két vektor is megadható úgy, hogy független legyen,viszont ezek sem generátor-rendszer.
Ezek ketten egy síkot feszítenek ki.
Vagyis a sík minden vektorát előállítják, de mást nem.
Három vektor még mindig megadható úgy, hogy független legyen, és ahogyan ezt már az előbb láttuk generátor-rendszer is lesz.
Ez a három vektor kifeszíti a teret.
Most vegyünk egy negyedik vektort is.
Mivel az eddigi három vektor generátor-rendszer, így bármi is ez a negyedik vektor, azt ők képesek előállítani.
Vagyis ezek négyen már nem függetlenek, de továbbra is generátor-rendszer.
Ugyanez a helyzet,ha hozzáveszünk még egy ötödik vektort is.
-ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek legyenek,de már generáljanak.
A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.
Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér dimenziója éppen három.
Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk,
független rendszert kapunk
(ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk,
generátor-rendszert kapunk
(ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)
Ha -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is
(mert bázis)
Ha -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer,
akkor ezek a vektorok függetlenek is
(mert bázis)
A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg -ben azok a
generátor-rendszerek pedig, amelyek n-nél több vektorból állnak,
minden vektort végtelensokféleképpen
Az előzőekben megnéztük mit jelent az, hogy egy vektorrendszer független, mit jelent
az, hogy összefüggő.
Aztán megnéztük mi az a generátor-rendszer.
Kiderült, hogy ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk, szintén generátor-rendszert kapunk. Ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.
Az is kiderült, hogy ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk, akkor továbbra is független rendszert kapunk, de ha újabb vektorokat veszünk hozzá, akkor előbb utóbb a vektorok már összefüggők lesznek.
Mindezt jól szemléltethetjük mondjuk az vektortérben,
vagyis a hétköznapi értelemben vett térben.
Ha egy független rendszerhez elkezdünk újabb vektorokat hozzávenni, az előbb utóbb összefüggő lesz.
Ha egy generátor-rendszerből elkezdünk vektorokat elhagyni, az előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.
És van egy mágikus pont amikor már éppen elég vektorunk van ahhoz, hogy generáljanak, de még nincsenek túl sokan ezért függetlenek.
Ezt a független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.
A bázis elemszámát pedig a vektortér dimenziójának.
Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok
maximális száma.
-ban a rang például maximum három lehet.
A rang kiszámolására később remek módszereink lesznek majd, jelenleg csak kevésbé megnyugtató módon, ránézésre tudjuk megállapítani.
Van itt például ez a vektorrendszer:
A negyedik vektor az első kétszerese,
így legjobb esetben is három független
vektorunk van.
A harmadik vektor pedig az első kettő
összege, így már csak két független
vektor maradt.
Ezek már függetlenek, tehát a rang 2,
de később lesz egy igazán remek
technológiánk a rang kiszámolására.
Egy vektorrendszer rangja Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok
maximális száma.
BÁZIS=FÜGGETLEN
GENERÁTOR-RENDSZER
A vektorok lineárisan függetlenek, ha
csak úgy teljesül, ha minden
A vektorok lineárisan összefüggők, ha
úgy is teljesül, hogy van olyan
Egy V vektortérben a vektorok
generátor-rendszer, ha minden vektor előáll
alakban.
Legyen vektorok.
Az alábbi állítások közül melyik igaz?
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Nézzük meg, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
[*]
Úgy tűnik mindegyike nulla, vagyis lineárisan függetlenek.
Ha generátor-rendszer,
akkor is az.
Az vektorok akkor generátor-rendszer,
ha minden vektort előállítanak:
A kérdés az, hogy ugyanez a előáll-e az
vektorokból is. Nézzük meg!
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
A jelek szerint előáll.
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Ez egészen biztosan nem igaz, mert
Vagyis van olyan lineáris kombinációjuk,
ami a nullvektort adja, pedig egyik vektorból
sem nulla darabot vettünk.
Ha lineárisan független, akkor
is lineárisan független.
Nézzük meg, hogy függetlenek-e.
Ehhez vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mindketten nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges,
hogy az egyik nem nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla,
vagyis és ami azt jelenti,
hogy is független.
Ha lineárisan független,
akkor is lineárisan független.
Ezúttal a
lineáris kombinációból indulunk ki.
Ezt kéne valahogy visszavezetni az
vektorok lineáris kombinációjára.
De néha nem árt kicsit gondolkodni.
Vegyük ugyanis például azt az esetet, amikor nullvektor.
Ekkor és ezek a vektorok függetlenek, de egészen biztosan összefüggő, mert köztük van a nullvektor.
Érdemes megjegyezni, hogy ha egy vektorrendszerben benne van a nullvektor, akkor az mindenképpen lineárisan összefüggő.
Ha generátor-rendszer,
akkor is az.
Nos az, hogy generátor-rendszer,
azt jelenti, hogy ők minden vektort előállítanak.
Mivel vektorokból viszont és
előáll, biztos, hogy generátor rendszer.
Az vektorokból először legyártjuk
és vektorokat, akik pedig, mivel generátor-
rendszer, már mindenki mást előállítanak.
Vagyis jegyezzük meg, hogy ha egy vektorrendszer vektoraiból elő tudunk állítani generátor-rendszert, akkor maguk a vektorok is generátor-rendszer.
ALTEREK
A vektortérnek altere, ha és maga is vektortér a -beli műveletekre.
Az altér tehát egy olyan részhalmaza a vektortérnek, ami a vektortér összes tulajdonságát átörökíti. Teljesülnek benne a vektortér-axiómák és a műveletek.
Van egy érdekes tétel ami megkönnyíti annak eldöntését, hogy egy részhalmaz valóban altér-e. A tétel azt mondja, hogy elegendő csak a műveleteket ellenőrizni és ha azok működnek, vagyis nem vezetnek ki a részhalmazból, akkor ennyi elég is, ahhoz, hogy altér legyen.
A vektortérnek altere, ha -beli műveletek nem vezetnek ki -ből.
Ennek az a magyarázata, hogy ha a műveletek nem vezetnek ki, vagyis és is benne van -ben akkor a vektortér-axiómák automatikusan teljesülnek.
nézzük meg!
A kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás a vektortér minden elemére, tehát a -beli elemekre is teljesül. A többi axióma pedig, lássuk csak:
Létezik nullelem -ben.
Hát persze, hogy létezik, mert benne van -ben és
Létezik ellentett -ben.
Ez is létezik, mert benne van -ben és
Végül pedig teljesül -ben,
mert ez ugye az egész vektortér minden elemére igaz.
Ezzel kiderült, hogy valóban elegendő csak annyit megvizsgálni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Nézzünk is meg egy ilyet!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Hát ez probléma! Az összeadás úgy tűnik kivezet -ből.
A jelek szerint tehát nem altér.
Nézzünk meg egy másikat is!
Vizsgáljuk meg, hogy altere-e -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist -ben.
Elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
itt
az összegük:
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma.
Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az és akkor miatt már nem szabad, a másik pedig és akkor miatt már nem szabad.
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát:
Legyen -beli vektor. Mely állítások igazak?
a) Ha lineárisan független, akkor is lineárisan független.
b) Ha lineárisan összefüggő, akkor is lineárisan összefüggő.
c) Ha generátor-rendszer, akkor is az.
d) Ha lineárisan független, akkor is az
a) Ha lineárisan független,
akkor is lineárisan független.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Úgy néz ki mind nulla, tehát a vektoraink függetlenek.
b) Ha lineárisan összefüggő,
akkor is lineárisan összefüggő.
Nézzük meg elsőként, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Nézzük meg elsőként, hogy függetlenek-e.
Vegyük egy lineáris kombinációjukat:
Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,
akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem
mindegyik nulla, akkor összefüggők.
Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .
Felbontjuk a zárójeleket :
Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab
és hány darab vektor van.
Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,
itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis
Vizsgáljuk meg, hogy a halmaz altér-e -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.
Elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt kell megnéznünk, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió annyi, ahány szabadon megadható paraméter van.
Most éppen két szabad paraméter van, és
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát:
Vizsgáljuk meg, hogy a halmaz altér-e -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.
Elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki.
Kezdjük az összeadással.
Azt kell megnéznünk, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.
Mivel a két vektor összegére is teljesül a koordináták közti összefüggés, az összeadás nem vezet ki.
Lássuk mi a helyzet a -szorossal!
Úgy tűnik ez is stimmel, tehát altér.
A dimenzió annyi, ahány szabadon megadható paraméter van.
Most éppen két szabad paraméter van, és
A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végigjátsszuk az összes lehetséges módon.
A bázis tehát:
