Ha $A$ nxn-es szimmetrikus mátrix és $\underline{x}$ egy vektor $R^n$-ben, akkor a
\( Q(x)=\underline{x}^{*} \cdot A \cdot \underline{x} \)
kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.
Azért hívjuk kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés.
Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
Számoljuk ki az $A$ mátrixhoz és $\underline{x}$ vektorhoz tartozó kvadratikus alakokat.
a) \( A= \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)
b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)
c) Adott a $Q(\underline{x})$ kvadratikus alak, határozzuk meg ebből az $A$ mátrixot.
\( Q(\underline{x})=5x^2_1 -2 x^2_2+4x^2_3+8x_1x_2+7x_1x_3-6x_2x_3 \)
