Megszüntethető szakadás:
Ha létezik véges határérték az $a$-ban, de ez nem egyezik meg a függvényértékkel, akkor megszüntethető szakadása van.
\( \exists \lim_{x \to a}{f(x)} = \text{szám} \quad \lim_{x \to a}{f(x)} \neq f(a) \)
Nem megszüntehető szakadás, ugrás:
Ha a bal és jobb oldali határérték két különböző szám az $a$-ban, akkor a szakadás nem megszüntethető és ugrásnak hívjuk.
\( \lim_{x \to a^{-}}{f(x)} = \text{szám} \quad \lim_{x \to a^{+}}{f(x)} = \text{másik szám} \quad \lim_{x \to a^{-}}{f(x)} \neq \lim_{x \to a^{+}}{f(x)} \)
Nem megszüntethető, nem véges szakadás:
Ha a bal és jobb oldali határérték nem is véges az $a$-ban, akkor pláne nem tehető folytonossá a függvény.
\( \lim_{x \to a^{-}}{f(x)} = \pm \infty \quad \lim_{x \to a^{+}}{f(x)} = \pm \infty \)
Nem megszüntethető oszcilláló szakadás:
Végül meglehetősen patologikus esetek is vannak, amikor még csak jobb vagy bal oldali határérték sem létezik.
\( \nexists \lim_{x \to a^{-}}{f(x)} \quad \nexists \lim_{x \to a^{+}}{f(x)} \)
Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.
Adjuk meg az alábbi határértékek értékeit.
a) $$ \lim_{ x \to 2}{ \frac{\sin{(x-2)} }{x-2} } $$
b) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{2x} }{ x} } $$
c) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{2x}+\sin{3x} }{ 5x+\sin{4x}} } $$
d) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{\sin{5x}+\sin{4x} }{ 4x^2-16\sin{3x}} } $$
e) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{ x^2-16x \sin{x} }{ 1-\cos{x}+\sin^2{x} } } $$
f) $$ \lim_{ x \to 0}{ \frac{ \tan{x}-\sin{x} }{ x^3 } } $$
