Tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus alakzatok
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Tengelyes tükrözés
A tengelyes tükrözéshez először is kell egy tengely, amire tükrözünk, ezt $t$-vel szoktuk jelölni.
Egy pontot úgy kell tükrözni a $t$ tengelyre, hogy a pontból merőlegest állítunk a tengelyre, és a pont tükörképe ezen a merőlegesen lesz, ugyanolyan távol, mint az eredeti pont, csak éppen a tengely másik oldalán.
A tengelyen lévő pontok tükrözésekor nem történik semmi. Ezeket a pontokat fix pontoknak nevezzük.
A tengelyes tükrözés egy egybevágósági transzformáció.
Tulajdonságai:
- távolságtartó
- szögtartó
- körüljárásváltó
Tengelyesen szimmetrikus alakzat
Egy alakzatot vagy sokszöget tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.
Tengelyesen szimmetrikus alakzatok pl.:
Egyenlőszárú háromszög, téglalap, deltoid, rombusz, négyzet, szabályos sokszögek
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Egy háromszög két csúcsa \(A\) és \(B\), a harmadik csúcs pedig legyen valahol az \(e\) egyenesen.
Mikor lesz a háromszög kerülete a lehető legkisebb?
a) Mely háromszögek tengelyesen szimmetrikusak?
b) Tengelyesen szimmetrikusak-e a téglalapok, rombuszok, négyzetek?
c) Hány db. szimmetria tengelye van a szabályos sokszögeknek?
a) Tükrözzük az \(A(6,2)\) pontot az \(x\) tengelyre, és hívjuk ezt a pontot \(B\)-nek.
b) Tükrözzük az \(A(6,2)\) pontot az \(y\) tengelyre, és hívjuk ezt a pontot \(C\)-nek.
c) Egy háromszög csúcsainak koordinátái \(A(2,2), B(7,3)\) és \(C(4,7)\). Tükrözzük a háromszöget az \(x\) tengelyre, és adjuk meg az így keletkező háromszög csúcsainak koordinátáit.
d) Egy négyszög csúcsainak koordinátái \(A(2,2), B(7,3), C(4,9)\) és \(D(0,7)\). Tükrözzük a négyszöget az \(y\) tengelyre, és adjuk meg az így keletkező négyszög csúcsainak koordinátáit.
a) Tükrözzük ezt a 3 pontot az egyenesre.
b) Egy egyenlőszárú háromszög szimmetriatengelye az ábrán látható egyenes, az \(A\) csúcsának \(x\) koordinátája 9 és tudjuk még, hogy a háromszög \(B\) csúcsa a \(B(3,8)\) pont. Adjuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit.
c) Egy deltoid három csúcsa \(A(2,3), B(4,5)\) és \(C(8,3)\). A deltoid szimmetriatengelye párhuzamos az \(x\) tengellyel. Adjuk meg a \(D\) csúcs koordinátáit.
d) Tükrözzük ezt a négyszöget erre a ferde egyenesre.
Lássuk, mit tud ez a tengelyes tükrözés.
Röviden ezt.
Egy kicsit hosszabban…
Van itt ez a P pont.
Ezt a pontot úgy kell tükrözni a t tengelyre...
hogy a pontból merőlegest állítunk a tengelyre…
és a P pont tükörképe ezen a merőlegesen lesz.
Ugyanolyan távol a tengelytől, mint az eredeti P pont, csak éppen a tengely másik oldalán.
A tengelyen lévő pontok kitüntetett pontok.
Azokkal ugyanis nem történik semmi.
Ezeket a pontokat fix pontoknak nevezzük.
A tengelyes tükrözésnek végtelen sok fix pontja van.
A tengely minden pontja fix pont.
Fix egyenesnek nevezzük azokat az egyeneseket, amelyeknek a tükörképe önmaga.
Ez itt például nem fix egyenes.
Mondjuk, egy fix pontja azért van.
De ez a másik…
Na, ez már igen.
Minden olyan egyenes fix egyenes, amely merőleges a tengelyre.
És maga a tengely is fix egyenes, sőt pontonként fix.
Itt van aztán ez a háromszög.
Nézzük meg, hogy a tükrözés hatására mi történik vele.
Hát ez.
Egy ugyanolyan háromszög lesz belőle.
Pontosabban csak majdnem ugyanolyan.
A méretei megegyeznek az eredeti háromszög méreteivel…
és a szögei is…
de a körüljárás iránya megváltozik.
Ezek alapján készíthetünk egy kis listát a tengelyes tükrözés tulajdonságairól.
A tengelyes tükrözés távolságtartó.
Ez nem azt jelenti, hogy bárkivel is ellenségesen viselkedne…
Mindössze annyit, jelent, hogy a tükrözés nem változtatja meg a távolságokat.
A tengelyes tükrözés szögtartó…
viszont körüljárásváltó.
Azokat a geometriai transzformációkat, amelyek távolságtartók, barátságtalannak nevezzük.
Na tessék, ugyanaz a rossz poén már másodszor.
Nem. Valójában nem barátságtalannak hívjuk őket.
A távolságtartó geometriai transzformációkat egybevágósági transzformációnak hívjuk.
A tengelyes tükrözés tehát egybevágósági transzformáció.
Most pedig nézzük meg, hogy mik azok a tengelyesen szimmetrikus sokszögek.
Egy sokszöget tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga.
Ez a szabályos hatszög például tengelyesen szimmetrikus.
Legjobban ezt úgy láthatjuk, ha félbevágjuk…
Aztán pedig tükrözzük erre a tengelyre.
A dolog így is működik…
Nézzük, milyen tengelyesen szimmetrikus sokszögek vannak.
Egy háromszög akkor tengelyesen szimmetrikus…
hogyha egyenlőszárú.
Az egyenlő oldalú háromszögeknek pedig mindjárt három szimmetriatengelyük is van.
Most lássuk, hogy mi a helyzet a négyszögekkel…
A téglalapok tengelyesen szimmetrikusak.
és két szimmetriatengelyük biztosan van.
Aztán itt vannak még ezek is…
Ennek a neve deltoid.
Hogyha minden oldala egyenlő hosszú…
akkor pedig úgy hívjuk, hogy rombusz.
A rombusznak már két szimmetriatengelye is van.
Azoknak a rombuszoknak pedig, ahol minden szög 90 fokos…
nos, azoknak már négy.
Ezeket szuper-rombusznak hívjuk.
Ja, nem. Csak simán úgy hívjuk, hogy négyzet.
Nézzük, mi a helyzet az ötszögekkel.
A szabályos ötszögnek egy szimmetriatengelye biztosan van.
Meg még egy…
Meg még egy…
Öt darab van.
Egy szabályos hatszögnek 6 darab szimmetriatengelye van.
Három ilyen…
és három ilyen.
A szabályos hétszögnek 7 darab szimmetriatengelye van.
Éppen itt is van az egyik.
A szabályos nyolcszögnek pedig 8 darab.
De nem kell izgulni, nem megyünk el egészen a szabályos száz-szögig.
