Vektortér axiómák | mateking
 

Vektortér axiómák

A $V$ nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha a $V$ halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ és $\underline{v}_2$ vektorhoz hozzárendelünk egy $\underline{v}_1 + \underline{v}_2$ vektort, ami szintén eleme $V$-nek.

1. Az összeadás kommutatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra

\( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 = \underline{v}_2 + \underline{v}_1 \)

2. Az összeadás asszociatív: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \underline{v}_3$ $V$-beli vektorra

\( (\underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) + \underline{v}_3 = \underline{v}_1 + ( \underline{v}_2 + \underline{v}_3 ) \)

3. Létezik nullelem: van olyan $\underline{0}$ $V$-beli vektor, hogy bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra

\( \underline{v}_1 + \underline{0} = \underline{0} + \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)

4. Létezik ellentett: bármely $\underline{v}_1$ $V$ beli vektorra létezik olyan $-\underline{v}_1$ $V$-beli vektor, hogy

\( \underline{v}_1 + (-\underline{v}_1) = - \underline{v}_1 + \underline{v}_1 = \underline{0} \)

Értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet is úgy, hogy minden $V$-beli $\underline{v}_1$ vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy $\lambda \cdot \underline{v}_1 $ vektort, ami szintén $V$-beli.

5. A skalárszoros asszociatív: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra

\( ( \lambda \cdot \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot ( \mu \cdot \underline{v}_1 ) \)

6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2$ $V$-beli vektorra és $\lambda$ skalárra

\( \lambda \cdot ( \underline{v}_1 + \underline{v}_2 ) = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \lambda \cdot \underline{v}_2 \)

7. A skalárszoros disztributív a skalárokra: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és $\lambda, \mu$ skalárra

\( ( \lambda + \mu ) \cdot \underline{v}_1 = \lambda \cdot \underline{v}_1 + \mu \cdot \underline{v}_1 \)

8. Egységszeres: bármely $\underline{v}_1$ $V$-beli vektorra és az 1 valós számra

\( 1 \cdot \underline{v}_1 = \underline{v}_1 \)