Koordinátageometria a térben

A vektor egy irányított szakasz.

Jelölése: $\underline{v} = \overrightarrow{AB} $

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b}=(b_1,b_2)$

A két vektor összege:

\( \underline{a} + \underline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \)

A két vektor különbsége:

\( \underline{a} - \underline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2) \)

\( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Van itt az $\underline{a}=(a_1, a_2)$ és $\underline{b}=(b_1, b_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ vektor hossza:

\( \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \)

Az $ \vec{AB} $ vektor hossza:

\( \vec{AB} = \mid \underline{b} - \underline{a} \mid = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 } \)

És pont ugyanígy kapjuk meg az $A$ és $B$ pontok távolságát is.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Tehát \( \vec{AB} = \underline{b} - \underline{a} \)

Van itt két vektor: $\underline{a}=(a_1, a_2)$, $\underline{b} = (b_1, b_2)$.

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok skaláris szorzata:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} =  a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög

$\mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$\mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $, vagyis a $\underline{b}$ vektor hossza

Két vektor merőleges egymásra, ha $\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$.

Van itt az $\underline{a}= (a_1, a_2)$ vektor.

Az $\underline{a}$ +90°-os elforgatottja:

\( a^{+90°} = (-a_2, a_1) \)

Az $\underline{a}$ -90°-os elforgatottja:

\( a^{-90°} = (a_2, -a_1) \)

Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk így:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = \mid \underline{a} \mid \cdot \mid \underline{b} \mid \cdot \cos{\gamma} \)

ahol $\gamma$ a két vektor által bezárt szög,

$ \mid \underline{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2 }$, vagyis az $\underline{a}$ vektor hossza

$ \mid \underline{b} \mid = \sqrt{b_1^2+b_2^2 }$, vagyis az $\underline{b}$ vektor hossza

Illetve kiszámolhatjuk így is:

\( \underline{a} \cdot \underline{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz ha $ \underline{a} \cdot \underline{b} = 0 $.

A $P(x_0, y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A \left( x-x_0 \right) + B \left( y-y_0 \right) = 0 \)

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}$ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\left( x-x_0 \right) + B \left(y-y_0 \right) + C \left( z-z_0 \right) = 0 \)

Van a síkban két pont: $P(x_1, y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix} \)

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1, y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti vektor:

\( \vec{PQ} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{bmatrix} \)

Van itt két pont a síkban: $P(x_1,y_1)$ és $Q(x_2, y_2)$.

Ekkor a két pont közti távolság:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)

Ha a térben veszünk két pontot: $P(x_1,y_1, z_1)$ és $Q(x_2, y_2, z_2)$.

Akkor a két pont közti távolság a térben:

\( d = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1 -z_2)^2 } \)

A $P(x_0,y_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ normálvektorú egyenes egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0)+B\cdot (y-y_0)=0 \)

A $P(x_0, y_0, z_0)$ ponton átmenő és $\underline{n} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} $ normálvektorú sík egyenlete:

\( A\cdot (x-x_0) + B \cdot (y-y_0) + C \cdot (z-z_0) = 0 \)

Van itt két vektor: $\underline{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$  és $\underline{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

A két vektor vektoriális szorzata:

\( \underline{a} \times\underline{b} = \det{ \begin{bmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}} \)

Az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok vektoriális szorzata az $\underline{a} \times \underline{b}$ vektor, ami merőleges az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok által kifeszített síkra, és

\( \underline{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad \underline{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \quad \underline{a} \times \underline{b} = \det{ \begin{pmatrix} \underline{e}_1 & \underline{e}_2 & \underline{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}} \)