- Kombinatorika
- Gráfelméleti alapok
- Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok
- Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága
- Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban
- Menger tételei, többszörös összefüggőség
- CPM és PERT algoritmus
- Páros gráfok, párosítások
- Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok
- Gráfparaméterek, párosítások
- Maximális folyam, Ford-Fulkerson-algoritmus
- Mátrixok és vektorok
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Lineáris leképezések
- Oszthatóság
- Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek
- Kongruenciák
Lineáris leképezések
Lineáris leképezés definíciója
A $\varphi$ leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2 \in V_1$ vektorokra és $\lambda \in R$ számra teljesül, hogy
\( \varphi( \underline{v}_1+\underline{v}_2) = \varphi( \underline{v}_1) + \varphi( \underline{v}_2) \)
\( \varphi(\lambda \cdot \underline{v}) = \lambda \cdot \varphi(\underline{v}) \)
Képtér
A $V_1 \rightarrow V_2$ lineáris leképezésnél $V_2$-nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és $Im\varphi$-vel jelöljük.
Magtér
A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis $\underline{0}$ képe mindig $\underline{0}$, de előfordulhat, hogy más $V_1$-beli vektorok képe is nullvektor lesz. Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és $Ker\varphi$-vel jelöljük.
Dimenziótétel
A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja $V_1$ dimenzióját.
Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:
\( \dim(Ker\varphi) + \dim(Im\varphi) = \dim(V_1) \)
Lineáris leképezés mátrixa
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist $V_1$-ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.
Új bázisra áttérés mátrixa
A $\varphi$ leképezésben minden vektor képét így kapjuk:
\( \varphi(\underline{v})=( \varphi)_b \cdot \underline{v} \)
Lineáris leképezés inverzének mátrixa
Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a $(\varphi)_b$ mátrixnak létezik inverze, és az inverz leképezés mátrixa:
$\varphi^{-1}$ mátrixa $(\varphi)^{-1}_b$
Lineáris leképezések kompozíciója
A $\varphi \circ \mu$ leképezés mátrixa:
\( ( \varphi \circ \mu)_b = (\varphi)_b \cdot (\mu)_b \)
Mátrixok diagonális alakja
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Sajátbázis
A $\varphi$ lineáris leképezésnek a $\underline{b}_1 \; \underline{b}_2 \; \dots \; \underline{b}_n$ bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
\( (\varphi)_b = \left( \varphi(\underline{b}_1) \; \varphi(\underline{b}_2) \; \varphi(\underline{b}_3) \; \dots \; \varphi(\underline{b}_n) \right) \)
Bármilyen bázist is választunk is $V_1$-ben, a leképezés mátrixa mindig egy nxn-es mátrix lesz. Ha ennek a mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor ezek a sajátvektorok szintén egy bázist alkotnak $V_1$-ben, amit sajátbázisnak nevezünk.
Hom (V1,V2)
A $V_1 \rightarrow V_2$ lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.
Hasonló mátrixok
Ha $A$ és $B$ olyan mátrixok, hogy létezik egy $C$ mátrix úgy, hogy
\( A = C^{-1} \cdot B \cdot C \)
akkor a két mátrix egymáshoz hasonló.
Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha
a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
a) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
b) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ 0 \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)
c) \( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a\cdot b \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját:
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.
\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-c \\ c-a \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)
A sík transzformációi közül melyek dimenzió tartó transzformációk?
Döntsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyek hasonlóak.
\( A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
\( C= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
a) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,0)$ vektorhoz, az $(1,1)$ vektorhoz, és az $(1,2)$ vektorhoz is az $(1,2)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
b) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció, mely az $(1,3)$ vektorhoz, az $(5,4)$ vektorhoz, és a $(4,3)$ vektorhoz is a $(2,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
c) Létezik-e olyan $\varphi: R^2 \to R^3$ lineáris transzformáció, mely az $(1,2)$ vektorhoz, a $(2,5,2)$ vektorhoz, és a $(2,1)$ vektorhoz is a $(4,1,1)$ vektort rendeli? Ha igen, adjuk meg a mátrixát.
A $ \varphi: R^2 \to R^2$ lineáris transzformáció az $(1,2)$ és a $(3,4)$ vektorhoz is az $(5,6)$ vektort rendeli. Írjuk fel $\varphi$ mátrixát, majd határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.
Adott egy $ \varphi: R^3 \to R^3$ lineáris transzformáció mátrixa. Határozzuk meg $ \dim{Im\varphi}$ és $ \dim{Ker\varphi}$ értékét.
\( \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy
Minden lineáris leképezés valahogy így néz ki:
Ha akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.
A leképezés a vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.
A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,
de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.
Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.
A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is. altér -ben és altér -ben.
A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja dimenzióját.
Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:
DIMENZIÓTÉTEL:
mateking.hu
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Vegyük például a tengelyes tükrözést.
Ez egy lineáris leképezés.
A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,
hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy lineáris leképezés.
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,
akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,
hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.
Van itt azonban egy izgalmas fordulat.
Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:
Addig minden stimmel, hogy megkaptuk az új bázisvektorok képeit.
Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.
Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból,
hogy előálljanak és képei.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból, hogy előálljanak és képei.
Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az vektor képe ugyanis
ami úgy tűnik éppen mínuszegyszerese.
Az vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.
Lássuk mi a helyzet az vektor képével. Itt is szerencsénk van.
ami éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.
Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!
A tükrözés mátrixa most is
úgy keletkezik, hogy egymás mellé
írjuk a bázisvektorok képeit.
Csakhogy új bázisvektorok képeinek
ezeket az új koordinátáit kell írnunk
a tükrözés mátrixába.
Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az vektor képe kerül.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis
ami pedig éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az új bázisban felírt mátrix:
Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
RÉGI BÁZIS
ÚJ BÁZIS
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.
Minden vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:
A vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen
megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.
Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során
ebből a remek vektorból:
A tükrözés mátrixa normál bázisban:
A vektor képe:
És tényleg!
Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.
Az új bázisban koordinátái megváltoznak.
A vektor éppen kétszerese -nek,
ezért az első koordinátája kettő,
a második koordináta pedig nulla.
A tükrözés mátrixa az új bázisban:
vagyis nulla darab -re és
–2 darab -re van szükség
Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.
Ha egy leképezés mátrixa akkor
a leképezés megfordításának mátrixa
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,
hogy a leképezés inverze.
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.
Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a mátrixnak létezik inverze,
és az inverz leképezés mátrixa:
mátrixa
Ha van két leképezés, mondjuk és a leképezések mátrixa pedig és ,
akkor a leképezés mátrixa lesz.
Nézzünk meg erre egy példát.
Legyen az eddigi tükrözés az x tengelyre,
pedig mondjuk tükrözés az y tengelyre.
Ekkor a két tükrözés egymás utáni
alkalmazása.
A leképezés mátrixa:
Az x tengelyre tükrözés mátrixa:
Az y tengelyre tükrözés mátrixa:
Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.
A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel
A leképezés mátrixa:
A leképezés a vektor
A leképezésben minden
vektor képét így kapjuk:
Ha létezik a leképezés
inverze, akkor mátrixa:
mátrixa
Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.
A leképezés mátrixa új bázisban felírva
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.
Lássuk, hogy mit is jelent mindez!
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
és van ez a bizonyos ami annak a leképezés-
nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.
Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen
úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-
vektorokat és leírjuk egymás mellé.
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.
Mindezeket foglaljuk össze!
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:
Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor
A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:
Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat
fogjuk és leírjuk egymás mellé.
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis
vektorait leírjuk egymás mellé.
Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy mátrix
úgy, hogy
akkor az előző tétel alapján és mindketten
ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen
más-más bázisban felírva.
Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.
Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!
és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan mátrix, amire
Egy leképezést akkor nevezünk lineáris leképezésnek, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy
A leképezés vektoraihoz rendel hozzá -ben lévő vektorokat.
A -nek ezt a részét képtérnek nevezzük és -vel jelöljük.
Vannak olyan vektorok, amikből a leképezés nullvektort csinál.
A -nek azt a részét amiben ezek a vektorok vannak magtérnek nevezzük
és -vel jelöljük.
lineáris leképezés, ha
és
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal. Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.
Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixa
Lássunk néhány példát!
Vegyük azt a leképezést, amely és
Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
Itt van két vektor
és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:
Van itt azonban egy kis gond, ha elvégezzük az összeadást.
Úgy tűnik tehát nem teljesül, hogy ezért a másik tulajdonságot meg se nézzük, sajna nem lineáris leképezés.
Nézzünk meg egy másik leképezést is, amely és
Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret a magteret és a transzformáció mátrixát.
Itt vannak megint ezek a vektorok
és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:
Nézzük, teljesül-e, hogy:
Mindkettő teljesül, tehát a leképezés lineáris.
Most, hogy ez kiderült, lássuk mi lesz a magtér és a képtér, illetve a leképezés mátrixa.
A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát
Ebből következik, vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik:
A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája bármi, de második koordinátája nulla, vagyis:
A transzformáció mátrixa standard bázisban:
tehát a transzformáció mátrixa:
Ez igazán remek, úgyhogy nézzünk meg még egy leképezést is.
Vegyük azt az leképezést, hogy
Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.
Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.
Itt van két vektor
és lássuk, hogy teljesül-e:
Ezek sajna nem egyenlők, így nem teljesül,
hogy tehát
nem lineáris leképezés.
A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy
lineáris leképezés, ha
és
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk
Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor
A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:
Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:
Itt a sajátbázisra való áttérés mátrixa:
SAJÁTBÁZIS
Bármilyen bázist választunk is -ben, a leképezés mátrixa mindig egy -es mátrix lesz. Ha ennek a mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor ezek a sajátvektorok szintén egy bázist alkotnak -ben, amit sajátbázisnak nevezünk.
A leképezés sajátbázisa nagyon sok mindent tud.
Ha egy leképezésnek létezik sajátbázisa, az azt jelenti, hogy a leképezés mátrixának van n darab független sajátvektora, vagyis a mátrix diagonalizálható.
A diagonalizáló mátrix úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat egymás mellé írjuk.
Ez egyúttal a sajátbázisra való áttérés mátrixa is.
Ha létezik sajátbázis, akkor a leképezés mátrixa sajátbázisban felírva
mindig diagonális mátrix.
Ebben a mátrixban éppen az
sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek.
Lássunk erre egy példát!
Van itt ez az leképezés:
Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait,
ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.
Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.
Legyen
Nézzük meg, hogy teljesül-e:
Ez is teljesül, tehát a leképezés lineáris. Végre rátérhetünk az izgalmasabb részekre.
Nézzük mi lesz a magtér és a képtér.
A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát
A jelek szerint tehát és vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:
A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:
A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája valami, a második koordináta ennek a mínuszegyszerese, a harmadik koordináta pedig bármi.
A transzformáció képtere tehát kétdimenziós:
Nézzük meg a leképezés mátrixát.
A mátrixot a standard bázisban írjuk fel:
vagyis a transzformáció mátrixa:
Lássuk van-e a leképezésnek sajátbázisa. Ehhez ki kell számolnunk a sajátértékeket
és meg kell keresni a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.
A karakterisztikus egyenlet:
Az utolsó sor szerint fejtünk ki.
A sajátértékek:
A sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk a egyenletrendszert.
Ez három különböző egyenletrendszer lesz, amit megoldhatnánk elemi bázistranszformációval is, de most nincs kedvünk azzal megoldani.
Van 3 független sajátvektor, így létezik sajátbázis és a transzformáció mátrixa diagonalizálható.
A diagonalizáló mátrixot úgy kapjuk, hogy a sajátvektorokat egymásmellé írjuk, ami tulajdonképpen nem más, mit az új bázisra, való áttérés mátrixa.
Ez az új bázis éppen a sajátbázis.
És íme, a diagonális alak:
Nézzünk meg egy másik leképezést is!
A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK VEKTORTERE: HOM (V1,V2)
A lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük.
Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak,
ezt a vektorteret -nek nevezzük.
Injektívnek nevezzük azokat a homomorfizmusokat, ahol különböző vektorok képe is különböző:
Ha akkor
Ha tudunk mutatni olyan vektorokat amire
akkor a homomorfizmus nem injektív.
Lássuk milyen következményei vannak ennek.
Nevezzük el mondjuk valami -nek.
Viszont ugye
Tehát ami azt jelenti, hogy benne van a magtérben.
Vagyis az, hogy egy leképezés nem injektív, éppen azt jelenti, hogy -ben vannak a nullvektoron kívül más vektorok is, tehát
Az állítás megfordítása is igaz, ha akkor a magtérben kell, hogy legyen
a nullvektoron kívül valamilyen más vektor is,
aminek a képe viszont , mert ugye benne van a magtérben.
Vagyis két különböző vektor képe ugyanaz és így a leképezés nem injektív.
A homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha
Ekkor a dimenziótétel alapján vagyis a leképezés dimenziótartó.
A sík szokásos transzformációi közül az x vagy y tengelyre tükrözés és az origó körüli forgatás dimenziótartó transzformáció, az x tengelyre vetítés nem.
Van aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy leképezést szürjektívnek nevezünk, ha a teljes előáll képként.
Azok a homomorfizmusok, amelyek injektívek és szürjektívek is egyszerre,
a bijektív homomorfizmusok.
Ezekre külön elnevezés van forgalomban, őket nevezzük izomorfizmusoknak.
Ha izomorfizmus, akkor és a dimenziótétel miatt
Ráadásul a képtér éppen megegyezik -vel, ezért .
Ha izomorfizmus, akkor .
Az izomorfizmus tehát egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két vektortér vektorai között, az egyik vektortér minden vektorához tartozik a másik vektortérben pontosan egy bizonyos vektor, vagyis a két vektortér lényegében ugyanaz.
Ez a miatt is így kell, hogy legyen, hiszen egy vektorteret a dimenziója már jellemez.
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal.
Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.
Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixa
Egy másik bázisban felírt mátrixa pedig
A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:
Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:
Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen úgy keletkezik,
hogy fogjuk az új bázisvektorokat és leírjuk egymás mellé.
Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy
mátrix, úgy, hogy
akkor az előző tétel alapján és mindketten ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak más-más bázisban felírva.
Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.
és mátrixok hasonlók, vagyis , ha létezik olyan mátrix, amire
Ha még emlékszünk rá, az mátrix akkor diagonalizálható, ha létezik n darab független sajátvektora, vagyis sajátvektorokból álló bázisa és a diagonalizáló mátrix éppen a sajátvektorok egymásmellé írásából kaptuk.
Na ez nem más, mint az iménti új bázisra való átállás tétele:
ahol sajátvektorokból álló mátrix
Ezek szerint bármely mátrix hasonló a diagonális alakjával:
.
Ha pedig van egy másik mátrix, amelynek szintén létezik diagonális alakja és
akkor ebből következik, hogy .
Az állítás megfordítása is igaz, vagyis megállapíthatjuk, hogy ha és mindketten diagonalizálható mátrixok, akkor
Lássunk néhány példát!
Itt vannak ezek a mátrixok, a feladatunk pedig az, hogy döntsük el melyek hasonlóak közülük.
Próbáljuk meg előállítani a diagonális alakjukat, mert ha ugyanaz a diagonális alak,
akkor hasonlóak.
Előfordulhat köztük olyan mátrix is, amelyiknek nincs diagonális alakja,
de majd ott is biztosan történni fog valami. Szóval kezdjük el.
Az mátrix diagonális alakjával kezdjük. Kiszámoljuk a sajátértékeket:
Úgy tűnik van három különböző sajátérték,
mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig
különböző sajátvektorok tartoznak, van három
független sajátvektor.
Így hát diagonalizálható.
Jöhet a diagonális alakja.
Ezzel nem lesz sok dolgunk, mert eleve diagonális mátrix.
Kiemelünk 3-at
sőt inkább legyen -3
és aztán is kiemelhető
Úgy tűnik van három különböző sajátérték, mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig különböző sajátvektorok tartoznak, van három független sajátvektor.
Így hát diagonalizálható.
És itt van még ez a is.
A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki
Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.
Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.
és összevonunk
végül kiemelünk
A sajátértékek:
Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig
különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-
vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.
Így hát is diagonalizálható.
Lássuk a hasonló mátrixokat!
így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,
csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.
