Számtani és mértani sorozatok (16 pont)

Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait.

Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap.

Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon?

Bob matekozással töltött ideje egy sorozat.

A sorozat első tagja 20.
 

A második tagja 5-tel több…

És mindegyik tagja 5-tel több, mint az előző.

Azokat a sorozatokat, ahol minden tag ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.

Azt a számot amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél, a sorozat differenciájának hívjuk.

Most éppen a differencia 5.

A számtani sorozat n-edik tagját pedig így kapjuk meg.

A hetedik napon Bob matekozással töltött ideje pedig:

Hogyha tudjuk, hogy mennyi egy számtani sorozat első tagja…
És azt is tudjuk, hogy mennyi a differencia…
Akkor ezzel a képlettel a sorozat bármelyik tagját ki tudjuk számolni.

Számtani sorozat általános tagjának képlete:

Most számoljuk ki azt is, hogy mennyi időt töltött Bob matekozással a 7 nap alatt összesen.

Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy szépen összeadogatjuk a sorozat első hét tagját:
Amit így fogunk jelölni.

És itt jön rá egy jó kis képlet.

Próbáljuk is ki…

Ennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen.
És most nézzünk valami vidámabb témát.

Itt egy újabb képletre lesz szükség, amit a számtani sorozat összegképletének nevezünk.
 
 
 

Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?

Készítsünk egy rajzot.

Ez egy számtani sorozat, tehát minden tagja ugyanannyival nagyobb az előzőnél.

Ez pedig Bob.
De rá most nem lesz szükség.

Nézzük meg, hogy mennyivel nagyobb a nyolcadik tag az ötödik tagnál.
Ennyivel.

És ez éppen a differencia háromszorosa.
A differencia meg is van.

Most lássuk, mennyi a sorozat első tagja. 
Azt tudjuk, hogy az ötödik tag 23…
És a képlet szerint…

A sorozat első tagját ezzel a képlettel tudjuk kiszámolni.
Írjuk fel, mondjuk az ötödik tagra.

És most lássuk, mennyi az első 10 tag összege.

Itt is van a képlet…

Hát, sajnos az a10-ről nem tudunk semmit.
De ki tudjuk számolni.

5 11 17 23  29 35 41 47 50 53 56 

16

Kész is. 

Az egyetlen gubanc ezzel az összegképlettel az, hogy külön ki kellett hozzá számolni az a10-et.

Úgyhogy itt jön most egy másik képlet is.

Próbáljuk is ki ezt az új képletet és számoljuk ki újra az első 10 tag összegét.

A két képlet közül az egyszerűbb feladatoknál bőven jó az első is.
De az izgalmasabb esetekben a második jobban használható.

Végül itt jön még egy számtani sorozat.
Ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 73. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?

Most is készítünk egy ábrát…

Ez az ötödik tag…
És a huszonharmadik…

Hát, inkább mégse csináljunk ábrát.

Ez a rajzolgatós módszer olyankor még működik, ha néhány tagot kell csak fölrajzolni…

De itt már jobban járunk a képlettel.

Hát igen, ez itt egy egyenletrendszer.

De pánikra azért nincs ok.

Szinte észre sem vesszük, olyan könnyen meg fogjuk oldani.

Az alsó egyenletből kivonjuk a felső egyenletet.

Csodás, ez kész is.
 

Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet.

Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?

Ez egy sorozat, aminek a tagjait úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot mindig 2-vel szorozzuk.

Az ilyen sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük.

A számtani sorozatoknál azt csináltuk, hogy az előző taghoz mindig ugyanazt a számot hozzáadtuk…
Most pedig ugyanazzal a számmal szorozzuk.

 
Ezt a számot q-val jelöljük, és a mértani sorozat hányadosának nevezzük.

És, hogy miért éppen hányadosnak hívjuk…

Ha egy mértani sorozat bármelyik tagját elosztjuk az őt megelőző taggal…

Akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.
Ezt hívjuk a sorozat hányadosának.

És így jutunk el a mértani sorozatok hivatalos definíciójához is.

Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.

Ez a hányados a q, amit kvóciensnek is szokás nevezni.

A mértani sorozatoknak is van összegképlete...

Most pedig nézzünk meg egy tanulságos történetet.

 általános képlete pedig ez.

Mértani sorozat általános tagjának képlete

És itt jön még az összegképlet is.

Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?

Kezdjük a fiúkkal.

Minden nap ugyanannyival futnak többet, úgyhogy ez egy számtani sorozat.

A sorozat első tagja 3…
És a differencia pedig 2.
 

Lássuk, hogy mennyit futottak a tízedik napon…

Most pedig nézzük, mennyit futottak a 10 nap alatt.

Ennyit.

Ez egy piti feladat, úgyhogy ide a könnyített képlet is elég lesz.
A 10 nap alatt a fiúk 120 kilométert futottak összesen.

Jönnek a lányok…
Ők is minden nap ugyanannyival futnak többet, naponta 20%-kal.

Úgy néz ki, hogy ez is egy számtani sorozat lesz…

De a lányok sárgák…
Vagyis valami gubanc még lesz itt.
A lányok első nap 3 kilométert futnak.
A második nap pedig 20%-kal többet.

Aztán megint 20%-kal többet, de ez már a második nap 20%-a.
És ahogy napról napra többet futnak…
Ezek a 20%-ok is egyre nagyobbak lesznek.

Úgy néz ki, hogy ez mégsem számtani sorozat.
Hanem egy mértani sorozat.

A kérdés, hogy mit kezdhetnénk ezzel a +20%-kal.

Az, hogy a lányok naponta 20%-kal többet futnak, ezt jelenti:
 

Minden nap 1,2-szer annyit futnak, mint előző nap.

Ez tehát egy mértani sorozat lesz, aminek 1,2 a hányadosa.

:
 

A mértani sorozat képletével kiszámoljuk a a10-et, és meg is van, hogy mennyit futottak a lányok a tízedik napon.

Azt, hogy a tízedik napon mennyit futnak, a mértani sorozat képletével tudjuk kiszámolni.

Úgy tűnik, hogy 15,48 kilométert.

Végül nézzük, hogy mennyit futottak a lányok 10 nap alatt összesen.

Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 36 és a hetedik tagja 576. 
a) Nagyobb-e a sorozat tízedik tagja 1000-nél, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Hányadik tag lesz 6000-nél nagyobb, ha számtani, illetva ha mértani sorozatról van szó?

Kezdjük a számtani sorozattal…
 

És most lássuk, mi van a mértanival…
 

Ezeket az egyenletrendszereket megoldani nagyon egyszerű.

Kifejezzük az egyenletekből a1-et és szinte már kész is.
 

És most lássuk, hogy mi van ezzel a tízedik taggal…

Úgy néz ki, a számtani sorozat tízedik tagja még 1000-nél kisebb.
A mértani sorozaté viszont már nagyobb.

Ez a másik kérdés már izgalmasabbnak tűnik…

Az első olyan tagot keressük, ami már 6000-nél nagyobb:

 
A számtani sorozatnál a 48. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.

Itt akár próbálgatással is megkaphatjuk a megoldást…

A mértani sorozatnál a 11. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.

Azoknak, akik imádják a logaritmusokat, itt jön egy másik megoldás is.

Van egy ilyen, hogy:

És így is kijött, hogy a mértani sorozatnál a 11. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.

A Föld népessége 2022-ben 8 milliárd fő volt és a népesség növekedésének mértéke jelenleg körülbelül évi 1%.
a) Hány fő élne 2100-ban a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés?
b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett?
c) Ha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a Föld népessége, akkor 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek, feltételezve, hogy minden évben ugyanannyi százalékkal nő a népesség?

Ez a történet nagyon emlékeztet Cilire, aki minden nap egy kockával több csokit eszik meg…

És Bobra, aki minden nap 1%-kal jobban utálja az ilyen matekfeladatokat.

Cili napi csokiadagjai mindig ugyanannyival nőnek, ezért ez egy számtani sorozat.

Bobnál viszont a növekedés minden nap 1%, vagyis

Az ilyen százalékos növekedés pedig mindig mértani sorozat.

És ebben a feladatban is éppen 1%-os a növekedés…
Így hát a sorozat hányadosa meg is van.

A sorozat első tagja a 8 milliárd…
 

A hányadosa pedig ez a bizonyos 1,01 lesz.
Most pedig készítsünk egy rajzot.

Hát, egészen 2100-ig nem fog kiférni…
De 2030-ig még igen.

És innen még 70 év.
Úgyhogy a sorozat indexéhez is 70-et kell adni.

Csak kiszámoljuk ezt a tagot, és kész is:

 
Ennyi ember élne a Földön 2100-ban, ha folyamatosan 1%-os a növekedés.
 

Most nézzük, hányadik tagnál éri el a sorozat a 12 milliárdot.

Jó lenne tudni, hogy mennyi az n.
Onnan a kitevőből egy logaritmus segítségével tudjuk leszedni…

Az mindegy, hogy milyen alapú logaritmus.

Legyen 10-es alapú, mert az van minden számológépen.
 

Az első olyan tag, ami 12 milliárdnál nagyobb, a 42. tag.

Már csak azt kéne tudni, hogy ez melyik év.

A jelek szerint 2063-ban érné el a Föld népessége a 12 milliárd főt.

Hogyha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a népesség…
Akkor egy olyan mértani sorozatunk van, aminek az első tagja ugyanúgy 8 milliárd, mint az előbb…

És 2100-ban a sorozat 79. tagja van, ezt már korábban kiderítettük…
Ez a tag pedig 10,35 milliárd.

 
Itt a q-t úgy kapjuk meg, hogy gyököt kell hozzá vonni.
Mégpedig hetvennyolcadik gyököt.

Akinek nem őskövület a számológépe, ezt így tudja beírni:

A mértani sorozat hányadosa tehát 1,0033 vagyis évente ennyivel szorzódik a Föld népessége.

Úgy kapunk belőle százalékot, hogy megszorozzuk 100-zal.

Évente átlagosan 0,33%-kal kéne növekednie a népességnek.

Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 12 és a kilencedik tagja 324. 
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani sorozatról van szó?
b) Mennyi az első 10 tag összege, ha mértani sorozatról van szó?

Kezdjük a számtani sorozattal.

Szinte észre sem vesszük és már meg is oldottuk ezt az egyenletrendszert…

És most jöhet az első 10 tag összege.
 

Hát, most nem egy főnyeremény ez a képlet, az a10-ről ugyanis fogalmunk sincs, hogy mennyi…

Nem baj, akkor bevetjük a durvább képletet…

Ez meg is van.

Jöhet a mértani sorozat.
Megint jön az egyenletrendszer…
 

Most, hogy ez megvan, visszarakjuk valamelyik egyenletbe…

Az első 10 tag összege pedig:

Most pedig végre kiderül, hogy miért hívják „számtani”nak a számtani sorozatot, és mitől „mértani” a mértani sorozat.

Sötét titkok fognak kiderülni, úgyhogy mindenki döntse el, valóban tudni akarja-e…

Az első titokzatos dolog a nevezetes közepek lesznek.

Ezt hívjuk az a és b számok számtani közepének: 
 
A számtani közép nem más, mint az átlag.
És például három számnak is van számtani közepe…
Vagy négynek is.

De vannak olyan esetek, amikor egy másfajta átlagolásra van szükség.

Hogyha valaki például idősorok statisztikai elemzésével szeretne foglalkozni…

Vagy akkor is, ha szeretné tudni, hogy mitől „mértani” a mértani sorozat.

Ezt a másik típusú átlagot mértani átlagnak nevezzük…
És már jön is.

És egyúttal ez a két szám mértani átlaga.
A dolog most is működik több számra is…

 
És mindig annyiadik gyököt kell vonni, ahány szám van.

Most pedig lássuk, mi köze ezeknek a sorozatokhoz.

Hogyha x, y és z egy számtani sorozat három egymást követő tagja…
 

És a sorozat differenciája pedig d…
Akkor az x d-vel kevesebb…
A z pedig d-vel több az y-nál.

A három egymást követő tag közül a középső mindig a két másik tagnak a számtani közepe.

És most nézzük, mi a helyzet a mértani sorozatoknál.
 

És íme, itt a mértani közép.

És végül még egy dolog…

Nagyon szépek ezek a számtani és mértani közepek, de a mértani közepes képletben kicsit aggasztó ez az abszolútérték.

Vagyis jobban járunk, ha inkább ezt a verziót használjuk.

És akkor már a számtani sorozatnál is egyszerűbb inkább ez.

Most pedig lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket.
 

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?

Az eredeti mértani sorozat első három tagja:
 

És itt jön a számtani sorozat három egymás utáni tagja:

A mértani sorozat első három tagjának összege pedig 124…

Úgy tűnik, hogy két ilyen mértani sorozat is lesz…

Az egyiknek a hányadosa q=5 a másiknak pedig q=1/5.

Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni. 
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 20%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?

Hát, ez nem hangzik túl jól…

Kezdjük azzal, hogy mit jelent az, hogy „lineáris”…

A lineáris függvények így néznek ki:
 

És ezek pedig az exponenciális függvények:
 

És itt van még a vonat is:

De ez most nem fog nekünk túl sokat segíteni.

Amit viszont jegyezzünk meg, hogy a számtani sorozat mindig lineáris modell…

A mértani sorozat pedig exponenciális.

Az első kérdésre tehát valamilyen számtani sorozatos választ fogunk adni, a másik kettőre pedig mértani sorozatosat.

Kezdjük a számtani sorozattal.
A sorozat első tagja meg is van.
Most lássuk, hányadik tag lesz vajon 2050-ben…

Hát, egészen 2050-ig nem fogunk kiférni a rajzzal…

És innen még 20 év.
Tehát itt, a sorozat indexeinél is még +20…

A sorozatnak ez a tagja pedig a modell szerint…

A kérdés, hogy mennyivel növekszik a forgalom évente…
Vagyis, hogy mekkora a sorozat differenciája.

A modell szerint évente átlagosan 159 259 fővel növekszik a forgalom.

És most jöhet a mértani sorozat.
Megint csinálunk egy ábrát…

És most a 2040-et kéne megkeresnünk rajta.
Na meg 2041-et.

A kérdés, hogy mennyivel nőtt az utasforgalom 2040-ről 2041-re.

Hát ennyivel:

2040-ről 2041-re az utasforgalom 170 830 fővel nőtt.

Végül itt jön az utolsó kérdés…

Az utasok száma évente 2%-kal nő.

Két év alatt a növekedés:
 

Három év alatt pedig:
És négy év alatt:

A kérdés az, hogy hány év alatt lesz a növekedés +20%...
 

Hát, ennyi.
13,249 év alatt növekszik az utasforgalom 30%-ot.

Vagyis 13 év es egy negyedév alatt.
 

Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy ha a huszonharmadik tagjából kivonjuk a tizenhatodik tagját, akkor 119-et kapunk, a sorozat hetedik tagja pedig 144. Mennyi a sorozat századik tagja?

Itt van a sorozat tizenhatodik tagja…
És ez pedig a huszonharmadik.

Az a16-ból úgy kapjuk meg az a23-at, hogy 7-et ugrunk.
És mindegyik ugrás a sorozat differenciája.

A differencia meg is van.

Azoknak, akiket a házorvosuk nem tiltott el a matematikai képletek használatától…
Itt jön egy másik megoldás is:

Most, hogy a differencia megvan, lássuk milyen adatot nem használtunk még föl.
Ezt…

A sorozat századik tagja pedig:

Ez meg is van. Jöhet még egy ilyen…

Adjunk meg a 56 és az 576 között 12 darab számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt ez a 14 darab szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek.

Itt is jól jönne valami kis rajz…

Ja, mondjuk nem pont ez…

Akkor lesznek ezek a számok egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ha mindegyik ugyanannyival több az előzőnél.

Ez lesz a sorozat differenciája.

Kész is.

Egy mértani sorozat ötödik tagja 224, a kilencedik tagja 768. Mennyi a sorozat tízedik tagja?

Megint jön a rajz…

Egy mértani sorozat minden tagja az előző tag q-szorosa…
És a tízedik tag is q-szorosa a kilencedik tagnak.