A $V$ nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha a $V$ halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ és $\underline{v}_2$ vektorhoz hozzárendelünk egy $\underline{v}_1 + \underline{v}_2$ vektort, ami szintén eleme $V$-nek.
1. Az összeadás kommutatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra
\( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 = \underline{v}_2 + \underline{v}_1 \)
2. Az összeadás asszociatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3$ $V$-beli vektorra
\( (\underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) + \underline{v}_3 = \underline{v}_1 + ( \underline{v}_2 + \underline{v}_3 ) \)
3. Létezik nullelem: van olyan $\underline{0}$ $V$-beli vektor, hogy bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra
\( \underline{v}_1 + \underline{0} = \underline{0} + \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)
4. Létezik ellentett: bármely $\underline{v}_1$ $V$ beli vektorra létezik olyan $-\underline{v}_1$ $V$-beli vektor, hogy
\( \underline{v}_1 + (-\underline{v}_1) = - \underline{v}_1 + \underline{v}_1 = \underline{0} \)
Értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet is úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy $\lambda \cdot \underline{v}_1 $ vektort, ami szintén $V$-beli.
5. A skalárszoros asszociatív: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra
\( ( \lambda \cdot \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot ( \mu \cdot \underline{v}_1 ) \)
6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra és $\lambda$ skalárra
\( \lambda \cdot ( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \lambda \cdot \underline{v}_2 \)
7. A skalárszoros disztributív a skalárokra: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra
\( ( \lambda + \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \mu \cdot \underline{v}_1 \)
8. Egységszeres: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és az 1 valós számra
\( 1 \cdot \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)
